2022年全国各省市中考数学汇编之三角函数实际问题

2022年全国各省市中考数学真题汇编三角函数实际问题(2022·湖北省宜昌市)知识小提示：要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一般要满足53°≤α≤72°.(参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33，sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08，sin66°≈0.91，cos66°≈0.41，tan66°≈2.25)

如图，现有一架长4m的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上．

(1)当人安全使用这架梯子时，求梯子顶端A与地面距离的最大值；

(2)当梯子底端B距离墙面1.64m时，计算∠ABO等于多少度？并判断此时人是否能安全使用这架梯子？(2022·山西省)随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度．某校“综合与实践”活动小组的同学要测量AB，CD两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在AB，CD两楼之间上方的点O处，点O距地面AC的高度为60m，此时观测到楼AB底部点A处的俯角为70°，楼CD上点E处的俯角为30°，沿水平方向由点O飞行24m到达点F，测得点E处俯角为60°，其中点A，B，C，D，E，F，O均在同一竖直平面内．请根据以上数据求楼AB与CD之间的距离AC的长(结果精确到1m.参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，3≈1.73)．

(2022·江苏省泰州市)小强在物理课上学过平面镜成像知识后，在老师的带领下到某厂房做验证实验．如图，老师在该厂房顶部安装一平面镜MN，MN与墙面AB所成的角∠MNB=118°，厂房高AB=8m，房顶AM与水平地面平行，小强在点M的正下方C处从平面镜观察，能看到的水平地面上最远处D到他的距离CD是多少？(结果精确到0.1m，参考数据：sin34°≈0.56，tan34°≈0.68，tan56°≈1.48)(2022·湖北省仙桃市）小红同学在数学活动课中测量旗杆的高度．如图，已知测角仪的高度为1.58米，她在A点观测旗杆顶端E的仰角为30°，接着朝旗杆方向前进20米到达C处，在D点观测旗杆顶端E的仰角为60°，求旗杆EF的高度．(结果保留小数点后一位)(参考数据：3≈1.732)(2022·湖北省鄂州市)亚洲第一、中国唯一的航空货运枢纽——鄂州花湖机场，于2022年3月19日完成首次全货运试飞，很多市民共同见证了这一历史时刻．如图，市民甲在C处看见飞机A的仰角为45°，同时另一市民乙在斜坡CF上的D处看见飞机A的仰角为30°.若斜坡CF的坡比=1：3，铅垂高度DG=30米(点E、G、C、B在同一水平线上).求：

(1)两位市民甲、乙之间的距离CD；

(2)此时飞机的高度AB.(结果保留根号)(2022·湖南省常德市)第24届冬季奥林匹克运动会于今年2月4日至20日在北京举行，我国冬奥选手取得了9块金牌、4块银牌、2块铜牌，为祖国赢得了荣誉，激起了国人对冰雪运动的热情．某地模仿北京首钢大跳台建了一个滑雪大跳台(如图1)，它由助滑坡道、弧形跳台、着陆坡、终点区四部分组成．图2是其示意图，已知：助滑坡道AF=50米，弧形跳台的跨度FG=7米，顶端E到BD的距离为40米，HG/​/BC，∠AFH=40°，∠EFG=25°，∠ECB=36°.求此大跳台最高点A距地面BD的距离是多少米(结果保留整数)．

(参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47，sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73)(2022·湖北省荆州市)荆州城徽“金凤腾飞”立于古城东门外．如图，某校学生测量其高AB(含底座)，先在点C处用测角仪测得其顶端A的仰角为32°，再由点C向城徽走6.6m到E处，测得顶端A的仰角为45°.已知B，E，C三点在同一直线上，测角仪离地面的高度CD=EF=1.5m，求城徽的高AB.(参考数据：sin32°≈0.530，cos32°≈0.848，tan32°≈0.625)．(2022·广西壮族自治区贺州市)如图，在小明家附近有一座废旧的烟囱，为了乡村振兴，美化环境，政府计划把这片区域改造为公园．现决定用爆破的方式拆除该烟囱，为确定安全范围，需测量烟囱的高度AB，因为不能直接到达烟囱底部B处，测量人员用高为1.2m的测角器在与烟囱底部B成一直线的C，D两处地面上，分别测得烟囱顶部A的仰角∠B′C′A=60°，∠B′D′A=30°，同时量得CD为60m.问烟囱AB的高度为多少米？(精确到0.1m，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)(2022·四川省宜宾市)宜宾东楼始建于唐代，重建于宜宾建城2200周年之际的2018年，新建成的东楼(如图1)成为长江首城会客厅、旅游休闲目的地、文化地标打卡地．某数学小组为测量东楼的高度，在梯步A处(如图2)测得楼顶D的仰角为45°，沿坡比为7：24的斜坡AB前行25米到达平台B处，测得楼顶D的仰角为60°，求东楼的高度DE.(结果精确到1米．参考数据：3≈1.7，2(2022·河北省)如图，某水渠的横断面是以AB为直径的半圆O，其中水面截线MN//AB.嘉琪在A处测得垂直站立于B处的爸爸头顶C的仰角为14°，点M的俯角为7°.已知爸爸的身高为1.7m．

