2023年解三角形高考题集

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17．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC

sinC－b－c＝0．

(1)求A；

(2)若a＝2，△ABC

b，c．

17．解：(1)由acosC

sinC－b－c＝0及正弦定理得sinAcosC

AsinC－sinB－sinC＝0．由于B＝π－A－C，

AsinC－cosAsinC－sinC＝0．由于sinC≠0，所以sin(A又0＜A＜π，故A

π1)．62

π．31

(2)△ABC

的面积SbcsinA，故bc＝4．

2

而a2＝b2＋c2－2bccosA，故b2＋c2＝8．解得b＝c＝2．

17．在△ABC中，若sin2A＋sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定17．C由正弦定理可知a2＋b2＜c2，

a2b2c2

0，从而cosC

2ab

∴C为钝角，故该三角形为钝角三角形．11．在△ABC中，若a＝3

，bA11．答案：

π

，则∠C的大小为________．3

π2

ab1sinB，sinAsin

B2解析：由正弦定理得，

∴∠B＝30或∠B＝150．由a＞b可知∠B＝150不合题意，∴∠B＝30．∴∠C＝180－60－30＝90．5．如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE＝1，连结EC，ED，则sin∠CED＝(

)

B

C

D

A

5．B由于四边形ABCD是正方形，且AE＝AD＝1，所以∠AED＝

π

.4

cos∠BEC

∠CED

π＝sin(－∠BEC)

＝cos∠BEC

－sin∠BEC

＝.

422216．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知a＝2

，．c

cosA在Rt△EBC中，EB＝2，BC＝1，所以sin∠BEC

(1)求sinC和b的值；(2)求cos(2A＋

π

)的值．3

，可得sinA．44

ac又由及a＝2

，c

sinCsinAsinC16．解：(1)在△ABC

中，由cosA

由a2＝b2＋c2－2bccosA，得b2＋b－2＝0．由于b＞0，故解得b＝1．

所以sinC

b＝1．3(2)

由cosA

，sinA，得cos2A＝2cos2A－1＝，sin2A＝2sinAcosA

＝

444

，4

πππ3所以，cos(2A＋)＝cos2Acos－sin2Asin＝．

333

8

16．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且有2sinBcosA＝sinAcosC

＋cosAsinC．

(1)求角A的大小；

(2)若b＝2，c＝1，D为BC的中点，求AD的长．

16．解：(1)方法一：由题设知，2sinBcosA＝sin(A＋C)＝sinB，由于sinB≠0，所以

cosA

1．2

π．3

b2c2a2a2b2c2b2c2a2

ac方法二：由题设可知，2b，

2bc2ab2bcb2c2a21222

．于是b＋c－a＝bc，所以cosA

2bc2

π

由于0＜A＜π，故A．

3222ABAC21

(2)方法一：由于AD()(ABAC2ABAC)

24

1π7＝(1＋4＋212cos)＝，434

由于0＜A＜π，故A

所以AD

，从而AD．1

＝3，2

方法二：由于a2＝b2＋c2－2bccosA＝4＋1－221所以a2＋c2＝b2，B由于BD

π．

2

，AB＝

1，所以AD

17．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知sinB(tanA＋tanC)＝tanAtanC．

(1)求证：a，b，c成等比数列；

(2)若a＝1，c＝2，求△ABC的面积S．

17．解：(1)证明：在△ABC中，由于sinB(tanA＋tanC)＝tanAtanC，所以sinB(

sinAsinCsinAsinC

)，cosAcosCcosAcosC

因此sinB(sinAcosC＋cosAsinC)＝sinAsinC，

所以sinBsin(A＋C)＝sinAsinC，又A＋B＋C＝π，

所以sin(A＋C)＝sinB，因此sin2B＝sinAsinC．由正弦定理得b2＝ac，即a，b，c成等比数列．

a2c2b2122223

，(2)由于a＝1，c＝2，所以b由余弦定理得cosB

2ac2124

由于0

＜B＜π，所以sinB，

11故△ABC的面积

S＝ac

sinB＝12

226

．在△ABC中，若∠A＝60，∠B＝45，BC

AC＝()A

．B

．C

D．

2

6．B

由正弦定理得

BCACAC

，即，解得ACsinAsinBsin60sin45

16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知3cos(B－C)－1＝6cosBcosC．

(1)求cos

A；

(2)若a＝3，△ABC的面积为b，c.

