状态变量分析法

状态变量分析法第1页，共46页，2023年，2月20日，星期日contents连续时间系统状态方程的求解41连续时间系统状态方程的建立2离散时间系统状态方程的建立求解3系统状态方程的稳定性、能控性介绍5状态和状态变量第2页，共46页，2023年，2月20日，星期日

状态和状态变量是描述物理系统特性的一个重要概念。在电路及系统工程理论中有它们专门的含义，是一个专用的术语。状态的定义：一个电路的状态是指在任意时刻必须具备最少量的信息，这些信息与时刻以后的激励，就能够完全确定以后任何时刻电路或系统响应。

用来定义电路状态的最少数目的变量，则称为状态变量。

一

状态和状态变量第3页，共46页，2023年，2月20日，星期日

下面来针对电路元件来说明取作状态变量的是那些物理量。线性电容元件的电压和电流i的关系式为：

把电容电压表示为电流i的函数，则上式积分得

说明：在某一时刻t，电容电压的数值并不仅取决于这一时刻的电流值，而是取决于从－∞到t所有时刻的电流值，也就是说与电流全部过去的的历史有关。第4页，共46页，2023年，2月20日，星期日

总有一个初始时刻，如果只对某一任意时刻选定的初始时刻以后的电容情况感兴趣，则可以把式子写成：

以前的全部历史情况对未来产生的效果可以由时刻的电容电压来反映，就是说，如果知道和开始作用的电流,就能完全确定时的电容电压。因此电容电压就是电容元件的状态变量。

同理，由于在任选时刻以后的电感元件的电流表达式可以表示为

所以，电感的电流值也是一个状态变量。

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初始时刻的电感电流和电容电压，实际上是反映了初始时刻的储能情况，例如：设在期间对电容充电，则在此期间供给电容的能量应为：

当时，另外，电感的全部储能也只与某一时刻的电感电流值有关，即根据机电类比关系，由于转动部分的动能为，所以在机电系统中，电容电压，电感电流和角速度都是状态变量。在分析系统的运动时，我们可以把一组状态变量作为求解量，这样列出的方程成为状态方程，状态方程是一组联立的一阶微分方程。第6页，共46页，2023年，2月20日，星期日状态变量分析法定义：（1）用任意瞬时的状态值和此以后的激励可以唯一地确定的任意时的状态。（2）用任意瞬时的状态值和此瞬时以后的激励值就可以唯一地确定此瞬时电路中所有变量的值。状态变量法是以系统内部变量为基础建立的系统方程。由于它可以引用控制系统理论的概念、方法，又适宜于计算机的数值求解，所以不仅对于单输入单输出系统的分析，而且更适用于多输入多输出系统、非线性系统以及时变电路的分析。第7页，共46页，2023年，2月20日，星期日【例题1】如图1所示的电路中，列些其状态方程和输出方程。图1第8页，共46页，2023年，2月20日，星期日整理方程，使得方程左端仅含状态变量的一阶导数，右端只含状态变量的输入变量而不含有它们的导数。

将状态方程组写成如下形式－第9页，共46页，2023年，2月20日，星期日一个电路的状态变量不是唯一的，但必须是独立的，且是最少个数的。在

已知后，假设输出是电阻与电感上的电压之和。输出方程：输出电压：第10页，共46页，2023年，2月20日，星期日其中x=[

iL

]T称为电路的状态x中的元素iL和uC称为状态变量A、B

—为系数矩阵，取决于电路拓扑结构和元件参数f—为输入向量x(0+)=[

]T—为电路的初始状态x(0-)

—电路的原始状态x(0+)=x(0-)=x(0)=x0根据换路定律有状态方程的标准形式：第11页，共46页，2023年，2月20日，星期日（1）当

f=0，x00时，状态方程描述零输入响应；（2）当f0，x0=0时，状态方程描述零状态响应；（3）当f0，x00时，状态方程描述完全响应。第12页，共46页，2023年，2月20日，星期日