(1)求∠C的大小及AB的长；

(2)请在图中画出线段DH，用其长度表示最大水深(不说理由)，并求最大水深约为多少米(结果保留小数点后一位)．

(参考数据：tan76°取4，17取4.1)(2022·湖南省娄底市)“体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想”.墩墩使用握力器(如实物图所示)锻炼手部肌肉．如图，握力器弹簧的一端固定在点P处，在无外力作用下，弹簧的长度为3cm，即PQ=3cm.开始训练时，将弹簧的端点Q调在点B处，此时弹簧长PB=4cm，弹力大小是100N，经过一段时间的锻炼后，他手部的力量大大提高，需增加训练强度，于是将弹簧端点Q调到点C处，使弹力大小变为300N，已知∠PBC=120°，求BC的长．

注：弹簧的弹力与形变成正比，即F=k⋅Δx，k是劲度系数，Δx是弹簧的形变量，在无外力作用下，弹簧的长度为x0，在外力作用下，弹簧的长度为x，则Δx=x−x(2022·四川省成都市)2022年6月6日是第27个全国“爱眼日”，某数学兴趣小组开展了“笔记本电脑的张角大小、顶部边缘离桌面的高度与用眼舒适度关系”的实践探究活动．

如图，当张角∠AOB=150°时，顶部边缘A处离桌面的高度AC的长为10cm，此时用眼舒适度不太理想．小组成员调整张角大小继续探究，最后联系黄金比知识，发现当张角∠A′OB=108°时(点A′是A的对应点)，用眼舒适度较为理想．求此时顶部边缘A′处离桌面的高度A′D的长．(结果精确到1cm；参考数据：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08)(2022·四川省自贡市)某数学兴趣小组自制测角仪到公园进行实地测量，活动过程如下：

(1)探究原理

制作测角仪时，将细线一端固定在量角器圆心O处，另一端系小重物G.测量时，使支杆OM、量角器90°刻度线ON与铅垂线OG相互重合(如图①)，绕点O转动量角器，使观测目标P与直径两端点A、B共线(如图②)，此时目标P的仰角∠POC=∠GON.请说明这两个角相等的理由．

(2)实地测量

如图③，公园广场上有一棵树，为测树高，同学们在观测点K处测得树顶端P的仰角∠POQ=60°，观测点与树的距离KH为5米，点O到地面的距离OK为1.5米，求树高PH.(3≈1.73，结果精确到0.1米)

(3)拓展探究

公园高台上有一凉亭，为测量凉亭顶端P距地面的高度PH(如图④)，同学们经过讨论，决定先在水平地面上选取观测点E、F(E、F、H在同一直线上)，分别测得点P的仰角α、β，再测得E、F间的距离m，点O1、O2到地面的距离O1E、O2F均为1.5米．求PH(用α、β

(2022·浙江省嘉兴市)小华将一张纸对折后做成的纸飞机如图1，纸飞机机尾的横截面是一个轴对称图形，其示意图如图2，已知AD=BE=10cm，CD=CE=5cm，AD⊥CD，BE⊥CE，∠DCE=40°．

(1)连结DE，求线段DE的长．

(2)求点A，B之间的距离．

(结果精确到0.1cm.参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84)

(2022·甘肃省武威市)灞陵桥位于甘肃省渭源县城南清源河(渭河上游)上，始建于明洪武初年，因“渭水绕长安，绕灞陵，为玉石栏杆灞陵桥”之语，得名灞陵桥(图1)，该桥为全国独一无二的纯木质叠梁拱桥．某综合实践研究小组开展了测量汛期某天“灞陵桥拱梁顶部到水面的距离”的实践活动，过程如下：

方案设计：如图2，点C为桥拱梁顶部(最高点)，在地面上选取A，B两处分别测得∠CAF和∠CBF的度数(A,B,D,F在同一条直线上)，河边D处测得地面AD到水面EG的距离DE(C,F,G在同一条直线上，DF//EG，CG⊥AF，FG=DE)．

