2023年湖南省邵阳市绥宁县中考数学一检试卷(含解析)

2023年湖南省邵阳市绥宁县中考数学一检试卷一、选择题（每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.）1．若反比例函数y＝的图象经过点（﹣1，3），那么k的值是（）A．3 B．﹣3 C． D．﹣2．方程x2＝2023x的解是（）A．x＝2023 B．x＝﹣2023 C．x＝0或2023 D．x＝2023或﹣20233．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体是（）A．圆柱 B．圆锥 C．球 D．棱柱4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝2BC，则cosB的值是（）A． B． C． D．5．下列命题中，真命题是（）A．两个等腰三角形一定相似 B．两个直角三角形一定相似 C．两个菱形一定相似 D．两个等边三角形一定相似6．若y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c＝0的另一个解为（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．17．如图⊙O的直径AB⊥弦CD，连接OC，BC，若∠DCO＝20°，那么∠BCO的度数为（）A．35° B．40° C．30° D．28°8．如图，已知△ABC和△ABD都是⊙O的内接三角形，AC和BD相交于点E，则与△ADE相似的三角形是（）A．△BCE B．△ABC C．△ABD D．△ABE9．若一次函数y＝ax+b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y＝ax2+bx的图象只可能是（）A． B． C． D．10．如图所示的抛物线是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列结论：①abc＞0；②b+2a＝0；③抛物线与x轴的另一个交点为（4，0）；④a+c＞b；⑤3a+c＜0．其中正确的结论有（）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个二、填空题（每小题3分，共24分）11．在平面直角坐标系中，抛物线y＝（m+2）x2﹣3x+m开口向下，那么m的取值范围是．12．已知﹣1是一元二次方程2x2﹣mx﹣3＝0的一个根，那么该方程的另一个根是．13．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，若∠BCD＝40°，则∠ABD的大小为．14．如图，已知⊙O的直径AB为10，弦CD＝8，CD⊥AB于点E，则sin∠OCE的值为．15．如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成两部分，S△ADE：S四边形BDEC＝4：5，则的值是．16．现分别有长2cm和5cm的两条线段，再从下列长度：1cm、2cm、3cm、4cm、5cm、6cm、7cm、8cm的线段中随机选取一条组成一个三角形，那么能组成三角形的概率是．17．在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2﹣2x﹣3向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线顶点坐标是．18．如图，△AOB是直角三角形，∠AOB＝90°，∠ABO＝30°，点A在反比例函数y＝的图象上，若点B在反比例函数y＝的图象上，则k＝．三、解答题（第19-25小题每题8分，第26小题10分，共66分）19．计算：（﹣1）﹣2023×（1﹣）0﹣cos45°tan60°﹣|﹣2|．20．如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在CB、AC的延长线上，∠ADE＝60°．（1）请找出图中相似的三角形；（2）请选择其中一对说明理由．21．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣m与x轴交于点A（﹣2，0），与反比例函数y＝在第一象限内的图象交于点B（2，n），连接BO．（1）求该反比例函数的解析式和直线AB的解析式；（2）若直线AB与y轴的交点为C，求△OCB的面积．22．游泳是一项深受青少年喜爱的体育活动，学校为了加强学生的安全意识，组织学生观看了纪实片“孩子，请不要私自下水”，并于观看后在本校的2000名学生中作了抽样调查．