第1章离散时间信号与系统

1信号处理基础主讲张天骐博士Email:zhangtq@/可通过Email答疑Address:重庆邮电学院通信与信息工程学院信号处理教研中心（逸夫楼4楼）Tel1343619341221.D.G.Manolakis,V.K.Ingle,S.T.Kogon,StatisticalandAdaptiveSignalProcessing,TheMcGraw-HillCompanies,Inc.,2000.2.J.G.Proakis,C.M.Rader,etal.AlgorithmsforStatisticalSignalProcessing,PrenticeHall,2002.3.姚天任，孙洪，现代数字信号处理，华中科技大学出版社，1999年11月。4.张贤达著，现代信号处理，清华大学出版社，2002年10月。5.何子述，夏威等编著，现代数字信号处理及其应用，清华大学出版社，2009年5月。（参考教材）6.吴正国，尹为民等编著,高等数字信号处理，机械工业出版社，2009年4月。7.张贤达编著，现代信号处理习题与解答，清华大学出版社，2003年6月。8.何子述，夏威等编著，现代数字信号处理及其应用习题解答，清华大学出版社，2011年6月。参考书目：33数字信号处理（DigitalSignalProcessing）：用数字计算机或其它专用数字设备，以数值计算的方式对离散时间信号进行分析、处理。传统数字信号处理(ClassicDigitalSignalProcessing):

主要针对线性时不变离散时间系统，用卷积、离散时间傅里叶变换、z变换等理论对确定信号进行处理。现代数字信号处理(AdvancedDigitalSignalProcessing):

在传统数字信号处理理论基础之上，基于概率统计的思想，用数理统计、优化估计、线性代数和矩阵计算等理论进行研究，处理的信号通常是离散时间随机过程，且系统可能是时变、非线性的。前言44数字信号处理理论（theory）：

根据从工程实际中抽象出的信号模型和系统模型，用数学理论进行严格证明得到的定理等结论。数字信号处理算法(algorithm)：

为高速或高效实现某种数字信号处理理论，所采用的计算方法或计算技巧。例：DFT是理论；FFT是实现DFT的计算技巧，属算法。前言－数字信号处理理论与算法5非实时实现（notreal-timeimplementation）：

用高级计算机语言，在通用计算机上实现的信号处理理论和算法；通常是对信号事后分析与仿真；如对采集的接收数据进行特征分析，参数提取与估计等。实时实现（real-timeimplementation）：

用数字信号处理器或专用数字器件对信号进行实时处理，如：DSPprocessor(TI,AD)；FPGA/CPLD；专用器件；或通用计算机等。前言－数字信号处理的实现66本课程特点：1、注重基本概念和基本理论；2、注重理论算法与具体的工程应用相结合；3、适当介绍近年来发展的新理论新方法；4、对信号的时域处理理论重点介绍，空域处理理论集中介绍。前言7基础知识现代谱估计；高阶谱估计；循环谱估计；维纳滤波；自适应滤波；卡尔曼滤波；其他信号处理方法介绍。前言－本课程主要内容8信号处理基础的课程要求“信号处理基础”是信息与通信工程各专业的一门理论型和实践性都很强的专业基础课，它能很好地体现专业技术素养和动手能力。该课的许多概念和基本理论往往要通过练习题、上机仿真来消化、巩固、加深和拓宽。因此，该门课程的基本要求是：读懂课本、熟读课本、理解原理、适当上机仿真验证。目前采取的课程形式：理论课习题：解答题；仿真题；考试：开卷考试期末成绩：平时作业+期末考试成绩。9

第1章离散时间信号与系统10主要内容

1.离散时间信号的傅立叶分析

2.离散时间信号的z变换

3.LTI离散时间系统的性能描述

4.离散时间系统的格型结构

5.窄带信号的正交解调

6.多相滤波与信道化处理111.1离散时间信号与系统基础1.1.1离散时间信号的定义与分类1.离散时间信号的定义

信号可分为连续时间信号和离散时间信号。

离散时间信号是指信号值仅在某些离散时刻有定义，而在其他时间无定义的信号。

离散时间信号可以通过对一个连续时间信号在时间上采样获得。121213132.离散时间信号的分类根据不同的信号特征可获得多种信号分类方法。确定信号与随机信号实信号与复信号离散时间周期信号与非周期信号能量信号与功率信号14141.1.2离散时间信号的差分和累加1.前向差分和后向差分一阶前向差分一阶后向差分阶前向差分阶后向差分15152.累加对信号，其累加信号定义为累加和差分互为逆运算。离散时间单位冲激信号定义为1616离散时间单位阶跃信号定义为单位冲激信号单位阶跃信号累加差分171.1.3离散时间系统定义及LTI特性