数据收集：实地测量地面上A，B两点的距离为8.8m，地面到水面的距离DE=1.5m，∠CAF=26.6°，∠CBF=35°．

问题解决：求灞陵桥拱梁顶部C到水面的距离CG(结果保留一位小数)．

参考数据：sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50，sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70．

根据上述方案及数据，请你完成求解过程．(2022·四川省眉山市)数学实践活动小组去测量眉山市某标志性建筑物的高CD.如图，在楼前平地A处测得楼顶C处的仰角为30°，沿AD方向前进60m到达B处，测得楼顶C处的仰角为45°，求此建筑物的高．(结果保留整数．参考数据：2≈1.41，3≈1.73)(2022·浙江省台州市)如图1，梯子斜靠在竖直的墙上，其示意图如图2.梯子与地面所成的角α为75°，梯子AB长3m，求梯子顶部离地竖直高度BC.(结果精确到0.1m；参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73)(2022·四川省广元市)如图，计划在山顶A的正下方沿直线CD方向开通穿山隧道EF.在点E处测得山顶A的仰角为45°，在距E点80m的C处测得山顶A的仰角为30°，从与F点相距10m的D处测得山顶A的仰角为45°，点C、E、F、D在同一直线上，求隧道EF的长度．参考答案1.解：(1)53°≤α≤72°，当α=72°时，AO取最大值，