请根据下面两个不完整的统计图回答以下问题：（1）这次抽样调查中，共调查了名学生；（2）补全两个统计图；（3）根据抽样调查的结果，估算该校2000名学生中大约有多少人“一定会下河游泳”？23．为满足市场需求，某服装超市在六月初购进一款短袖T恤衫，每件进价是80元；超市规定每件售价不得少于90元，根据调查发现：当售价定为90元时，每周可卖出600件，一件T恤衫售价每提高1元，每周要少卖出10件．若设售价为x（x≥90）元，每周所获利润为Q（元），请解答下列问题：（1）每周短袖T恤衫销量为y（件），则y＝（含x的代数式表示），并写出Q与x的函数关系式；（2）当售价x定为元时，该服装超市所获利润最大，最大利润为元；（3）该服装超市每周想从这款T恤衫销售中获利8500元，又想尽量给客户实惠，该如何给这款T恤衫定价？24．如图，四边形ABCD是某水库大坝的横截面示意图，坝高8米，背水坡的坡角为45°，现需要对大坝进行加固，使上底加宽2米，且加固后背水坡的坡度i＝1：2，求加固后坝底增加的宽度AF的长．25．如图，AB是⊙O的直径，点F、C在⊙O上且＝，连接AC、AF，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于点D．（1）求证：直线CD是⊙O的切线；（2）若∠CAD＝30°，CD＝，求的长．26．如图，一次函数y＝x+2与x轴，y轴分别交于A、C两点，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A、C两点，与x轴交于另一点B，其对称轴为直线x＝﹣．（1）求该二次函数表达式；（2）在y轴的正半轴上是否存在一点M，使以点M、O、B为顶点的三角形与△AOC相似，若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由；（3）在对称轴上是否存在点P，使△PAC为等腰三角形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案一、选择题（每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.）1．若反比例函数y＝的图象经过点（﹣1，3），那么k的值是（）A．3 B．﹣3 C． D．﹣【分析】根据反比例函数y＝的图象经过点（﹣1，3），可以得到3＝，即可得到k的值．解：∵反比例函数y＝的图象经过点（﹣1，3），∴3＝，解得k＝﹣3，故选：B．【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确k＝xy．2．方程x2＝2023x的解是（）A．x＝2023 B．x＝﹣2023 C．x＝0或2023 D．x＝2023或﹣2023【分析】用因式分解法解一元二次方程即可．解：∵x2＝2023x，∴x2﹣2023x＝0，∴x（x﹣2023）＝0，∴x＝0或2023．故选：C．【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．3．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体是（）A．圆柱 B．圆锥 C．球 D．棱柱【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看所得到的图形，从而得出答案．解：俯视图为圆的几何体为球，圆锥，圆柱，再根据其他视图，可知此几何体为圆柱．故选：A．【点评】本题考查由三视图确定几何体的形状，主要考查学生空间想象能力．4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝2BC，则cosB的值是（）A． B． C． D．【分析】如图，由∠C＝90°，AC＝2BC＝x，根据勾股定理得AB＝．再根据余弦值的定义得cosB＝．解：如图．∵∠C＝90°，AC＝2BC＝x，∴AB＝．∴cosB＝．故选：B．【点评】本题主要考查勾股定理、锐角三角函数的定义，熟练掌握勾股定理以及锐角三角函数的定义是解决本题的关键．5．下列命题中，真命题是（）A．两个等腰三角形一定相似 B．两个直角三角形一定相似 C．两个菱形一定相似 D．两个等边三角形一定相似【分析】直接利用等腰三角形、直角三角形、菱形、等边三角形的性质，结合相似图形的判定方法判断得出答案．解：A．两个等腰三角形对应角不一定相等，故不一定相似，故此选项不合题意；B．两个直角三角形对应角不一定相等，故不一定相似，故此选项不合题意；C．两个菱形对应角不一定相等，故不一定相似，故此选项不合题意；D．两个等边三角形一定相似，故此选项符合题意．故选：D．【点评】此题主要考查了命题与定理以及相似图形，正确掌握相似图形的判定方法是解题关键．