数列专练题解

1.已知数列｛4｝(〃€可*)是等比数歹山且氏〉0,%=2,%=8.

(1)求数列｛4｝的通项公式；

(2)求证：--1——I-----1■…4---<1;

axa2a3an

⑶设切=2k>g2”“+1,求数列出｝的前100项和

2.数列｛aj中，％=8,%=2,且满足%+2一。,』=常数。

(1)求常数C和数列的通项公式；

(2)设7^0=1qI+14I+…+1出0L

(3)7；=141+141+…+”1，〃£N+

3.已知数列｛%｝的相邻两项a„,见事是关于x的方程X?-2"x+a=0(〃eN*)的两根，且

3=1.

(1)求证：数列>“-32"；是等比数列；

(2)求数列出｝的前〃项和S“.

4.在等比数列｛an｝(nCN*)中，已知ai>l,q>0.bn=log2an,且^+63+65=6,bib3b5=0.

(1)求数列｛a。｝、｛bn｝的通项公式a”、bn；

(2)若数列｛bn｝的前n项和为Sn，试比较Sn与an的大小.

5.已知数列｛4｝的前n项和为5”，且。"是5n与2的等差中项，数列｛6｝中，4=1,

点P(bn,bnrt)在直线x-y+2=0上。

(1)求出和。2的值；

(2)求数列｛%｝,｛6｝的通项4和几；

(3)设cn=an•bn,求数列｛6｝的前n项和Tn»

6.已知数列｛%｝的前口项和为5“,4=；且2,=5,1+41+；,螂|低｝满足仇=—婴

且3%-%=«(〃22且“€”).

(1)求｛%｝的通项公式：

(2)求证：数列｛2一a“｝为等比数列；

(3)求低｝前n项和的最小值.

7.已知等差数列｛%｝的前9项和为153.

(1)求知；

(2)若的=&，从数列｛氏｝中，依次取出第二项、第四项、第八项.....第2"项，

按原来的顺序组成一个新的数列｛c,,),求数列卜“｝的前n项和S,,,

n+1H

8.在数列上“冲，a,=2,all+i=Aan+2+(2-2)2(ne,A>0)

(1)求证：数歹！J｛殳—(2)"｝是等差数列；

(2)求数列｛4｝的前n项和S“

9.已知二次函数/(x)=a/+bx满足条件:①/(0)=/⑴；②〃x)的最小值为—L

8

(I)求函数/(x)的解析式；

(H)设数列｛%｝的前〃项积为7；,且<=一，求数列5“｝的通项公式；

(HI)在(II)的条件下，若5/(。“)是2与乙的等差中项，试问数列｛〃,｝中第几项的

值最小？求出这个最小值.

10.已知函数f(x)=x?-4,设曲线y=f(x)在点(X"f(x„))处的切线与x轴的交点

为(Xn*i,0)(nwN*),

(I)用Xn表示X"l；

(II)若X1=4,记a,=lgi±Z,证明数列｛a｝成等比数列，并求数列｛4｝的通项公

式；

(HI)若XL4,bn-Xn-2,Tn是数列｛bj的前n项和，证明Tn<3.

2010届高三文科数学小综合专题练习——数列

东莞市第一中学老师提供

1.已知数列｛a,｝(〃eN*)是等比数列，且4〉O,q=2,a3=8.

(1)求数列｛a“｝的通项公式；

(2)求证+…+」-<1；

%«2%%

(3)设。“=21og2%+1,求数列也｝的前100项和.

2.数列｛aj中，q=8,a4=2,且满足一。用=常数C

(1)求常数C和数列的通项公式；

⑵设40=161+1出1+…+220L

(3)7；=lqI+Q1+…+1%I,

2n,n为奇数;

3.已知数列a"=<求02"

2n一的偶数；

4.已知数列｛%｝的相邻两项a“,是关于x的方程.d—2"x+a=0(〃eN')的两根，且

—1•

⑴求证：数列卜是等比数列;

(2)求数列也,｝的前〃项和S..

5.某种汽车购车费用10万元，每年应交保险费、养路费及汽油费合计9千元，汽车的维修

费平均为第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，…，各年的维修费平均数组成等

差数列，问这种汽车使用多少年报废最合算(即使用多少年时，年平均费用最少)？

6,从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，

根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少本年度当地旅游业收入

5

估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上

年增加L

4

(1)设"年内(本年度为第一年)总投入为即万元，旅游业总收入为九万元，写出斯瓦

的表达式；

(2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？

7.在等比数列｛an｝(nGN*)中，已知为>1,q>0.设b/logzan，bi+b3+bs=6,b^b3b5=0.

