新课标高考数学(选考)学案

选考部分

知识体系

1.几何证明选讲

2.曲线的极坐标方程

3.参数方程

4.坐标系与坐标变换

5.框图

6.特征值与特征向量矩阵的简单应用

7逆变换与逆矩阵

8.变换的复合与矩阵的乘法

9.几种常见的平面变换

10.二阶矩阵与平面向量

n.微积分基本定理与应用

12.曲边梯形的面积与定积分

1.几何证明选讲

第一节三角形

一.考纲要求

了解平行线等分线段定理和平行截割定理；掌握相似三角形的判定定理及性质定理；

理解直角三角形射影定理。

二.知识梳理

1.平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上

截得的线段_________

推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必

推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线

三角形中位线定理：三角形的中位线平行于,并且等于

2.平行线分线段成比例定理：两条直线与--组平行线相交，它们被这组平行线截得的对应

线段.

推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段

结论1：平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与

原三角形的三边_

结论2：三角形的一个内角平分线分对边所成的两条线断于这个角的两边。

结论3：若一条直线截三角形的两边(或其延长线)所得对应线段成比例，则此直线与

三角形的第三边

3.相似三角形的判定定理：

(1)(SAS)__________________________________________

(2)(SSS)_____________________________________________

(3)(AA)_____________________________________________

推论：如果一条直线与三角形的一边平行，且与三角形的另两条边相交，则

相似三角形的性质定理：相似三角形的对应线段的比等于,面积比等

于.

4.直角三角形的射影定理：直角三角形一条直角边的平方等

于，斜边上的高等于.

三.诊断练习

1.如图1,IJ/l2//l3,AM=3,BM=5,CM=4.5,EF=16,贝ljDM=,EK=

FK=.

2.如图2,AB是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚B距墙80cm,梯上点D距墙70cm,BD长55cm,

则梯子的长为cm.

A

3.如图3,△ABC中，N1=NB,贝.此时若AD=3,BD=2,则

AC=.

4.如图4,CD是RtAABC的斜边上的高.

(1)若AD=9,CD=6,则BD=；

(2)若AB=25,BC=15,贝ijBD=.

四.范例导析

例1如图5,等边△DEF内接于△ABC，且DE//BC,改口AH1BC于点H,BC=4,

AH=B求△OEF的边长.

8

图5

例2如图6,在AABC中，作直线DN平行于中线AM,设这条直线交边AB与点D,交边CA

的延长线于点E,交边BC于点N.

求证：AD:AB=AE：AC.、F

图6

FBAF1

例3如图7,E,F分别是正方形ABCD的边AB和AD上的点，且一=——=—.

ABAD3

求证：ZAEF=ZFBD.

图7

五.当堂反馈

1.如图8,AABC中，点D为BC中点，点E在CA上，且CE=，EA,AD,BE交于点F,则

2

AF:FD二.

2.•个等腰梯形的周长是80cm,如果它的中位线长与腰长相等，它的高是12cm,则这个梯

形的面积为cm".

3.两个三角形相似，它们的周长分别是12和18,周长较小的三角形的最短边长为3,则另

一个三角形的最短边长为.

4.如519,已知N1=N2,请补充条件：（写一个即可），使得AABCSAADE.

图9

第二节直线和圆

一.考纲要求

1.理解圆周角定理及其推论；掌握圆的切线的判定定理及性质定理；理解弦切角定理及其

推论；

2.掌握相交弦定理、割线定理、切割线定理；理解圆内接四边形的性质定理与判定定理.