6．若y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c＝0的另一个解为（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1【分析】根据抛物线的轴对称性即可求得抛物线与x轴的两个交点的坐标，这两个交点的横坐标就是方程ax2+bx+c＝0的解．解：∵根据图示知，抛物线与x轴的一个交点是（3，0）对称轴为直线x＝1，∴根据对称性，抛物线与x轴的另一交点为（﹣1，0），∴令y＝0，即ax2+bx+c＝0，∴方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝﹣1，x2＝3．即方程的另一解为﹣1．故选：B．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，解题时，注意二次函数y＝ax2+bx+c与方程ax2+bx+c＝0间的关系．7．如图⊙O的直径AB⊥弦CD，连接OC，BC，若∠DCO＝20°，那么∠BCO的度数为（）A．35° B．40° C．30° D．28°【分析】先根据垂直的定义可计算出∠AOC＝70°，再根据圆周角定理得到∠ABC＝35°，然后利用OB＝OC得到∠BCO＝∠ABC．解：∵AB⊥CD，∴∠DCO+∠AOC＝90°，∴∠AOC＝90°﹣20°＝70°，∴∠ABC＝∠AOC＝35°，∵OB＝OC，∴∠BCO＝∠ABC＝35°．故选：A．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．8．如图，已知△ABC和△ABD都是⊙O的内接三角形，AC和BD相交于点E，则与△ADE相似的三角形是（）A．△BCE B．△ABC C．△ABD D．△ABE【分析】根据同弧和等弧所对的圆周角相等，则AB弧所对的圆周角∠BCE＝∠BDA，∠CEB和∠DEA是对顶角，所以△ADE∽△BCE．解：∵∠BCE＝∠BDA，∠CEB＝∠DEA∴△ADE∽△BCE，故选：A．【点评】考查相似三角形的判定定理：两角对应相等的两个三角形相似．9．若一次函数y＝ax+b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y＝ax2+bx的图象只可能是（）A． B． C． D．【分析】根据一次函数y＝ax+b的图象经过第二、三、四象限判断出a、b的符号，从而判断出函数开口方向，对称轴的位置，据此即可判断．解：∵一次函数y＝ax+b的图象经过第二、三、四象限，∴a＜0，b＜0，∴二次函数y＝ax2+bx的开口向下，对称轴在y轴左侧，故选：C．【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系，二次函数图象，根据直线判断出函数解析式的系数的符号是解题的关键．10．如图所示的抛物线是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列结论：①abc＞0；②b+2a＝0；③抛物线与x轴的另一个交点为（4，0）；④a+c＞b；⑤3a+c＜0．其中正确的结论有（）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个【分析】由开口方向、与y轴交于负半轴以及对称轴的位置，即可确定a，b，c的正负；由对称轴x＝﹣＝1，可得b+2a＝0；由抛物线与x轴的一个交点为（﹣2，0），对称轴为：x＝1，可得抛物线与x轴的另一个交点为（4，0）；当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0；a﹣b+c＜0，b+2a＝0，即可得3a+c＜0．解：∵开口向上，∴a＞0，∵与y轴交于负半轴，∴c＜0，∵对称轴x＝﹣＞0，∴b＜0，∴abc＞0；故①正确；∵对称轴x＝﹣＝1，∴b+2a＝0；故②正确；∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣2，0），对称轴为：x＝1，∴抛物线与x轴的另一个交点为（4，0）；故③正确；∵当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，∴a+c＜b，故④错误；∵a﹣b+c＜0，b+2a＝0，∴3a+c＜0；故⑤正确．故选：B．【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．二、填空题（每小题3分，共24分）11．在平面直角坐标系中，抛物线y＝（m+2）x2﹣3x+m开口向下，那么m的取值范围是m＜﹣2．