(1)求数列｛an｝、｛bn｝的通项公式an>bn；

(2)若数列｛bn｝的前n项和为S„,试比较Sn与an的大小.

8.已知数列｛%｝的前"项和为5”，且。.是5f，与2的等差中项，数列｛bj中，闻=1,

点P(b”bn+i)在直线x-y+2=0上。

(1)求s和的值；

(2)求数列｛4｝,｛b“｝的通项小和6；

(3)设cn=an•bn,求数列｛品｝的前n项和Tn,

9.已知数列｛怎｝的前n项和为S”,q=；且S“=S“T+a“T+g,^|也｝满足仿=一詈

且30〃一/_1-n(n>2月.wN*).

(1)求｛%｝的通项公式；

(2)求证：数歹一区,｝为等比数列；

(3)求也｝前"项和的最小值.

10.已知等差数列｛«„)的前9项和为153.

(1)求生；

(2)若出=&,从数列｛%｝中，依次取出第二项、第四项、第八项，，第2”项,

按原来的顺序组成一个新的数列卜“｝,求数列卜“｝的前n项和5„.

11.已知曲线C：y=e，(其中e为自然对数的底数)在点尸(l,e)处的切线与x轴交于点2,,

过点。作x轴的垂线交曲线C于点《，曲线C在点［处的切线与x轴交于点02,过点。2

作x轴的垂线交曲线。于点舄，……，依次下去得到一系列点《、？、……、P„,设点与

的坐标为eN*).

(I)分别求x,与此的表达式；

(II)求£著3.

/1=1

n+l

12.在数列｛%忡，a,=2,a,l+lAa„+/l+(2—/l)2"(〃€N*,/l>0)

(1)"｝是等差数列;

(2)求证：数列｛以-

(3)求数列｛”“｝的前n项和S“；

13.在等差数列｛%｝中，公差dHO,且%=6,

(1)求知+%,的值.

(2)当4=3时，在数列｛4｝中是否存在一项4“(加正整数)，使得4，火，

成等比数列，若存在，求加的值；若不存在，说明理由.

(3)若自然数〃],%,〃3，…，％，…，(/为正整数)满足5<n,<n2<•••<

使得%，为4,，…4,，…成等比数列，当%=2时，用f表示々

14.已知二次函数/(幻=以2+云满足条件:①/(o)=/⑴；②/⑴的最小值为—L

8

(I)求函数/(外的解析式；

(II)设数列｛4｝的前〃项积为9,且雹，求数列｛4｝的通项公式；

(HI)在(U)的条件下，若5/(4)是d与4的等差中项，试问数列也,｝中第几项的

值最小？求出这个最小值.

15.已知函数f(x)=x?-4,设曲线y=f(x)在点(Xn,f(Xn))处的切线与x轴的交点

为(xn+i,0)(neN*),

(I)用Xn表Xn“；

(II)若处=4,记4=lgZ±^,证明数列｛a｝成等比数列，并求数列｛｝的通项公

“2

式；

(W)若xi=4,b„=x„-2,T„是数列｛bj的前n项和，证明T«3.

2010届高三文科数学小综合专题练习——数列

参考答案

1.解：（D设等比数列｛4｝的公比为小

Q

则由等比数列的通项公式%得%二才=|=4,

又见＞0,，q=2LL（2分）

.••数列｛%,｝的通项公式是4=2X2"T=2"LL（3分）.

a

«23an

111

_x_

111.

5+级+”]，22"2

2"~,1

1------

2

=1-舁L(6分),

L(7分)，

111,1,

一+—+—+L+—<ILL

4a2%an

(3)由分=2幅2"+1=2〃+11_1_(9),

又施数一%=2〃+1-[2(〃—1)+1]=2(),

数列核审项为3,公差为2的等差数列11况L

100x99

数列也｝的前100项和是SM=100X3+；X2=10200LL

2.解：(1)C=-2~an—102n

Q)T”=1qI+I的I+…+I。5I+1I…+I%I

=q+〃2+…+。5一(。6+27…+Q〃)

=2(q+%4---1-tz5)-(%+4----%+4+a?…+4,)

=2S5—S?o=26O

9n~n2,n<5

⑶z,=

40—+n>5

3.解：Sn=q+。2+。3+一以2“=(q+。3+45+-%2“_|)+(。2+%+4+…42")

=(升42斗2$•••22,,-|)+(3+7+ll+--0=^1-4，)+3n+-^-^-4

1-42

2(4"-1)2

=--------F〃+2〃

3

4.解：证法1：•.•%,知+1是关于》的方程/一2"彳+",=0(〃€V“)的两根,

a”+J=2"，

.b.=a„an+l.