二.知识梳理

1.圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于

圆心角定理：圆心角的度数等于的度数

推论1：同弧或等弧所对的圆周角;同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧_

推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是；90°的圆周角所对的弦是

弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的

2.圆内接四边形的性质与判定定理：

圆的内接四边形的对角；圆内接四边形的外角等于它的内角的

如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点

如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点

3.切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的

推论：经过圆心且垂直于切线的直线必经过;经过切点且垂直于切线的直

线必经过__________

切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的

4.相交弦定理：圆内两条相交弦，的积相等。

割线定理:从圆外一点引圆的两条割线,的两条线段长的积相等。

切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是的比例中项。

切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长;圆心和这点的

连线平分的夹角。

三.诊断练习

1、如图10,点P是。0的直径BA延长线上一点，PC与。。相切于点C,CD±AB,垂足为D,

连结AC、BC、0C,那么下列结论中正确结论的个数有个

①PC?=PA•PB；②PC•0C=0P•CD；③OAMW•OP；@0A(CP-CD)=AP•CD.

2、48是。。的宜径，弦垂足为R若"：阳=1：4,CD=8,则直径48的长是_

0DA

图10

3、如图11,AB是。。的直径，P是AB延长线上一点，PC切。0于点C,PC=3,PB=1,则。

0的半径为.

4、如图12,圆0上的一点C在直径AB上的射影为D,CZM,加=8,则圆0的直径

为_____________._、

D0

四.范例导析

例1如图13,48是。。的直径，。是。。外一点，且然=/6,比■交。。于点〃.已知及7=4,

"=6,4。交。。于点反求四边形4K出的周长.一~一A

图13

例2如图14,已知是△46C的外角N必C的平分线，交火的延长线于点〃延长的交

△4a1的外接圆于点尸，连接用，FC.

(1)求证：FB=FC；F/

(2)若力方是△45。的外接圆的直径，

ZEAC=120°,BC=6,求40的长.//\

图14

例3如图15,。1和。(X都经过A、B两点，经过点A的直线CD与。0i交于点C,与。&交

于点D.经过点B的直线EF与。交于点E,与。。2交于点F.

求证:CE/7DF.

图15

五.当堂反馈

1、下列命题中错误的是.

(1)过一个圆的直径两端点的两条切线互相平行

(2)直线AB与。。相切于点A,过0作AB的垂线，垂足必是A

(3)若同一个圆的两条切线互相平行，则连结切点所得的线段是该圆的直径

(4)圆的切线垂直于半径

2、如图17,已知AB是。。的弦，AC切。0于点A,/BAC=60°,则NADB的度数为

3,如图18,PA与圆切于点A,割线PBC交圆于点B、C,若PA=6,PB=4,AB的度数为60。,

则BC=,NPCA=,ZPAB=

图19

4、如图19,1是。。的内接三角形，必是。。的切线，PB交AC于氤E,交。。于点〃,

若PE=PA,ZABC=60°,PD=\,即=8,则线段80.

参考答案

第一节三角形

三.诊断练习

1.DM=7.5,EK=6,FK=102.440

3.ACD,ABC,V154.4,9

四.范例导析

例1解：设等边AOE尸的边长为必则它的高为坦X,

2

石-2x4

因为DE//BC,所以2=——二—,解得广一.

4V33

例2证明：VAM/7EN,

AAD：AB=NM:MB,NM：MC=AE：AC.

VMB=MC,

.'.AD：AB=AE：AC.

例3证明：过点F作FMLBD于点M.设正方形的边长为a,贝ljBD=J^a.

曷=M="，EB=AF=；a,AE^ja.

V22V2

在RtADMF中，EM=DM=—DF=—a,/.BM=V2---a二-----

在RtAAEF和RtAMBF中，

AF

NA=/BMF=90°,

~AE2

:.AAEFsAMBF./.ZAEF=ZFBD.

五.当堂反馈

1.AF:FD=4:14.ZB=ZD(或NC=NE,或一=——)

2ACAB

第二节直线和圆

三.诊断练习

四.范例导析

例1解：因为四是。。的直径，所以

所以/〃是△/8C的中线，所以16=业=2丽.

BD=DC=2,由NOEC==/C,所以DE=DC=2.

由CE-CA二CD•CB,得g3低，所以AE=2A/1U—冬叵=§丽.