离散时间系统是用于处理、传输离散时间信号的物理装置，在数学上可表示为输入信号与输出信号之间的一种映射关系。17输入信号输出信号18齐次性

若输入信号的响应为

，输入

的响应为

，且满足

。可加性

若输入信号

的响应为

，输入

的响应为

，输入

的响应为

，且满足

。18同时满足齐次性和可加性的系统为线性系统！19

线性系统

若

，

，

和

是常数，且

，对于线性系统有

时不变系统

若，，对时不变系统有19叠加原理同时满足线性和时不变性的系统为线性时不变系统！201.1.4LTI离散时间系统响应——卷积和对于LTI离散时间系统，输入信号与输出信号的映射关系可以用一个线性常系数差分方程及一组初始条件来描述

初始条件为，均为常数，通常取。

21当系统只有输入信号，初始状态为零时，系统的响应称为零状态响应。当系统输入信号为零，初始状态不为零时，系统的响应称为零输入响应。系统的单位冲激响应是指当系统输入信号为单位冲激信号时的零状态响应，通常用符号表示。22

对冲激响应为

的LTI系统，任一输入信号

，可用单位冲激信号

表示为系统对

的零状态响应可表示为22线性时不变性卷积和231.1.5离散时间信号相关函数及卷积表示对于能量信号

和，它们的互相关函数定义为

对于功率信号和，它们的互相关函数定义为23取共轭24当

，上述定义的互相关函数变成自相关函数。

根据卷积的定义，能量信号的相关函数可表示为24和的互相关函数就是与的共轭对称信号的卷积！251.2离散时间信号与系统的傅里叶分析1.2.1复指数信号通过LTI系统的响应复指数信号

通过冲激响应为的LTI离散时间系统，系统响应为25特征值特征函数26如果可以表示为复指数信号的线性组合，即信号通过冲激响应为的LTI系统的输出信号为系统的线性特性如何将离散时间信号表示为复指数信号的线性组合形式？

271.2.2离散时间信号的傅里叶级数和傅里叶变换周期为的离散时间信号，其傅里叶级数表示为

傅氏级数：傅氏系数：傅里叶变换傅氏变换：傅氏逆变换：281.2.3傅里叶变换的性质线性若，，那么

时移与频移特性

若，那么29共轭对称性若，那么对于实序列，它的傅氏变换为共轭对称的，即

时域展宽特性信号时间上展宽倍的信号可表示为30若，那么特别地，有

频域微分特性若，那么31时域卷积特性若，，那么时域相乘特性若，，那么周期卷积32帕斯瓦尔定理

若，那么信号在时域与频域的能量相同！：信号的能量谱。：信号在频带内的能量。331.2.4离散时间系统频率响应与理想滤波器1、离散时间系统频率响应的定义对于输入为、输出为的LTI离散时间系统，可用如下线性常系数差分方程进行描述

