无限长单位脉冲响应IIR滤波器设计

无限长单位脉冲响应IIR滤波器设计第1页/共31页第三章无限长单位脉冲响应（IIR）滤波器设计

第2页/共31页概述:

许多信息处理过程，如信号的过滤，检测、预测等都要用到滤波器，数字滤波器是数字信号处理中使用得最广泛的一种线性系统，是数字信号处理的重要基础。

数字滤波器的功能（本质）是将一组输入的数字序列通过一定的运算后转变为另一组输出的数字序列。实现方法主要有两种：数字信号处理硬件和计算机软件。

数字滤波器——线性时不变系统。第3页/共31页数字滤波器的数学描述：1)差分方程2)系统函数第4页/共31页分类:

递归系统IIR

非递归系统FIR

高通低通带通带阻第5页/共31页

数字滤波器的设计步骤：

1）按照实际需要确定滤波器的性能要求。

2）用一个因果稳定系统的H(z)或h(n)去逼近这个性能要求，即求h(n)的表达式

确定系数、或零极点、，以使滤波器满足给定的性能要求——第三章、四章讨论

3）用一个有限精度的运算去实现这个系统函数。包括选择运算结构：如级联型、并联型、卷积型、频率采样型以及快速卷积（FFT）型等;

选择合适的字长和有效数字的处理方法等(第五章)。

第6页/共31页

设计方法：

1）先设计一个合适的模拟滤波器，然后变换成满足预定指标的数字滤波器。 由于模拟的网络综合理论已经发展得很成熟模拟滤波器有简单而严格的设计公式，设计起来方便、准确、可将这些理论推广到数字域，作为设计数字滤波器的工具。

第7页/共31页2）最优化设计方法分两步：

a)

确定一种最优准则，如最小均方误差准则，即使设计出的实际频率响应的幅度特性（与所要求的理想频率响应的均方误差最小，此外还有其他多种误差最小准则，

b)

在此最佳准则下，求滤波的系数和通过不断地迭代运算，改变、，直到满足要求为止。第8页/共31页

以上两种设计方法中，着重讲第一种，因为数字滤波器在很多场合所要完成的任务与模拟滤波器相同，如作低通、高通、带通及带阻网络等，这时数字滤波也可看作是“模仿”模拟滤波器。在IIR滤波器设计中，采用这种设计方法目前最普遍。由于计算机技术的发展，最优化设计方法的使用也逐渐增多。

第9页/共31页11-δ1δ2ωc0ωrπ通带过渡带阻带ω第10页/共31页§3.1根据模拟滤波器设计IIR滤波器

利用模拟滤波器设计数字滤波器，就是从已知的模拟滤波器传递函数Ha(s)设计数字渡波器传递函数H（z），这归根到底是一个由S平面到Z平面的变换，这种映射变换应遵循两个基本原则：

1）H（z）的频响要能模仿Ha(s)的频响，即S平面的虚轴应映射到Z平面的单位圆上。

2）Ha(s)的因果稳定性映射成H（z）后保持不变，即S平面的左半平面Re{S}＜0应映射到Z平面的单位圆以内|Z|<1。第11页/共31页下面讨论两种常用的映射变换方法：

一、脉冲响应不变法

利用模拟滤波器理论设计数字滤波器，也就是使数字滤波器能模仿模拟滤波的特性，这种模仿可从不同的角度出发。

脉冲响应不变法是从滤波器的脉冲响应出发，使数字滤波器的单位脉冲响应序列h(n)正好等于模拟滤波器的冲激响应ha(t)的采样值，即

h(n)=ha(nT),T为采样周期。①如以Ha(s)及H（z）分别表示ha(t)

的拉氏变换及h(n)

的Z变换，即

Ha(s)=L[ha(t)],

H(z)=Z[h(n)]

第12页/共31页计算H(Z):脉冲响应不变法特别适用于用部分分式表达传递函数，模拟滤波器的传递函数若只有单阶极点，且分母的阶数高于分子阶数N＞M，则可表达为部分分式形式；