【分析】根据抛物线开口向下可得m+2＜0，进而求解．解：∵抛物线y＝（m+2）x2﹣3x+m开口向下，∴m+2＜0，∴m＜﹣2．故答案为：m＜﹣2．【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质．12．已知﹣1是一元二次方程2x2﹣mx﹣3＝0的一个根，那么该方程的另一个根是．【分析】设方程另一根为x2，根据根与系数的关系得到﹣1×x2＝﹣，然后解此方程即可．解：设方程另一根为x2，则﹣1×x2＝﹣，解得：x2＝．故方程的另一个根是．故答案为：．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1•x2＝．13．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，若∠BCD＝40°，则∠ABD的大小为50°．【分析】连接AC，如图，先利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，则利用互余计算出∠ACD＝50°，然后再利用圆周角定理得到∠ABD的度数．解：连接AC，如图，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACD＝90°﹣∠BCD＝90°﹣40°＝50°，∴∠ABD＝∠ACD＝50°．故答案为50°．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．14．如图，已知⊙O的直径AB为10，弦CD＝8，CD⊥AB于点E，则sin∠OCE的值为．【分析】由AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，根据垂径定理，可求得CE的长，然后由勾股定理即可求得OE，继而求得sin∠OCE的值．解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴CE＝CD＝×8＝4，OC＝AB＝×10＝5，∴OE＝＝＝3，∴sin∠OCE＝＝．故答案为：．【点评】此题考查了垂径定理、勾股定理以及三角函数．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．15．如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成两部分，S△ADE：S四边形BDEC＝4：5，则的值是．【分析】利用相似三角形的判定与性质得到，再利用比例的性质解答即可得出结论．解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴．∵S△ADE：S四边形BDEC＝4：5，∴．∴，∴．故答案为：．【点评】本题主要考查了平行线的性质，相似三角形的判定与性质，比例的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．16．现分别有长2cm和5cm的两条线段，再从下列长度：1cm、2cm、3cm、4cm、5cm、6cm、7cm、8cm的线段中随机选取一条组成一个三角形，那么能组成三角形的概率是．【分析】利用列举法，根据构成三角形的条件，找到条件成立的线段的条数，计算概率即可．解：根据三角形的三边关系，第三边应满足大于3cm而小于7cm，8种情况中有3种情况满足，故能组成三角形的概率是．故答案为：．【点评】本题考查概率知识在实际问题中的应用．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．17．在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2﹣2x﹣3向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线顶点坐标是（﹣1，5）．【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．解：∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线y＝x2﹣2x﹣3向左平移2个单位，再向上平移3个单位后所得抛物线的解析式为y＝（x﹣1+2）2+2+3＝（x+1）2+5，∴得到的抛物线顶点坐标是（﹣1，5）．故答案为：（﹣1，5）．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．18．如图，△AOB是直角三角形，∠AOB＝90°，∠ABO＝30°，点A在反比例函数y＝的图象上，若点B在反比例函数y＝的图象上，则k＝﹣6．