55

例2证明：(1)因为/〃平分NS4G所以

因为四边形加沙。内接于圆，所以ND4C=NFBC,所以NE4。=NE46=NFC8,

所以NFBC=NFCB,所以%=FC.

(2)因为仍是△力宛'的外接圆的直径，所以NACD=90。.

因为NEAC=120。，所以N0AC=LNEAC=6O°,NO=30°.

在RTz\4/中，因为6c=6,NA4c=60°,所以AC=26.

又在RT△力⑺中，ZD=30°,AC=26所以AO=4JJ.

例3证明：连结AB.：ABEC是。0i的内接四边形，

.••ZBAD=ZE.

：ADFB是。O2的内接四边形，.•.NBAD+NF=180。.

•,.ZE+ZF=180°.，CE〃DF.

五.当堂反馈

1.(4)2.120°.3.5,30,30.4.2H

随堂巩固练习（1）

1.如图1,已知：AC±AB,BD1AB,A0=78cm,B0=42cm,CD=159cm,贝CO=cm,

D0=cm.

2.已知，如图2,AA'〃EE',AB=BC=CD=DE,A'B'=B'C'=C'D'=D'E'，若AA'=28mm,

EE'=36mm,则BB'=,CC'=,DD'=.

3.如图3,EF〃BC,FD〃AB,AE=1.8cm,BE=1.2cm,CD=1.4cm.则BD=.

4.已知，如图4,在平行四边形ABCD中，DB是对角线，E是AB

上一点，连结CE且延长和DA的延长线交于F,

的对数是.

5.如图5,在AA8C中，/〃是角砌C的平分线，4?=5cm,"Mem,小7cm,则8。=

6.如图6,ED〃FG〃BC,且DE,FG把AABC的面积分为相等的三部分，若BC=15,则FG

的长为.

7.如图7,已知矩形ABCD中，ZAEF=90°,则下列结论一定正确的是.

(1)AABF^AAEF(2)AABF<^ACEF

(3)ACEFSADAE(4)AADESAAEF

8.如图8,在RtAABC中，NC=90°,D是BC中点，DE1AB,垂足为E,ZB=30,AE=7.则

DE的长为.

9.若一个梯形的中位线长为15,一条对角线把中位线分成两条线段.这两条线段的比是

3:2,则梯形的上、下底长分别是_________.

10.如图9,BD、应是VA8C的中线，P、0办别是初、丝的中点，则PQ:3C=

图9

11.如图10,在AA8C中%'于D,DELAB于£,加1"■于月.求证：AE-AB=AF-AC.

图10

12.如图11,在梯形ABCD中，AD〃BC,E,F分别是AB,CD的中点.

求证：GH=-(BC-AD).

2

13.已知：如图12,A48c中，AB^AC,ABAC=90°,D、E、b分别在/反AC.BC

上，AE=-AC,3。=143,且。尸=18。.求证：（1）£尸，8。；（2）4£）5=/后6。.

333

图12

随堂巩固练习（2）

1.如图1,AB=BC=CD,ZE=40°,贝l]NACD=.

2.如图2,已知。0的切线PC与直径BA的延长线相交于点P,C是切点，过A的切线交PC

于D,如果CD：PD=1：2,DA=2,那么。0的半径0C=.

3.如图3,AABC内接于AD切00于A,ZBAD=60°,则NACB=.

4.如图4,

5.如图5,ABCD是。。的内接四边形，AC平分/BAD并与BD交于E点，CF切。。于C交AD

延长线于F,图中四个三角形：①4ACF；②AABC；③AABD；④ABEC,其中与ACDF一定

相似的是.

6.。0中，弦AB平分弦CD于点E,若CD=16,AE：BE=3：1,贝ljAB=.

7.AB是。0的直径，0A=2.5,C是圆上一点，CD±AB,垂足为D,且CD=2,则

AC=.

8.如图6,PAB是。。的割线，AB=4,AP=5,。。的半径为6,则P0=.

9.半径为5的。。内有一点A,0A=2,过点A的弦CD被A分成两部分，则AC•CD=.