傅里叶变换34

LTI离散时间系统的频率响应定义为表示为模和相位的形式有幅频特性相频特性352、离散时间理想滤波器

通过合理设计系统频率响应，可以达到改变输入信号频谱以获得期望信号频谱的目的，这一过程称为滤波。实现滤波的系统称为滤波器。离散时间理想低通滤波器

离散时间理想高通滤波器离散时间理想带通滤波器36

离散时间理想低通滤波器理想低通滤波器的频率响应为截止角频率37

相应的系统冲激响应为时：38

离散时间理想高通滤波器理想高通滤波器的频率响应为39

相应的冲激响应为

时：40

离散时间理想带通滤波器理想带通滤波器的频率响应为中心频率：41相应的冲激响应为

时：421.2.5离散时间信号的DFT和FFT目的：对离散时间信号的傅氏变换进行离散化，使计算机能在频域对信号处理。1、离散傅里叶变换

考虑一个持续长度为的离散时间信号

由该信号构造周期信号，设周期。43构造44信号的傅里叶变换为周期信号的傅里叶级数系数为是以为间隔对采样并除以常数的结果！

45定义为当时，，因此离散傅里叶变换离散傅里叶逆变换462、FFT的概念

快速傅里叶变换是DFT的一种高效计算方法。

记，对于一个长度为的序列，有经分析，DFT计算需要次复数相乘和次复数相加。

DFT：DFT计算中的乘法次数和加法次数，都是和成正比！

47具有如下特性：对称性：周期性：可约性：48快速傅里叶变换的基本思想

利用上述特性，一方面可以将DFT计算中一些项进行合并；另一方面还可以将长序列的DFT分解为短序列的DFT。快速傅里叶变换的运算量对于长度为的DFT计算，采用FFT方法需次复数相乘和次复数相加。

FFT中的乘法次数和加法次数，都是和成正比！

49

DFT与FFT运算量比较计算机上乘法运算所需时间远多于加法运算所需时间，可以将两种算法所需的乘法次数之比，看成两者计算量之比例如，当时，采用FFT需要5120次的复乘，大约为DFT所需复乘次数1048576的0.488%。

501.3离散时间信号的z变换1.3.1z变换的概念对任一离散时间信号，定义信号为选择适当的正实数，可使绝对可加，它的傅里叶变换存在，表示为的z变换：51根据离散时间傅里叶逆变换，信号可表示为逆z变换：52

与其z变换的关系可表示为如下形式为保证z变换收敛，应当选择以满足由于，将使收敛的z的取值范围（或的取值范围）称为z变换的收敛域。注意：当收敛域包含单位圆时531.3.2z变换的性质线性若有下列z变换对成立那么54

时移特性

若信号的z变换为则对于整数有通常收敛域仍为，但由于因子的引入，收敛域可能会发生变化。55

z域尺度变换已知离散信号的z变换为若为一复数，那么有的收敛域在z平面出现尺度伸缩。56共轭特性

若信号的z变换为那么，其共轭信号的z变换为收敛域保持不变。57

时域展宽特性信号时间上展宽倍的信号可表示为若信号的z变换为那么58

时域反转特性若信号的z变换为那么

z域微分特性若信号的z变换为那么59时域卷积特性

若有下列z变换对成立那么中可能会发生零极点相互抵消的情况，从而使收敛域比交集大。

60

初值和终值定理若为一右边序列，即当时，。其z变换为那么当时，。

若的收敛域包含单位圆，则611.3.3离散时间系统的z域描述——系统函数对于输入为、输出为的LTI离散时间系统，可用如下线性常系数差分方程进行描述

z变换62定义LTI离散时间系统的系统函数为系统函数中，通常，系统函数可进一步写成63系统的零点：方程的根。

系统的极点：方程的根。

将非零零点记为，极点记为，则系统函数可写为除常数因子以外，系统函数由系统的零极点完全确定！64

当系统函数的收敛域包含单位圆时，有极点向量：零点向量：除常数因子以外，系统的频率响应由零极点完全确定，系统的幅频特性和相频特性则由极点向量和零点向量的长度和方向决定！65例1.1已知系统极点为，，无非零的零点，定性画出系统的幅频特性。解：系统的幅频特性为（假设常数因子为1）令，。当时，这两个向量长度分别最短。当时，两向量同时取最大长度。

66

向量，长度随变化

系统幅频特性曲线671.3.4离散时间系统的方框图和信号流图表示系统的方框图实现，是指用一些基本的功能部件，经过合适的相互连接，以实现差分方程或系统函数描述的系统功能。基本实现部件加法器乘法器延时器68

对于由所描述的系统，有N阶系统的直接型方框图69当时，系统函数为该系统除外，没有任何极点，因此，这类系统称为全零点系统或横向滤波器。另外，该系统的冲激响应长度有限，因此，这类系统也称为有限冲激响应（FIR）系统。逆z变换70类似地，当时，系统函数为FIR系统的直接型方框图71此系统除外，无任何零点，因此，这类系统称为全极点系统。利用待定系数法，系统函数还可表示为

逆z变换该系统的冲激响应不会是有限长，因此，这类系统称为无限冲激响应（IIR）系统。72全极点IIR系统的直接型方框图系统方框图为描述系统内部结构提供了方便，但是，由于图中加法器和延时器方框的存在，使方框图显得不够紧凑。73为了使系统结构图表示更紧凑，可将系统表示为信号流图的形式。直接实现形式的信号流图741.4LTI离散时间系统性能描述1.4.1系统的记忆性如果系统在任意时刻的响应仅与该时刻的输入有关，而与其它时刻的输入无关，则称该系统为非记忆系统（或系统无记忆性），否则称为记忆系统。系统的记忆性有时也被称为动态特性。该特性强调系统的响应是否仅与当前时刻的输入有关。