16．解：(1)由3cos(B－C)－1＝6cosBcosC，得3(cosBcosC－sinBsinC)＝－1，即cos(B＋C)＝

11，从而cosA＝－cos(B＋C)＝.33

(2)由于0＜A＜π，cosA＝又S△ABC

＝

1，所以sinA

＝.33

1

bcsinAbc＝6.2

由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得b2＋c2＝13.解方程组

b2，b3，bc6，

得或22

c3，c2.bc13，

18．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA

cosB．

(1)求角B的大小；

(2)若b＝3，sinC＝2sinA，求a，c的值．18．解：(1)由bsinA

cosB及正弦定理得sinB

B，

ab，sinAsinB

π．3ac(2)由sinC＝2sinA及，得c＝2a．sinAsinC

所以tanB

B

由b＝3及余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得9＝a2＋c2－ac．

所以a

c

8．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若三边的长为连续的三个正整数，且A＞B＞C，3b＝20acosA，则sinA∶sinB∶sinC为()

A．4∶3∶2B．5∶6∶7C．5∶4∶3D．6∶5∶4

8．D由题意可设a＝b＋1，c＝b－1.又∵3b＝20acosA，∴3b＝20(b＋

b2(b1)2(b1)2

，整理得，7b2－27b－40＝0，解得b＝5，故a＝6，b＝5，c＝4，

2b(b1)

即sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝6∶5∶4.

8．在△ABC中，AC＝7，BC＝2，B＝60，则BC边上的高等于()

B

C

D

A

8．B在△ABC中，由余弦定理可知：

AC=AB+BC－2ABBCcosB，即7=AB2+4－22AB

222

整理得AB2－2AB－3=0.

解得AB=－1(舍去)或AB=3.

1.2

故BC边上的高AD=ABsinB=3sin60

13．在△ABC中，已知∠BAC＝60，∠ABC＝45

，BC，则AC＝__________．13．

解析：如图：由正弦定理得

ACBC

，

sinBsinA

AC即，故AC．

sin45

2

17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．角A，B，C成等差数列．(1)求cosB的值；

(2)边a，b，c成等比数列，求sinAsinC的值．17．解：(1)由已知2B＝A＋C，A＋B＋C＝180，解得B＝60，所以cosB

1

．2

(2)解法一：由已知b2＝ac，及cosB根据正弦定理得sin2B＝sinAsinC，所以sinAsinC＝1－cos2B＝

1，2

3．4

1，2

a2c2ac

根据余弦定理得cosB，解得a＝c，

2ac

3

所以A＝C＝B＝60，故sinAsinC＝．

4

解法二：由已知b2＝ac，及cosB

13．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝1，b＝2，cosC＝sinB＝__________.

13．

答案：

1

，则4

4

，∵b＝c，故解析：由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝4，故c＝2，而sinC

sinB＝sinC

π

，c，6

13．在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若a＝2，B

则b＝________.

13．答案：2

解析：∵b2=a2+c2－2accosB=4+12－22

16．在△ABC中，若sin2A＋sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定16．C由正弦定理可知a2＋b2＜c2，

=4，∴b=2.a2b2c2

0，从而cosC

2ab

∴C为钝角，故该三角形为钝角三角形．

17．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC

sinC－b－c＝0．

(1)求A；

(2)若a＝2，△ABC

b，c．

17．解：(1)由acosC

sinC－b－c＝0及正弦定理得sinAcosC

AsinC－sinB－sinC＝0．由于B＝π－A－C，

AsinC－cosAsinC－sinC＝0．由于sinC≠0，所以sin(A又0＜A＜π，故A

π1)．62

而a2＝b2＋c2－2bccosA，故b2＋c2＝8．

解得b＝c＝2．

17．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos(A－C)＋cosB＝1，a＝2c，求C．

17．解：由B＝π－(A＋C)，得cosB＝－cos(A＋C)．

于是cos(A－C)＋cosB＝cos(A－C)－cos(A＋C)＝2sinAsinC，由已知得sinAsinC＝由a＝2c及正弦定理得sinA＝2sinC．②由①②得sinC＝，

2

π．31

(2)△ABC

的面积SbcsinA，故bc＝4．

2

1.①2

14

11

(舍去)或sinC＝.