10.如图7,30。。的半径。庐5cm,弦｛炉6cm,〃是的中点，则弦6〃的长度是.

图7

11.设圆。与圆外的半径分别为3和2,0I。2=4,为两圆的交点，试求两圆的公

共弦A3的长度.

12.如图8,已知AP是。。的切线，P为切点,AC是。。的割线，与。。交于8,C

两点，圆心。在NPAC的内部，点〃是的中点.

(1)证明AP,0M四点共圆；

(2)ZOAM+ZAPM的大小.

13.如图9,己知：C是以AB为直径的半圆0上一点,

CHLAB于点H,直线AC与过B点的切线相交于点

D,E为CH中点，连接AE并延长交BD于点F,直

线CF交直线AB于点G,

(1)求证：点F是BD中点；

(2)求证：CG是。。的切线；

(3)若FB=FE=2,求。0的半径.

参考答案

随堂巩固练习(1)

1.103.35,55.65；2.:30mm,32mm,34mm；3.2.1cm.

「35

4.55.—cm6.5屈

9

7.ACEFsADAE8.-y/3.9.12,1810.1：4

5

11.证明：AAO8为直角三角形，又〃反L48,由射影定理知，AD2=AE-AB.

同理可得AO?=4尸-AC,AE-AB^AF-AC.

12.证明：由条件得EF是梯形ABCD的中位线，则有EF〃AD〃BC,由平行线等分线段定理

得AH=HC,BG=GD,AFH=-AD,FG=，BC,.\GH=FG-FH=-(BC-AD).

222

13.证明：设AB=AC=3。，则==CF=42a.

CE2a

(1)=—乂ZC为公共角,故XBACsXEFC,由

CB-3缶3c43a3

NA4c=90°得NE"=90°,EFIBC.

ay/2AD2a后AE_AD

(2)由(1)得EF=后,故——

EF42a~2'BF-2缶一2EF—BF

：.4DA氏NBFE=9Q°:.△ADEsRFBE,：.ZADB=^EBC.

随堂巩固练习（2）

1.15°2.2-733.120°.4.140°5.①②④

6.--^3.7.或2V^.8.9.9.2110.回cm

3

11.解：连A8交002于C，如图，则OiQ_LAB,且。为A3的中点，设AC=x,则

OR=的-犬+"-f=4,解导x=.栩玄A8

12、（1）连结OP,OM,如图.因为4P与。。相切于点P,所以。PJ.AP.因为M是

。。的弦8C的中点，所以OM璃NOPA+NOMA=180°.由圆心。在NPAC

的内部，可知四边形APOM的对角互补，所以A,P,0M四点共圆.

（2）迩妾。A,如图.由（1）得AP,0M四点共圆，所以NOAM=NOPM.由（1）

得。尸，AP.由圆心。在APAC的内部，可知ZOPM+ZAPM=90°.所以

ZOAM+ZAPM=90°.

13、解：(1)证明：VCH±AB,DB1AB,/.AAEH^>AFB,AACE^AADF,

.EHAECE

>・-----=------=------VHE=EC,，BF=FD

BFAFFD

（2）方法一：连接CB、0C,TAB是直径，・・・NACB=90°'汴是BD中点,

・・・NBCF=NCBF=90°-ZCBA=ZCAB=ZACO

.，•Z0CF=90°,；.CG是。0的切线。

方法二：可证明△OCFZAOBF（略）

（3）解：由FC=FB=FE得：ZFCE=ZFEC,可证得：FA=FG,且AB=BG

由切割线定理得：（2+FG）2=BGXAG=2BG2.①

在RtZ\BGF中，由勾股定理得：BG2=FG2-BF2……②

由①、②得：FG-4FG-12=0,解之得:FGi=6,FG?=-2（舍去）

，AB=BG=4拒，二。0半径为2。

曲线的极坐标方程

【知识网络】

1.曲线的极坐标方程的意义.

2.直线、圆和圆锥曲线的极坐标方程.

