高数必修1第二章初等函数综合知识点

第二章基本初等函数（Ⅰ）§2．1指数函数引例：填空（1）；a0=1（a；(2)(m,n∈Z)；(m,n∈Z)；(n∈Z)（3）；-； （4）；2.n次方根的定义：一般地，如果，那么x叫做a的n次方根（throot）,其中，且。3.n次方根的性质：其中叫根式，n叫根指数，a叫被开方数。4.根式运算性质：①，即一个数先开方，再乘方（同次），结果仍为被开方数。②例1．求下列各式的值：（4）（a>b）1.正数的正分数指数幂的意义：)2.负分数指数幂：3.0的分数指数幂：0的正分数指数幂为0，0的负分数指数幂无意义。分数指数幂概念有理指数幂运算性质；2.1.1．指数函数定义：一般地，函数（且）叫做指数函数，其中是自变量，函数定义域是．指数函数在底数及这两种情况下的图象和性质：图象性质（1）定义域：（2）值域：（3）过点，即时（4）在上是增函数（4）在上是减函数例4．比较下列各题中两个值的大小：；练习：说出下列函数图象之间的关系：（1）与；（2）与；（3）与．例3．求下列函数的定义域、值域：（1）（2）（3）（4）．解：（1）∴原函数的定义域是，令则∴得，所以，原函数的值域是．（2）∴原函数的定义域是，2.2.1对数与对数运算一般地，如果a（a＞0，a≠1）的x次幂等于N，就是，那么数x就叫做以a为底N的对数(logarithm)，记作x=logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，式子logaN叫做对数式．对数logaN（a＞0且a≠1）在底数a=10时，叫做常用对数(commonlogarithm)，简记lgN；底数a=e时，叫做自然对数(naturallogarithm)，记作lnN，其中e是个无理数，即e≈2.71828……．负数和零没有对数．（1）正因数积的对数等于同一底数各个因数的对数的和，即loga（MN）=logaM+logaN．（2）两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数．（3）正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数．即loga（N）n=n·logaN．（4）正数的正的方根的对数等于被开方数的对数除以根指数．即（一）对数函数的概念 1．定义：函数，且叫做对数函数（logarithmicfunction）其中是自变量，函数的定义域是（0，+∞）． 注意：eq\o\ac(○,1)对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别．如：，都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．eq\o\ac(○,2)对数函数对底数的限制：，且．eq\o\ac(○,1)在同一坐标系中画出下列对数函数的图象；（可用描点法，也可借助科学计算器或计算机）（1）（2）（3）（4） eq\o\ac(○,2)类比指数函数图象和性质的研究，研究对数函数的性质并填写如下表格： 图象特征函数性质函数图象都在y轴右侧函数的定义域为（0，＋∞）图象关于原点和y轴不对称非奇非偶函数向y轴正负方向无限延伸函数的值域为R函数图象都过定点（1，1）自左向右看，图象逐渐上升自左向右看，图象逐渐下降增函数减函数第一象限的图象纵坐标都大于0第一象限的图象纵坐标都大于0第二象限的图象纵坐标都小于0第二象限的图象纵坐标都小于0例4．判断下列函数的奇偶性：（1）；（2）分析：首先要注意定义域的考查，然后严格按照奇偶性证明基本步骤进行解：（1）由可得，所以函数的定义域为：（）关于原点对称，又，即，所以函数奇函数。评述：此题确定定义域即解简单分式不等式，函数解析式恒等变形需利用对数的运算性质。说明判断对数形式的复合函数的奇偶性，不能轻易直接下结论，而应注意对数式的恒等变形。解：（2）由可得，所以函数的定义域为R关于原点对称，又即，所以函数是奇函数。评述：此题定义域的确定可能稍有困难，可以讲解此点，而函数解析式的变形用到了分子有理化的技巧，应要求学生掌握。例5．（1）证明函数在上是增函数。（2）问：