22

π

又a＝2c，所以C.

6

于是sinC＝

11．在△ABC中，若a＝2，b＋c＝7，cosB11．答案：4

1

，则b＝________．4

a2c2b24(7b)2b21

解析：由余弦定理得，cosB，解得b＝4．

2ac22(7b)4

4．如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE＝1，连结EC，ED，则sin∠CED

＝()

B

10C

D

A

．

π

.4在Rt△EBC中，EB＝2，BC＝1，所以sin∠BEC

＝，cos∠BEC

∠CED

5

π＝sin(－∠BEC)

cos∠BEC

sin∠BEC

.

44．B由于四边形ABCD是正方形，且AE＝AD＝1，所以∠AED＝

6．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知8b＝5c，C＝2B，则cosC＝()

77247

B．C．D．

25252525

bcsinCc6．A在△ABC中，由正弦定理：，∴，sinBsinCsinBb

sin2B84

，∴cosB．∴

sinB55

7

∴cosC＝cos2B＝2cos2B－1＝．

25

A．

15．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，则以下命题正确的是__________(写出所有正确命题的编号)．

ππ②若a＋b＞2c，则C33

ππ

③若a3＋b3＝c3，则C④若(a＋b)c＜2ab，则C

22

π

⑤若(a2＋b2)c2＜2a2b2，则C

3

①若ab＞c2，则C15．答案：①②③

a2b2c2a2b2ab2abab1

．解析：对于①，由ab＞c可得cosC

2ab2ab2ab2

π

故C，∴①正确；

3

ab(ab)22

对于②，由a＋b＞2c可得c，故c．

24

(ab)2322ab3ab22

ab(ab)2ab222

abc1．故cosC2ab2ab2ab2ab2π

∴C，②正确；

3

2

a3b3a3b322222

对于③，由a＋b＝c可得c，故a＋b－c＝a＋b－＝

cc

a2cb2c(a3b3)a2(ca)b2(cb)

．

cc

3

3

3

2

又a3＋b3＝c3，故c＞a，c＞b，

a2(ca)b2(cb)

0，故

c

π

故a2＋b2＞c2．故C，③正确；

2

2ab4a2b24a2b22

对于④，c，故cab．2

ab(ab)4ab

πa2b2c2a2b2ab1

．∴C，④不正确；故cosC

32ab2ab2

2a2b22a2b2222222

ab．对于⑤，由(a＋b)c＜2ab可得c2

ab22ab

a2b2c2a2b2ab2abab1

．故cosC

2ab2ab2ab2π

∴C，⑤不正确．综上可知，①②③正确．

3

πππ

17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知A，bsin(＋C)－csin(

444

＋B)＝a.

(1)求证：B－C＝(2)

若a

π

；2

ABC的面积．

ππ

17．(1)证明：由bsin(＋C)－csin(＋B)＝a，

44

应用正弦定理，得

ππ

＋C)－sinCsin(＋B)＝sinA，44sinB

sinC

cosC)－sinC

sinB

B)

sinBsin(

整理得sinBcosC－cosBsinC＝1，

即sin(B－C)＝1，

π33

π，0＜C＜π，从而B－C＝.

244

3ππ5ππ

(2)解：B＋C＝π－A＝，又由于B－C＝，因此B，C，

4288πasinB5πasinCπ

2sin2sin，由aA，得b，c

4sinA8sinA8

15ππππ1

sinsin.所以△ABC

的面积SbcsinA288882

2

18．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知cosA，sinB

C．

3

由于0＜B＜

(1)求tanC的值；(2)

若a

ABC的面积．

2，

3

18．解：(1)由于0＜A＜π，cosA＝得sinA

，

3

C＝sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC

2

CsinC．3

所以tan

C

＝

(2)

由tanC

sinC于是sinBC

cosC．

ac由a，得c

sin

AsinC

设△ABC的面积为S，则S

1．acsinB

22

13．已知△ABC

______