【典型例题】

例L（1）化极坐标方程cos。—夕=0为直角坐标方程为（C）

A.x2+y2=O或y=lB.X-\

C.x2+y2=OWcx=lD.y=1

提示：/7（/?cose-1）=0,2=Jx?+y?=0,或/?cos6=x=l

（2）在平面直角坐标系中，以点（1,1）为圆心，血为半径的圆在以直角坐标系的原点

为极点，

以Ox轴为极轴的极坐标系中对应的极坐标方程为（A）

A.p-2-x/2cos（^-—）B.p-2V2sin（（9-—）

44

C.p-2V2cos（^-l）D.夕=2行sin（。一1）

提示：圆的直角坐标方程为（x—l）2+（y—l）2=2,

化为极坐标方程为（pcos6-l）2+（/7sin6-l）2=2,

4

•.•曲线2―2j，cos（6—（）=0也过极点，

Ap[p-2V2cos（6—工）]=0与P一2后cos（。一工）=0等价，

44

对应的极坐标方程为p=2后cos（e-?）.

（3）极坐标方程Pcos6=2sin26表示的曲线为（C）

A.一条射线和一个圆B.两条直线

C.一条直线和一个圆D.一个圆

提示：「cose=4sinecose,cose=0,或||J=4sine,p1=4夕sin。

则6=k万+•，或f+y2=4y

(4)极坐标方程分别为p=cos6与夕=sin6的两个圆的圆心距为

也

T

提示:圆心分别为(g,0)和(0,；)

3

(5)极坐标方程0=------------表示的曲线是双曲线

2-4cos6

3

提示：p=——-——等价于P=一2一,e=2.

2—4cos6l-2cos^

例2.设过原点。的直线与圆(x—l>+y2=i的一个交点为p,点〃为线段。尸的中点,

当点P在圆上移动一周时，求点〃轨迹的极坐标方程，并说明它是什么曲线.

解：圆(x—+丁=1的极坐标方程为p=2cos0(-1<6»<!),

设点P的极坐标为(p,,R),点、M的极坐标为(夕,6),

•••点M为线段0P的中点，:.p\=2p,9\=。,将g=2p，4=。代入圆的极坐标方程,

得°=cos。二点M轨迹的极坐标方程为°=cos6<9,它表示原心在点

(-,0),半径为，的圆.

22

例3.过抛物线丁=8x的焦点尸作倾斜角为一的直线，交抛物线于两点，求线段A8

4

的长度.

4

解：对此抛物线有e=l,p=4,所以抛物线的极坐标方程为夕=--------,

1-cos^

4,B两点的极坐标分别为乙和名，IFA1=―--=4(2+72),

441、-cos兀

4

IFB1=——^――=4(2-V2),：.\AB\=\FA\+\FB\=\6.

,57t

1-cos——

4

线段AB的长度为16.

例4.长为2。的线段，其端点在Ox轴和Oy轴正方向上滑动，从原点作这条线段的垂线，

垂足

为M,求点例的轨迹的极坐标方程(Ox轴为极轴)，再化为直角坐标方程.

解：设线段的端点分别为4,3且A在Ox轴正方向上，8在0y轴的正方向上，

设点M的极坐标为（夕力），则/。8例=44。例=6,且1041=2。sin6,

p=1OAIcos3=2asin0cos6=〃sin2。，

点M的轨迹的极坐标方程为夕=asin26（0<^<y）.

3

由夕=asin20可得p3=2ap2sin0cos0，/.（x2+y2）^=2axy

3

其直角坐标方程为（/+y2y=2axy（x>0,y>0）.

【课内练习】

1.将极坐标方程夕2cos28=16化为直角坐标方程是（C）

A.X2=16B.y2=16C.x2—y2=16D.y2-x2=16

提示：p2cos26=16np2(cos20-sin2^)=16=>x2-y2=16.