【分析】要求函数的解析式只要求出B点的坐标就可以，过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，分别于C，D．根据条件得到△ACO∽△ODB，得到：＝＝＝，然后用待定系数法即可．解：过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，分别于C，D．设点A的坐标是（m，n），则AC＝n，OC＝m．∵∠AOB＝90°，∴∠AOC+∠BOD＝90°．∵∠DBO+∠BOD＝90°，∴∠DBO＝∠AOC．∵∠BDO＝∠ACO＝90°，∴△BDO∽△OCA．∵∠AOB＝90°，∠ABO＝30°，∴＝，∴＝＝＝，设A（m，n），则B（﹣n，m），∵点A在反比例函数y＝的图象上，∴mn＝2，∴﹣n•m＝﹣3×2＝﹣6，∴k＝﹣6．故答案为：﹣6．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，利用相似三角形的性质求得点B的坐标（用含n的式子表示）是解题的关键．三、解答题（第19-25小题每题8分，第26小题10分，共66分）19．计算：（﹣1）﹣2023×（1﹣）0﹣cos45°tan60°﹣|﹣2|．【分析】分别根据绝对值的性质、零指数及负整数指数幂的运算法则、特殊角的三角函数值计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．解：原式＝（﹣1）×1﹣××﹣（2﹣）＝﹣1﹣+﹣2＝﹣3．【点评】本题考查的是实数的运算，熟知绝对值的性质、零指数及负整数指数幂的运算法则、特殊角的三角函数值是解题的关键．20．如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在CB、AC的延长线上，∠ADE＝60°．（1）请找出图中相似的三角形；（2）请选择其中一对说明理由．【分析】（1）利用相似三角形的判定定理解答即可；（2）利用等边三角形的性质和相似三角形的判定与性质解答即可．解：（1）相似三角形有：△ACD∽△ADE，△ABD∽△DCE；（2）△ACD∽△ADE的理由：∵△ABC是等边三角形，∴∠ACD＝∠ABC＝60°，∵∠ACD＝∠CDE+∠E，∴∠CDE+∠E＝60°，∵∠ADE＝60°，∴∠ADC+∠CDE＝60°，∴∠ADC＝∠E．∵∠DAC＝∠EAD，∴△ACD∽△ADE；△ABD∽△DCE的理由：∵△ABC是等边三角形，∴∠ACD＝∠ABC＝60°，∴∠ABD＝∠ECD＝120°．∵∠ACD＝∠CDE+∠E，∴∠CDE+∠E＝60°，∵∠ADE＝60°，∴∠ADC+∠CDE＝60°，∴∠ADC＝∠E．∴△ABD∽△DCE．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定定理，等边三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．21．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣m与x轴交于点A（﹣2，0），与反比例函数y＝在第一象限内的图象交于点B（2，n），连接BO．（1）求该反比例函数的解析式和直线AB的解析式；（2）若直线AB与y轴的交点为C，求△OCB的面积．【分析】（1）利用待定系数法即可求解；（2）把x＝0代入直线AB的解析式y＝x+2得y＝2，即OC＝2，利用三角形面积公式即可求得．解：（1）∵直线y＝x﹣m与x轴交于点A（﹣2，0），∴﹣2﹣m＝0，∴m＝﹣2，∴直线AB的解析式为y＝x+2；∵点B（2，n），∴n＝2+2＝4，∴点B的坐标是（2，4）；∴点B在反比例函数y＝的图象上，∴k＝2×4＝8；∴反比例函数的解析式为：y＝；（2）在y＝x+2中，令x＝0，得y＝2．∴点C的坐标是（0，2），∴OC＝2；∴S△OCB＝OC×2＝×2×2＝2．【点评】本题是反比例函数和一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，求得交点坐标是解题的关键．22．游泳是一项深受青少年喜爱的体育活动，学校为了加强学生的安全意识，组织学生观看了纪实片“孩子，请不要私自下水”，并于观看后在本校的2000名学生中作了抽样调查．请根据下面两个不完整的统计图回答以下问题：（1）这次抽样调查中，共调查了400名学生；（2）补全两个统计图；（3）根据抽样调查的结果，估算该校2000名学生中大约有多少人“一定会下河游泳”？【分析】（1）根据一定会的人数和所占的百分比即可求出总人数；（2）用总人数减去其它人数得出不会的人数，再根据家长陪同的人数除以总人数得出家长陪同时会的所占的百分比，从而补全统计图；（3）用2000乘以一定会下河游泳所占的百分比，即可求出该校一定会下河游泳的人数．