状态变量分析法的名词状态失量的定义：能够完全描述一个系统行为的n个状态变量构成状态矢量。如一个二维矢量：状态空间：状态矢量λ(t)所在的空间。如果一个系统需要n个状态变量来描述，则状态矢量是n维矢量，对应的状态空间就是n维空间。状态轨迹：在状态空间中状态矢量端点随时间变化所描出的路径称为状态轨迹。第13页，共46页，2023年，2月20日，星期日(a)过阻尼情况(b)无阻尼情况(c)发散情况电路的状态空间轨迹能够反映电路的特性

1.过阻尼情况

状态轨迹从t=0+的初始状态x0=[I0U0]T开始，在t=

时终止于坐标原点。第14页，共46页，2023年，2月20日，星期日（3）欠阻尼情况：状态轨迹是从t=0+到t=

时的螺旋线。

响应为增幅振荡情况：在t趋于

时，零输入响应成为无界，状态轨迹是向外发散的。（2）无阻尼情况：状态轨迹是以原点为对称的椭圆。

(a)欠阻尼情况(b)无阻尼情况(c)发散情况第15页，共46页，2023年，2月20日，星期日注意：在线性非时变电路中，由于求解电路响应所必需的初始条件可以由电容的初始电压和电感的初始电流完全确定，所以通常选取独立的电容电压uC和独立的电感电流iL作为状态变量。

电路的复杂度(complexity)，亦称自由度(freedom)。

电路状态变量的数目等于系统中包含独立贮能元件的数目。第16页，共46页，2023年，2月20日，星期日状态变量分析法的优点用状态变量分析系统的优点在于：(1)便于研究系统内部的一些物理量的变化规律，这些物理量可以用状态矢量的一个分量来表示。 (2)这种以矢量和矩阵表示的系统的数学模型适用于描述多输入-多输出系统。 (3)由于系统的状态方程都是一阶微分方程或一阶差分方程，便于采用数值解法，便于计算机求解。

第17页，共46页，2023年，2月20日，星期日二连续时间系统状态方程的建立（1）连续时间系统状态方程的普遍形式第18页，共46页，2023年，2月20日，星期日

如果系统是线性时不变的，则状态方程和输出方程是状态变量和输入信号的线性组合。即：第19页，共46页，2023年，2月20日，星期日其中，C为r×n的输出矩阵，D为r×m的矩阵如果用矢量矩阵表示，即状态方程为：其中，A为n×n的系统矩阵，B为n×m的控制矩阵。第20页，共46页，2023年，2月20日，星期日

直接列写系统的状态方程

状态变量分析法的核心是：根据所研究的系统的具体情况建立状态方程，然后在满足精度要求下解出状态方程。从上述RLC电路状态方程的建立过程可见，对于简单的系统，建立状态方程的一般步骤如下：（1）根据系统情况选择合适的状态变量。（2）建立系统的运动方程。（3）消去方程中的非状态变量，将状态变量的一阶导数移动到方程的左端，将状态变量和输入移到右端，使运动方程化为状态方程的标准形式。

第21页，共46页，2023年，2月20日，星期日三连续时间系统状态方程的求解线性定常系统的状态方程，可用拉普拉斯变换法进行求解，若已知线性定常系统的状态方程为对上式两端进行拉氏变换，得式中I-单位矩阵；的初始值所构成的列矩阵；求解上式得：

式中，称为状态转移矩阵，即

由此可见，只要求出系统的状态转移矩阵，即可求出。再取的拉式逆变换，即可解出，因为

第22页，共46页，2023年，2月20日，星期日【例题2】已知某一机电系统的运动方程为：

式中，θ位角位移，为外加电流源，系统的初始条件为零，如为单位阶跃响应，试用状态方程求解此运动方程。解：设，则上述方程可以改写为写成矩阵则为

将上式与标准型对照，可知第23页，共46页，2023年，2月20日，星期日考虑到初始条件为零以及为单位阶跃函数，故

，该系统的状态转移矩阵为该系统的和分别为

第24页，共46页，2023年，2月20日，星期日将展开成部分分式，可以得到于是，为求法与相同。第25页，共46页，2023年，2月20日，星期日四离散时间系统的状态方程离散系统的状态方程形式为：输出方程为：第26页，共46页，2023年，2月20日，星期日如果系统是线性时不变系统，则状态方程和输出方程是状态变量和输入信号的线形组合。状态方程：输出方程：第27页，共46页，2023年，2月20日，星期日