2.极坐标方程pcos20=0表示的曲线为(D)

A.极点B.极轴C.一条直线D.两条相交直线

TT

提示：pcos29-0,cos23=0,0-k7r±—,为两条相交直线

3.圆夕二5cos。-5Gsin。的圆心坐标是(A)

4»71

A.(-5,--)B.(-5,-)C.(5,y)D.(-5,y)

提示：圆的普通方程为（x—$2+（y+券）2=25,圆心为半径为5.

pcose=g,psine=—半

4.两直线。=a和夕cos（B-a）=。的位置关系是（）

A.平行B.相交但不垂直C.垂直D.重合

提示：0=a的直角坐标方程为y=xtanapcos（。一a）=。化为直角坐标方程为

xcose+ysina-a=0,其斜率为一cota,直线y=xtan。的斜率为tana,

7T

二两直线互相垂直（a=一时也成立）.

2

5.设曲线的普通方程为y2=R2,则它的极坐标方程为

PR

提示：用x=/?cose,y=psin。代入即得.

TT

6.直线xcosa+ysina=0的极坐标方程为.。=上乃+,+。

提示：直线的极坐标方程为pcos（6—a）=0.

IT

7.设直线过极坐标系中的点M（2,—），且平行于极轴，则它的极坐标方程

2

为.

夕sin0=2

提示：在相应的直角坐标系中，直线的方程为y=2.

8.从极点作圆夕=2。cos。的弦，求各弦中点的轨迹方程.

解：设所求曲线上的动点M的极坐标为（夕,8）,圆夕=2acos8上的动点的极坐标为

（8,4）

0,=07171

由题设可知，<1，将其代入圆的方程得：P=acose（—24e«2）.

pl=2p22

二・所求的轨迹方程为r=acos<夕《,

9.已知曲线的极坐标方程为夕=—"一，求此曲线的直角坐标方程，并讨论e在不

1-ecos。

同范围内取值时，方程表示的曲线的类型（其中e和p为正的实常数）.

解：方程写成「一epcos。=ep,将p=Jx?+寸和x=Pcos6代入,

得&2+y2_4=ep,即y/x2+y2=ex+ep,

两边平方，X2+y2=e2x2+2e2p^-e2p2

整理得，（1—e2）x2+y2-2〃e2x—e2P2=o.

由上述方程可知，当e>l时，方程表示双曲线；当e=l时，方程表示抛物线；当0<e<l

时，方程表示椭圆.

10.过椭圆/x2+a2y2=//的左焦点作直线，交椭圆于A8两点，证明：

11

-----1-----

\FA\\FB\

为定值.

22

证明:椭圆b2x2+a2y2=a2b2方程可化为A+右=1,

以椭圆的左焦点极点，X轴正方向为极轴的方向建立极坐标系,

忙

则椭圆的极坐标方程为P=-a——.

1--cos^

a

设点A的极坐标为(pf),则点B的极坐标为(夕,6+万)，

cc

[[1COS01COS(e+7T)0

・・・一^+'=——------==为定值.

IE41\FB\忙b2

aa

作业本

1.将直角坐标方程y2=12X化为极坐标方程夕=---时，极点和。的值分别是(D)

1-cos6

A.坐标原点12B.坐标原点0,6

C.焦点尸,12D.焦点尸,6

提示：由直角坐标方程V=12x知，p=6,根据圆锥曲线的极坐标方程建立的方法知I,

极点是圆锥曲线的焦点.

2.设曲线的极坐标方程为『=2asin8(a>()),则它表示的曲线是(D)

A.圆心在点(a,0)直径为。的圆B.圆心在点(0,a)直径为。的圆

C.圆心在点(a,0)直径为2。的圆D.圆心在点(0,a)直径为2。的圆

提示：曲线的直角坐标方程为/+>2_2砂=0,即》2+(>_4)2=/.