1I

+'f

由%+。用=2",得«„+l-^x2"=-«„-lx2"

JkJ

故数列，x2"]是首项为q-2=_L,公比为一i的等比数列.

[3J33

证法2:,即+1是关于x的方程—一2"x+"，=0(〃eN*)的两根,

♦.・<+%+i=2”,

baa

,„=n„+\-

j—；x2'"i2"—%—一(%Tx2”)

・・33\J7_i

・-------------=-----------------=---------------=—1,

I11

tz--x2M%-9x2"61x2〃

〃333

故数列[明—[x2"]是首项为%—2=1,公比为—1的等比数列.

I"3J133

⑵解：由⑴得*—；x2“=；x(—l)i,即/=12"_(-1)"].

••也­=：卜—(―1)”卜出一(一1)叫

n

=l[2^'-(_2)-l],

Sn=。]+&+。3+，*•+。门

=；{(2+22+23+…+2")-[(一1)+(-1)2+---+(-1),，]}

5.解：维修费=0.2+0.4+0.6+……+0.2〃

=0.2x("+D"=0.1n2+0.1n.................4分

2

总费用=H)0.9/z+0.In2+0.In

=10+0.17?2+n.......................................6分

10+0.10

平均费用=----------------=0.1〃+—+1

nn

>2+1=3..........................................9分

当眸1沆车报废最合算.................10分

6.解：⑴第1年投入为800万元，第2年投入为800X(1-1)万元，…

第"年投入为800X(l—1)"T万元，所以，〃年内的总投入为

11〃

a„=800+800X(l--)+-+800X(1--尸=V800X(1-1)*-,

55J

JJk=\

4

=4000X[l-(y)rt]

第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400X(1+,),…，第〃年旅游业

4

收入400X(1+4)1万元.所以，〃年内的旅游业总收入为

4

0=400+400X(1+上)+…+400X(l+-)*-'=Y400X(-)*-1.

44£4

=1600X

4

(2)设至少经过“年旅游业的总收入才能超过总投入，由此九一%>0,即：

544

1600XE(-)n-l]-4000X[1-(-)"]>0,令*=(二)"，

455

.242

代入上式得：51—7x+2>0.解此不等式，得，<；，或1(舍去).即(1)"<],

由此得"》5.

.•.至少经过5年，旅游业的总收入才能超过总投入.

7.

7.解：(旧题设有数那曷喝倜教•叫区1应>0,，{%},

bn=log2册，帅3b5=0及却却有即a5=1,b5=0.

由竦力5=6%=0,由+&=6,log2=6,.'.qg=26=64,

口口周得64,.二。2=8..*.a5=。2夕3=8q3q=a2=〃]夕囚=16.

n]w-15H

：.an=a}q~=16(^)=2'；=log2arl=5-n.(6)

(2)由仰乩=5-〃昌=他押=吧詈.

当心H'j9$,Sn0,an>0,an>Sn;

当或时或或,§4=47;%=168,「.4>S〃;

当眸3.45678、4f=>91QI09、74,a,产421--a<S.

1248nn

综上所述当或或N时和9,«„>S„;

当盛③56久8、，an<Sn.(3)

8.解：(1)・・・％是5n与2的等差中项

/•Sn=2an-2:.ai=Si=2ai-2,解得ai=2

。1+。2=52=2%・2,解得。2:4•••3分

(2)VSn=2an-295"-1=2。小厂2，

又Sn—Sn^an，>2,H€N*)

・.・。声0,

，2=2(〃N2,neN*)，即数列｛4｝是等比树立•.3=2,.•血=2”