解：（1）总人数是：20÷5%＝400（人）；（2）一定不会的人数是400﹣20﹣50﹣230＝100（人），家长陪同的所占的百分百是×100%＝57.5%，补图如下：（3）根据题意得：2000×5%＝100（人）．答：该校2000名学生中大约有多少人“一定会下河游泳”有100人．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小，用到的知识点是频率＝．23．为满足市场需求，某服装超市在六月初购进一款短袖T恤衫，每件进价是80元；超市规定每件售价不得少于90元，根据调查发现：当售价定为90元时，每周可卖出600件，一件T恤衫售价每提高1元，每周要少卖出10件．若设售价为x（x≥90）元，每周所获利润为Q（元），请解答下列问题：（1）每周短袖T恤衫销量为y（件），则y＝﹣10x+1500（含x的代数式表示），并写出Q与x的函数关系式；（2）当售价x定为115元时，该服装超市所获利润最大，最大利润为12250元；（3）该服装超市每周想从这款T恤衫销售中获利8500元，又想尽量给客户实惠，该如何给这款T恤衫定价？【分析】（1）根据“当售价定为90元时，每周可卖出600件，一件T恤衫售价每提高1元，每周要少卖出10件．“即可得出每天的销售量与每件售价x（元）之间的函数关系式；根据利润＝每件的利润×销售量列出函数解析式；（2）把（1）中Q关于x的解析式化为顶点式，由函数的性质求最值；（3）当Q＝8500时，解一元二次方程求出方程的根，取较小的值．解：（1）每周短袖T恤衫销量为y＝600﹣10×（x﹣90）＝﹣10x+1500，∴y＝﹣10x+1500，故答案为：﹣10x+1500；根据题意得：Q＝（x﹣80）y＝（x﹣80）（﹣10x+1500）＝﹣10x2+2300x﹣120000，∴Q与x的函数关系式为Q＝﹣10x2+2300x﹣120000；（2）Q＝﹣10x2+2300x﹣120000＝﹣10（x﹣115）2+12250，∵﹣10＜0，∴当x＝115时，Q有最大值，最大值为12250，故答案为：115，12250；（3）当Q＝8500时，﹣10（x﹣115）2+12250＝8500，解得x1＝95，x2＝135，∵尽量给客户实惠，∴x＝95．答：这款T恤衫定价为95元/件．【点评】本题考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用以及二次函数的最值，解题的关键是找出等量关系，列出函数解析式．24．如图，四边形ABCD是某水库大坝的横截面示意图，坝高8米，背水坡的坡角为45°，现需要对大坝进行加固，使上底加宽2米，且加固后背水坡的坡度i＝1：2，求加固后坝底增加的宽度AF的长．【分析】分别过E、D作AB的垂线，设垂足为G、H．在Rt△EFG中，根据坡面的铅直高度（即坝高）及坡比，即可求出FG的长，同理可在Rt△ADH中求出AH的长；由AF＝FG+GH﹣AH求出AF的长．解：分别过点E、D作EG⊥AB、DH⊥AB交AB于G、H，∵四边形ABCD是梯形，且AB∥CD，∴DH平行且等于EG，故四边形EGHD是矩形，∴ED＝GH，在Rt△ADH中，AH＝DH÷tan∠DAH＝8÷tan45°＝8（米），在Rt△FGE中，i＝1：2＝，∴FG＝2EG＝16（米），∴AF＝FG+GH﹣AH＝16+2﹣8＝10（米）．答：加固后坝底增加的宽度AF的长是10米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是理解坡度、坡比的含义，构造直角三角形，利用三角函数表示相关线段的长度，难度一般．25．如图，AB是⊙O的直径，点F、C在⊙O上且＝，连接AC、AF，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于点D．（1）求证：直线CD是⊙O的切线；（2）若∠CAD＝30°，CD＝，求的长．【分析】（1）根据圆周角定理得∠FAC＝∠BAC，而∠OAC＝∠OCA，则∠FAC＝∠OCA，可判断OC∥AF，由于CD⊥AF，所以OC⊥CD，然后根据切线的判定定理得到CD是⊙O的切线；（2）连接BC，根据圆周角定理、邻补角定义求出∠AOC＝120°，根据含30°角的直角三角形的性质、勾股定理求出AB＝4，则OA＝2，根据弧长计算公式求解即可．【解答】（1）证明：∵＝，∴∠FAC＝∠BAC，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠FAC＝∠OCA，∴OC∥AF，∵CD⊥AF，∴OC⊥CD，∵OC是⊙O的半径，∴