3.在极坐标系中与圆0=4sin。相切的一条直线的方程为(A)

JIJI

A.°cos6=2B.夕sin8=2C.p=4sin(^+y)D.p=4sin(。---)

提示：夕=4sin6的普通方程为Y+(y—2月=4,pcosd=2的普通方程为x=2

圆/+(y—2)2=4与直线x=2显然相切

4.设曲线的极坐标方程为夕=4cos。，则它的直角方程为.

x2+y2-4x=0

提示：p=4cos6与/J?=4pcos6等价.

5.设直线过极坐标系中的点M(2,0),且垂直于极轴，则它的极坐标方程

为.

pcosd-2

6.过抛物线V=4x的焦点尸作倾斜角为。的直线，交抛物线于A,5两点，求

11

-----1-----

\FA\\FB\

的值.

解：抛物线：/=4x中，p=2.

在以抛物线的焦点/为极点，Ox轴为极轴的极坐标系中，抛物线的极坐标方程为

2

1-cos0

设A点的极坐标为(夕,。)，则点B的极坐标为(夕,。+乃)，

111-COS1+COS。11

则----+-----=--------+--------1,-----1----的-值为1.

IE4I\FB\22\FA\\FB\

7.一颗慧星的轨道是抛物线，太阳位于这条抛物线的焦点上.已知这慧星距太阳1.6x108

千米时，

极半径和轨道的轴成々7T角.求这颗慧星轨道的极坐标方程，并且求它的近日点离太阳的距离.

3

解：以太阳的位置为极点，轨道的轴为极轴，建立极坐标系，

设轨道的极坐标方程为夕=—E—,因为。=巳时，p=1.6xl08,

l-cos，3

1.6x108=-------=2p,p=8x10z,

[冗

1一cos

3

7

Qx1A

・・・轨道的极坐标方程为了=」，当。=〃时、P=4xl()7.

1-cos。

这颗慧星轨道的极坐标方程为夕=生此一，它的近日点离太阳的距离为夕=4x1()7千

1-COS。

米.

12

8.从极点。引一条直线和圆p-2apeos。+/-r=0相交于一点。，点P分线段

0Q

成比机：〃，求点。在圆上移动时，点P的轨迹方程，并指出它表示什么曲线.

6+〃八

(P'mP，

将其代入圆的方程，得(丝士2夕)2-2。(生上巴夕)馍3+a2fi-r2=0,

mm

整理得,(m+n)2p2-2a(im+n)pco0+m2(a2-r2)=0,

，点P的轨迹方程为(加+〃)2夕*-2aQ/n+")pcoO+zs"/-/)=0,它表示一个

参数方程

【知识网络】

1.参数方程的概念.

2.曲线的参数方程与普通方程的互化.

3.利用曲线的参数方程解决有关问题.

【典型例题】

例L(1)3.将参数方程《(。为参数)化为普通方程为

y=sin26>

(C)

A.y=x-2B.y=x+2C.y=x-2(2<x<3)D.y=x+2(0<y<1)

提示：将y=sin?8代入x=2+sin?夕即可，但是0W$山2。41.

1

=

(2)参数方程为|xt~\—f(f为参数)表示的曲线是(D)

。=2

A.一条直线B.两条直线C.一条射线D.两条射线

提示：y=2表示一条平行于x轴的直线，而xN2,或x4-2,所以表示两条射线

(3)直线，。为参数)和圆一+产二遂交于4,8两点，则A5的中

y=-3V3H——?

、2

点坐

标为(D)

A.(3,-3)B.(-瓜3)C.(V3,-3)D.(3,-^3)

提示：(1+-02+(-373+—r)2=16,得产_&_8=0,t.+t,=8,-^1=4

222

,1,

x=1+—x4

2x=3

中点为，

y=-6

y=-3G+—x4

2

x=3+4f5

(4)直线《。为参数)的斜率为_______________________.一一

y=4-5/4

5

提示：

x-34/4

x=4r

(5)抛物线＜7(f为参数)在1轴上截得的弦长为___________________.

[y=i—4产

提示：令y=0,得，=±工.

2

当/=30寸，x=2；当/=—g时，x=-2,...抛物线与无轴交于点