75对于无记忆LTI系统，其系统冲激响应为其中，为一常数。由于系统频率响应是冲激响应的傅氏变换、系统函数为系统冲激响应的z变换，因此，无记忆LTI系统的系统频率响应和系统函数分别为

761.4.2系统的因果性如果系统任意时刻的响应与以后的输入无关，则该系统称为因果系统（或系统具有因果性），否则为非因果系统。该特性强调的是，系统的响应是否与未来的输入有关。对于因果LTI系统，其系统冲激响应满足77系统冲激响应是一个右边信号，因此，因果LTI系统的系统函数的收敛域为距原点最远的极点所在圆的圆外z平面。同理，若系统是逆因果的，那么，其系统函数收敛域位于最接近原点的极点所在圆的圆内z平面。781.4.3系统的可逆性设信号、通过系统的响应分别为、，如果，一定有成立，则称系统具有可逆性，或称为可逆系统。对于可逆系统，如果系统的响应已知，则可通过一个逆映射，求出原来的输入信号。这个逆映射便是原系统的逆系统。79若LTI系统的冲激响应为，其逆系统的冲激响应为，则

时域卷积特性逆系统的系统频率响应满足

逆系统的系统函数满足

801.4.4系统的稳定性和最小相位系统如果任意信号满足

且通过系统的响应满足

其中、均为有界常数，则称该系统是稳定系统。如果“有界的输入产生有界的响应”，则系统是稳定的！81一个LTI离散时间系统稳定的充分必要条件是对有理系统函数的LTI离散时间系统，系统稳定的充要条件是系统函数的收敛域包含单位圆。如果一个因果稳定系统的零点和极点都在单位圆内，这个系统就称为最小相位系统，最小相位系统的逆系统也是因果和稳定的。

821.4.5线性相位系统与系统的群时延1、非线性相位系统的概念LTI离散时间系统的频率响应可用幅频特性和相频特性表示为如果

其中是常数，则称该LTI离散时间系统是线性相位系统，否则称为非线性相位系统。83设系统输入信号的傅里叶变换为，则系统响应的傅里叶变换可表示为线性相位非线性相位84非线性相位系统的实质，是输入信号的不同频率成份通过系统后，具有不同的延时，这种现象常称为信号的色散。2、群时延的概念LTI离散时间系统的群时延定义为

群时延是频率的函数，反映了LTI离散时间系统相位随频率的变化率！85

对于线性相位系统，群时延为可见，线性相位系统对不同频率的输入信号具有相同的群时延，即系统响应的相位按频率线性变化。对于相频特性为的非线性相位系统，群时延为频率的函数86一个阶的全零点系统的转移函数可表示为：阶系统的第个系数。的直接实现形式有共个参数，需要个延时器和次乘法。1.5离散时间系统的格形结构1.5.1全零点滤波器的格型结构87：反射系数。的格型结构中也有个参数，需要个延时器和次乘法。全零点滤波器的格型结构

88基本单元：全零点滤波器格型结构的基本单元

89由bi(M)求取ki过程：

90分别令，递推可发现

代入式(1)，有

另外根据式(1)和(2)易得9192算法1.1（求解全零点系统格型结构各系数的方法）

步骤1

给定系统函数后，即被确定，于是

步骤2

根据已求得的和，利用式(4)可求出的系数，于是

步骤3

重复步骤2即可得其余的和系数。931.5.2全极点滤波器的格型结构全零点滤波器的格型基本单元中，输入、输出关系式也可改写为全零点滤波器格型结构的基本单元的逆形式

94考虑由个上述基本单元的级联其中，全极点滤波器的格型结构

95当时，z变换96当时，97依次类推，不难得到为以为输入、为输出的阶IIR系统的系统传递函数，为以为输入、为输出的阶FIR系统的系统传递函数，且因此级联后获得全极点滤波器的格型结构