其拉氏反变换为：

单位阶跃

对ha(t)采样得到数字滤波器的单位脉冲响应序列

第13页/共31页

再对h(n)取Z变换，得到数字滤波器的传递函数：第二个求和为等比级数之和，要收敛的话，

必有所以有

第14页/共31页比较看到：

S平面上的极点S=Si变换到Z平面上是极点,而Ha(s)与H(Z)中部分分式所对应的系数不变，但要注意，这种Ha(s)到H(Z)的对应变换关系，只有将Ha(s)表达为部分分式形式才成立。稳定性：如果模拟滤波器是稳定的，则所有极点Si都在S左半平面，即Re[si]＜0,那么变换后H(Z)的极点也都在单位圆以内，即,因此数字滤波器保持稳定。

第15页/共31页根据理想采样序列拉氏变换与模拟信号拉氏变换的关系。

②①理想采样的拉氏变换与模拟信号的拉氏变换之间的关系。②理想采样的拉氏变换与采样序列的Z变换之间存在的S平面与Z平面的映射关系.第16页/共31页s平面与z平面的映射关系第17页/共31页

以上表明，采用脉冲响应不变法将模拟滤波器变换为数字滤波器时，它所完成的S平面到Z平面的变换，正是以前所讨论的拉氏变换到Z变换的标准变换关系，即首先对Ha(s)作周期延拓，然后再经过的映射关系映射到Z平面上。第18页/共31页

映射关系：

S平面上每一条宽为的横带部分，都将重叠地映射到Z平面的整个平面上:

每一横带的左半部分映射到Z平面单位圆以内，每一横带的右半部分映射到Z平面单位圆以外，轴映射到单位圆上，轴上每一段都对应于绕单位圆一周。因为e以2拍为周期第19页/共31页S平面Z平面第20页/共31页

应指出，Z=esT的映射关系反映的是Ha(s)的周期延拓与H（Z）的关系，而不是Ha(s)本身与H（Z）的关系，因此，使用脉冲响应不变法时，从Ha(s)到H(z)并没有一个由S平面到Z平面的一一对应的简单代数映射关系，即没有一个S=f(z)代数关系式。混迭：②由②式，还可看到，数字滤波器的频响并不是简单的重现模拟滤波器的频响，而是模拟滤波器频响的周期延拓：

③周期为

第21页/共31页

正如第一章的采样定律中所讨论的，如果模拟滤波器的频响带限于折叠频率ΩS/2以内，即第22页/共31页

这时数字滤波器的频响才能不失真地重现模拟滤波器的频响（存在于折叠频率ΩS/2以内）

但任何一个实际的模拟滤波器，其频响都不可能是真正带限的，因此不可避免地存在频谱的交叠，即混淆，如图，这时，数字滤波器的频响将不同于原模拟滤波器的频响而带有一定的失真。模拟滤波器频响在折叠频率以上衰减越大，失真则越小，这时，采用脉冲响应不变法设计的数字滤波器才能得到良好的效果。

第23页/共31页脉冲响应不变法中的频响混淆第24页/共31页

虽然脉冲响应不变法能保证S平面与Z平面的极点位置有一一对应的代数关系，但这并不是说整个S平面与Z平面就存在这种一一对应的关系，特别是数字滤波器的零点位置与S平面上的零点没有一一对应关系，而是随着Ha(s)的极点Si与系数Ai的不同而不同。第25页/共31页例

将一个具有如下传递出数

的模拟滤波器数字化。解：

第26页/共31页模拟滤波器的频率响应为:

示于P77图a第27页/共31页数字滤波器的频率响应为:

显然与采样间隔T有关,如P77图b,T越小,衰减越大,混叠越小,当fs=24Hz,混叠可忽略不计,为什么混迭呢?

第28页/共31页第29页/共31页小结1)脉