«„-i

,•,点P(b”bn+i)在直线x-y+2=0上，«•bn-bn+i+2=0,

'.bn^-bn=2,即数列｛b“｝是等差数列，又名=1,...b/Zn-l,…8分

n

(3)Vcn=(2n-l)2

23

/.Tn=aibi+a2b2+••••anbn=lX2+3X2+5X2+••••+(2n-l)2",

3

，2Tn=lX2,3X2+••••+(2n-3)2"+(2"-l)2"*i

因此：-7“=1X2+(2X22+2X23+…+2X2")-(2"-l)2"i,

34n+1n+

即s-Tn=lX2+(2+2+••••+2)-(2n-l)2\

:.T„=(2n-3)2n+1+6••14分

9.解：(1油25,,=25“_1+2《1+1得24.=2%_|+1,凡-.......2分

.......4分

11

3-a=--a-

2),.??.33

.,1,1111,11"13、

「〃,一%=§""T+§"-5"+工=§''1+]=_]"+/'

bn-i-4一1=Ol一耳(〃.1)+1—万〃+W

二由上面两式得"二=工,又々—％一，=—30

3''44

二数歹!)｛〃—4｝是以-30为首项,;为公比的等比数歹!]..............8分

(3)由(2)得b*_a,=-30x(；)1，二4=%—30x《尸=；〃_；_30x(I)-1

b„-%=H-30Xgyi_g(”-1)+；+30Xg)"-2

=；+30x(g)T(l-；)=；+20x(g)"2>0，.,•｛〃,｝是递增数列......11分

11Q3510

当n=l时，b.=--------<0；当n=2时，b-,=——10<0；当n=3时，b-,=----------<0；当

4443

710

n=4时，4=(-]>(),所以，从第4项起的各项均大于0,故前3项之和最小.

K5,=-(1+3+5)-30-10--=-41—13分

34312

1。.解：⑴••』=^^=答=9牝=153'3"….5分

〃2=%+d=86Z।=5

(2)设数列｛%｝的公差为d,贝小

%=%+4d=17d=3

an=3〃+2.......9分

Stl=a2+aA+劭+・・・+%,=3(2+4+8+―+2")+2〃=3・2向+2〃-6…12分

1L解：(I)V/=^,

...曲线C：y=e"在点尸(l,e)处的切线方程为y—e=e(x—1),即了=勿.

此切线与x轴的交点2,的坐标为(0,0),

...点耳的坐标为(0,1).……2分

•.•点《的坐标为(x,,,y,)(〃eN*),

二曲线C：y=e*在点片(x“,为)处的切线方程为y-e*"=e%(x-x“)，.......4分

令y=0,得点。向的横坐标为x,川=x“-l.

•••数列｛%｝是以0为首项，-1为公差的等差数列.

n

xn-l—n,yn-e'~.(neN)......8分

(II).♦.^一%=—+x2y2+x3y3+........+x“y“

/=1

S=34e4........(1n)e"(1)

eS=­eF^—^ie——3e~24e3........(1n)e2”(2)

2!n

•・・(1)一御到：il-e^S=l^e~^e+.........+/〃(1n)e

“••••14分

12.解：(1)由a“+I=/la“+/r”+(2—/l)2",(〃€N*,/l〉0),可得

所以｛‘-c1)"｝是首项为o,公差为1的等差数列.

(2)解:=〃_］即an=(n-l)A"+2",(neN*)

设7；=九2+2/+…+(〃_2)心T+(〃-1)》……①

27；,=23+224+--+(«-2)2"+(n-l)/ln+,……②

当4/1时，©(1-2)7；,=22+23+24+•••+2"-(n-1)2"+|

万(1一犷)(八小

=—:-------(〃-1)4

1—71

_储_犷(〃_1)」用__1)沈2_〃储+1+-2

"―(1-2)21^2—―(1-2)2

13.解：(1)在等差数列｛q,｝中，公差dH0,且%=6,

贝J2%=&+%>%+&=1...........................3分

(2)在等差数列｛%｝中，公差d丰0,且%=6,4=3

贝!1=>d=—,a,=0a=—(n-1)nwN*

q+4d=62'n2V7

2

又a5=a3a„,贝!J36=3a“，，/.72=^(m-l),m=9............7分

(3)在等差数列｛q｝中，公差dw。，且%=6,%=2

+2d=2

贝!j4=>d=2,aj=-2,a=2〃-4,neN

q+4d=6n

又因为公比q=&=0=3,首项%=2,；.%=23+i

a-.2

又因为4=2〃,一4,.・.2%—4=2・3小，〃，=3*+2nwN*................12分

1

a+b-0a=—

解得2

14.解:⑴由题知：<a>01，故/(工)=5%2-5%・2分

2b=——

--h------1I2

I.4a8

…。"-I=(1]'(〃N2),

又q=(=1满足上式.所以4=图(〃wN*)

7分

(3)若5/(4)是包与可的等差中项，则2x5/3“)=%+4,

11103O9

从而10(-«„2--%)=a+a,,得b.=5a„2-6a,,=5(a„--)2--.

因为""=(1)(〃eN*)是〃的减函数，