状态方程和输出方程可以看出，这是由输入量、输出量。状态变量以及联系它们之间关系的A、B、C、D矩阵组成。即，状态方程和输出方程可以简写为：从状态方程可以看出，系统在时刻的状态变量是时刻状态变量和输入信号的函数。第28页，共46页，2023年，2月20日，星期日五离散时间系统状态方程的求解已知离散时间系统的状态方程和输出方程为

经整理得将上式两边取z变换，得其中I是n×n的单位矩阵。如果(zI-A)是可逆的，令则有第29页，共46页，2023年，2月20日，星期日对上式进行逆反变换得(2)输出方程的一般形式为将上式两边取z变换，得将

带入上式，经整理得由上式可知，系统的零输入响应的z变换为系统的零状态响应的z变化为第30页，共46页，2023年，2月20日，星期日【例题3】设某系统的输入输出方程为写出该系统的状态空间表达式。解:对差分方程取z变换有画出其系统框图如图8-8所示

例题3的系统框图第31页，共46页，2023年，2月20日，星期日其状态方程为写出矩阵形式为其输出方程为写出矩阵形式为第32页，共46页，2023年，2月20日，星期日上述线性时不变系统，较易求出其解，然而通常遇到的多为非线性系统和时变系统。即对于这样的系统，要求出其解析解是比较困难的，有时是不可能的。为此，要采用数值解法。

数值解法

前已述及，电机动态课题的数学模型都可以化为一阶微分方程或方程组的初值问题，即所谓数值解法，就是寻求初值问题式的解在一系列离散点上的近似值,相邻两点间的距离，称为步长。

第33页，共46页，2023年，2月20日，星期日为了适应数字计算机解体的需要，数字解法有一基本的特征，就是具有递推性，是求解过程能够顺着逐点排列的顺序一步一步向前推进。因此，描述这类算法，只要给出从已知结果能算出的计算式即可。第34页，共46页，2023年，2月20日，星期日六由状态方程判定系统的稳定性1、连续系统稳定性判别则上式的根在s平面上的位置决定了系统的稳定情况。只要知道它的根落在s平面的左半平面，系统就是稳定的。【例题4】已知一机电系统的状态方程为判断k取何值时，系统是稳定的。第35页，共46页，2023年，2月20日，星期日 解：从状态方程可知系统的特征多项式根据罗斯-霍尔维兹准则可以知道，为了保证上列三次多项式的根都落于s左半平面，必须满足解得,即k值在此范围内系统稳定。第36页，共46页，2023年，2月20日，星期日2、离散系统稳定性判别如果系统稳定，则要求矩阵A的特征值 ,即系统的特征根位于单位圆内。

采用特征根判别系统的稳定性时，需要求解系统的特征根。如果遇到高阶方程，求解特征根的计算有一定的复杂性。对于二阶线性定常系统，可以不要求出特征根而直接判别二阶线性定常系统稳定性的充要条件。第37页，共46页，2023年，2月20日，星期日 【定理1】如果一个特征多项式为

当二阶线性定常系统的两个特征根全部位于平面的单位圆中时，系统稳定的充分必要条件为

第38页，共46页，2023年，2月20日，星期日【例题5】给定图中的系统，已知

，

，问此系统是否稳定?解：列出系统的状态方程第39页，共46页，2023年，2月20日，星期日

根据【定理1】得解得在给定

的范围内，只有满足

才可保证系统式稳定的。此时，特征根落于单位圆内。第40页，共46页，2023年，2月20日，星期日写成矩阵形式有系统的多项式则根据定理8-1判断系统的稳定性，可知有第41页，共46页，2023年，2月20日，星期日系统的能控性和可观测性对于一个实际系统，总希望输入信号能够对状态实行完全控制，从而