98将全零点滤波器的格型结构和全极点滤波器的格型结构进行级联，发现级联系统的输入和输出均为，可见因此，在已知IIR系统函数后，令，利用算法1.1即可解得反射系数，从而得到全极点滤波器的格型结构。两系统为互逆系统！991.6连续时间信号的离散化及其频谱关系为一连续时间带限信号，为获得离散时间信号，首先对其进行采样，获得

：采样周期。定义离散时间信号为100

(a)连续时间信号的波形(b)连续时间信号的频谱

(c)采样后信号的波形(d)采样后信号的频谱101可见与有如下关系上述过程，在工程上，可用一个称为A/D转换器的专用集成电路实现。102(e)离散时间信号的波形(f)离散时间信号的频谱

(e)(f)103假设连续时间信号的最高角频率为，那么根据奈奎斯特采样定理，采样周期应满足由于于是当时，有因此，离散时间信号的角频率总是小于的。1041.7离散时间实信号的复数表示1.7.1离散时间解析信号（预包络）根据傅里叶变换的共轭对称性可知，实信号的频谱满足可见，中任何一个边带（或）都包含了原信号的全部信息，也就是说，在频率上对的描述有一半是多余的，造成了频带资源的浪费。105定义单边频谱信号的DTFT为

它与具有同样的信息，但与相比，对它进行处理大大节省了频谱资源。取的离散时间傅里叶逆变换，得到相应的时域信号，通常它是一个复数信号，将其称为的解析信号或预包络。1061.7.2离散时间希尔伯特变换

根据的定义，它可表示为其中为频域阶跃信号

进行傅里叶逆变换后，可得107根据时域卷积特性，解析信号可表示为因此定义信号的希尔伯特变换为108因此解析信号可表示为除了在时域内计算希尔伯特变换，也可以在频域内求解，由于所以的频谱为109于是解析信号的频谱为利用希尔伯特变换，由实信号获得解析信号的LTI系统结构图如下1101.7.3离散时间窄带信号的复数表示（复包络）设离散时间实信号为它可进一步表示为其中，设其为带限信号。将信号频谱的实部记为，虚部记为

。111由傅氏变换的频移特性，可获得信号的频谱。(a)复信号的频谱(b)复信号的频谱112由可得实信号的频谱113由信号频谱图易见：信号带宽：载波角频率如果信号载波角频率远远大于信号带宽，即，则称信号是中心频率为的离散时间窄带信号。114由解析信号定义及频谱关系可知：信号正好是窄带信号的解析信号。复信号称为窄带信号的复包络，或是基带信号、零中频信号，对窄带信号其预包络等于它的复包络乘上复载波。

115进一步将复包络表示为直角坐标形式，有令那么同相分量，I分量正交分量，Q分量1161.8窄带信号的正交解调与数字基带信号

：一个实的连续时间窄带信号LO：本振LPF：低通滤波器模拟正交解调与采集电路原理框图1.8.1模拟正交解调与采集电路原理117信号可表示为即载波角频率信息完全包括在同相和正交分量中，正交解调正是要获得这两个分量！与本振信号相乘后，有：118通过低通滤波器滤除高频分量后即可提取同相和正交分量。最后，经A/D转换，便获得了窄带信号的离散时间基带信号的同相和正交分量：且其中为窄带信号的复包络。1191.8.2数字正交解调与采集电路原理模拟正交解调中，离散时间基带信号是通过对模拟基带信号进行数模转换得到的，其中，需要产生两个正交的模拟本振信号和，当这两个本振信号不正交时，就会使获得的基带信号失真。随着近年来FPGA等数字器件的发展，在现代数字接收机中大量采用数字正交解调的方法。

120数字正交解调时，模数转换直接在射频处完成，有数字正交解调与采集电路原理框图数字控制振荡器121数字控制振荡器产生数字正交本振信号，数字窄带信号与其相乘后，可得：通过数字低通滤波器后获得离散时间基带信号：且122数字正交解调法的特点：优点：两个正交本振序列的形成和相乘都是数学运算结果，所以正交性是完全可以得到保证的。缺点：直接在射频（或中频）进行采样数字化，对A/D采样的速率要求比较高。在采样速率很高的情况下，会导致后续数字低通滤波器阶数的提高，实现起来较困难。（解决方法：基于带通采样和多相滤波的数字正交解调）1231.8.3基带信号的随机相位与载波同步由于传输信道或是其他一些原因造成本地载波与信号载波之间存在频差和相差，会导致在理想的同相分量和正交分量中引入