在Rt△AOB中，sin∠ABO=AOAB，

∴AO=AB⋅sin∠ABO=4×sin72°=4×0.95=3.8(米)，

∴梯子顶端A与地面的距离的最大值为3.8米；

(2)在Rt△AOB中，cos∠ABO=BOAB=1.64÷4=0.41，

∵cos66°≈0.41，2.解：延长AB，CD分别与直线OF交于点G和点H，

则AG=60m，GH=AC，∠AGO=∠EHO=90°，

在Rt△AGO中，∠AOG=70°，

∴OG=AGtan70∘≈602.75≈21.8(m)，

∵∠HFE是△OFE的一个外角，

∴∠OEF=∠HFE−∠FOE=30°，

∴∠FOE=∠OEF=30°，

∴OF=EF=24m，

在Rt△EFH中，∠HFE=60°，

∴FH=EF⋅cos60°=24×12=12(m)，

∴AC=GH=OG+OF+FH=21.8+24+12≈58(m)，3.解：连接MC，过点M作HM⊥NM，

由题意得：

∠DMC=2∠CMH，∠MCD=∠HMN=90°，AB=MC=8m，AB/​/MC，

∴∠CMN=180°−∠MNB=180°−118°=62°，

∴∠CMH=∠HMN−∠CMN=28°，

∴∠DMC=2∠CMH=56°，

在Rt△CMD中，CD=CM⋅tan56°≈8×1.48≈11.8(米)，

∴能看到的水平地面上最远处D到他的距离CD约为11.8米．4.解：过点D作DG⊥EF于点G，

则A，D，G三点共线，BC=AD=20米，AB=CD=FG=1.58米，

设DG=x米，则AG=(20+x)米，

在Rt△DEG中，∠EDG=60°，

tan60°=EGDG=EGx=3，

解得EG=3x，

在Rt△AEG中，∠EAG=30°，

tan30°=EGAG=3x20+x=33，

5.解：(1)∵斜坡CF的坡比=1：3，DG=30米，

∴DGGC=13，

∴GC=3DG=90(米)，

在Rt△DGC中，DC=DG2+GC2=302+902=3010(米)，

∴两位市民甲、乙之间的距离CD为3010米；

(2)过点D作DH⊥AB，垂足为H，

则DG=BH=30米，DH=BG，

设BC=x米，

在Rt△ABC中，∠ACB=45°，

∴AB=BC⋅tan45°=x(米)，

∴AH=AB−BH=(x−30)米，

在Rt△ADH中，∠ADH=30°6.解：如图，过点F作FN⊥BC于点N，交HG于点M，则AB=AH−EM+EN．

根据题意可知，∠AHF=∠EMF=∠EMG=90°，EN=40(米)，

∵HG//BC，

∴∠EGM=∠ECB=36°，

在Rt△AHF中，∠AFH=40°，AF=50，

∴AH=AF⋅sin∠AFH≈50×0.64=32(米)，

在Rt△FEM和Rt△EMG中，设MG=m米，则FM=(7−m)米，

∴EM=MG⋅tan∠EGM=MG⋅tan36°=0.73m，

EM=FM⋅tan∠EFM=FM⋅tan25°=0.47(7−m)，

∴0.73m=0.47(7−m)，解得m≈2.7(米)，

∴EM=0.47(7−m)≈2.021(米)，

∴AB=AH−EM+EN≈32−2.021+40≈70(米7.解：延长DF交AB于点G，

则∠AGF=90°，DF=CE=6.6米，CD=EF=BG=1.5米，

设FG=x米，

∴DG=FG+DF=(x+6.6)米，

在Rt△AGF中，∠AFG=45°，

∴AG=FG⋅tan45°=x(米)，

在Rt△AGD中，∠ADG=32°，

∴tan32°=AGDG=xx+6.6≈0.625，

∴x=11，

经检验：x=11是原方程的根，

∴AB=AG+BG=11+1.5=12.5(米)，

8.解：由题意得：

BB′=DD′=CC′=1.2米，D′C′=DC=60米，

∵∠AC′B′是△AD′C′的一个外角，

∴∠D′AC′=∠AC′B′−∠AD′B′=30°，

∴∠AD′C′=∠D′AC′=30°，

∴D′C′=AC′=60米，

在Rt△AC′B′中，∠AC′B′=60°，

∴AB′=AC′⋅sin60°=60×32=303(米)，

∴AB=AB′+BB′=303+1.2≈53.2(米)9.解：由已知可得，

tan∠BAF=BFAF=724，AB=25米，∠DBE=60°，∠DAC=45°，∠C=90°，

设BF=7a米，AF=24a米，

∴(7a)2+(24a)2=252，

解得a=1，

∴AF=24米，BF=7米，

∵∠DAC=45°，∠C=90°，

∴∠DAC=∠ADC=45°，

∴AC=DC，

设DE=x米，则DC=(x+7)米，BE=CF=x+7−24=(x−17)米，

∵tan10.解：(1)∵嘉琪在A处测得垂直站立于B处的爸爸头顶C的仰角为14°，

∴∠CAB=14°，∠CBA=90°，

∴∠C=180°−∠CAB−∠CBA=76°，

∵tanC=ABBC，BC=1.7m，

∴tan76°=AB1.7，

∴AB=1.7×tan76°=6.8(m)，

答：∠C=76°，AB的长为6.8m；

(2)图中画出线段DH如图：

∵OA=OM，∠BAM=7°，

∴∠OMA=∠OAM=7°，

∵AB//MN，

∴∠AMD=∠BAM=7°，

∴∠OMD=14°，

∴∠MOD=76°，

在Rt△MOD中，

tan∠MOD=MDOD，

∴tan76°=MDOD，

∴MD=4OD，

设OD=x m，则MD=4x m，

在Rt△MOD中，OM=OA=12AB=3.4m，

∴x2+(4x)2=3.411.解：由题意可得，

x0=3cm，

100=k(4−3)，

解得k=100，

∴F=100Δx，

当F=300时，300=100×(PC−3)，

解得PC=6cm，

由图可得，

∠PAB=90°，∠PBC=120°，

∴∠APB=30°，

∵PB=4cm，

∴AB=2cm，PA=PB2−AB2=23(cm)，

∵PC=5cm，

∴AC=P12.解：∵∠AOB=150°，

∴∠AOC=180°−∠AOB=30°，

在Rt△ACO中，AC=10cm，

∴AO=2AC=20(cm)，

由题意得：

AO=A′O=20cm，

∵∠A′OB=108°，

∴∠A′OD=180°−∠A′OB=72°，

在Rt△A′DO中，A′D=A′O⋅sin72°≈20×0.95=19(cm)，

∴此时顶部边缘A′处离桌面的高度A′D的长约为19cm13.解：(1)∵∠COG=90°，∠AON=90°，

∴∠POC+∠CON=∠GON+∠CON，

∴∠POC=∠GON；

(2)由题意可得，

KH=OQ=5米，QH=OK=1.5米，∠PQO=90°，∠POQ=60°，

∵tan∠POQ=PQOQ，

∴tan60°=PQ5，

解得PQ=53，

∴PH=PQ+QH=53+1.5≈10.2(米)，

即树高PH为10.2米；

(3)由题意可得，

O1O2=m，O1E=O2F=DH=1.5米，

由图可得，tanβ=PDO214.解：(1)如图，过点C作CF⊥DE于点F，

∵CD=CE=5cm，∠DCE=40°．

∴∠DCF=20°，

∴DF=CD⋅sin20°≈5×0.34≈1.7(cm)，

∴DE=2DF≈3.4cm，

∴线段