线性代数主要内容与方法

本文格式为Word版，下载可任意编辑——线性代数主要内容与方法

工程数学主要内容与方法

问答题集锦

辽宁工学院应用数学教研室编

二〇〇五年四月

—I—

前言

为帮助学生更好地把握《工程数学》（包括线性代数、概率论与数理统计）的主要内容与方法，根据我们多年的教学经验，总结编写了这本《工程数学主要内容与方法问答题集锦》，希望它能在学生的学习中起到答疑解惑的作用。

本书线性代数部分是依照同济大学应用数学系编写的《线性代数》（第四版）的章节顺序编写；概率论与数理统计部分是依照浙江大学盛骤等编写的《概率论与数理统计》（第三版）的章节顺序编写。

编者按篇章次序分别为：

线性代数部分，第一、二章由阚永志编写，第三、四章由王贺元编写，第五章由石月岩编写；

概率论与数理统计部分，第一章由朱振广编写，其次、三章由徐洪香编写，第四、五章由刘秀娟编写，第六、七、八章由徐美进编写；全书由石月岩统稿，佟绍成教授主审。

在本书的编写中得到辽宁工学院数理科学系的领导和老师的大力支持与帮助，在此表示衷心的感谢。

限于编者水平，加之编写时间仓促，书中不妥和疏漏之处在所难免，敬请读者批评指正。编者2023年4月于辽宁工学院

—II—

目录

线性代数部分

Ⅰ．线性代数的研究对象是什么？??????????????????????（1）Ⅱ．线性代数的主要内容有哪些？??????????????????????（1）第一章行列式??????????????????????????????（1）1．余子式与代数余子式有什么特点？它们之间有什么联系？??????????（1）2．行列式有哪些性质？??????????????????????????（1）3．对角线法则对四阶以上的行列式是否成立？????????????????（1）4．计算行列式寻常采用的方法是什么？???????????????????（2）5．克莱姆法则的适用条件是什么？?????????????????????（2）其次章矩阵及其运算???????????????????????????（2）1．为什么要学习矩阵？??????????????????????????（2）2．什么是矩阵的代数运算？什么是矩阵的运算系统？?????????????（2）3．为什么矩阵乘法不满足交换律？?????????????????????（3）4．矩阵运算系统与我们熟悉的实数运算系统的本质区别是什么？????????（3）5．矩阵与行列式有什么区别与联系？????????????????????（3）6．判断矩阵可逆的常用方法有哪些？????????????????????（4）7．什么是伴随矩阵？它有哪些主要性质？??????????????????（4）8．求方阵A的高次幂有哪些常用的方法？??????????????????（4）9．怎样解矩阵方程？???????????????????????????（5）10．什么是分块矩阵，为什么要对矩阵进行分块？???????????????（5）第三章矩阵的初等变换与线性方程组????????????????????（5）1．一个非零矩阵的行最简形与行阶梯形有什么区别和联系？??????????（5）2．在求解有关矩阵的问题时，何时只须化为阶梯形，何时宜化为行最简形？或者，它们在功能上有什么不同？???????????????????????（6）3．矩阵的初等变换与初等矩阵有什么关系？引入初等矩阵有什么意义？?????（6）4．初等变换有哪些应用？?????????????????????????（7）5．求一个可逆矩阵的逆矩阵有哪些常用的方法？???????????????（7）6．n阶矩阵A是可逆矩阵的特征刻画有哪些？????????????????（7）7．用初等行变换法求解线性方程组的主要步骤是什么？????????????（8）

—III—

8．在求解带参数的线性方程组时，对系数矩阵或增广矩阵作初等行变换应注意些什么？????????????????????????????????（8）9．在求解线性方程组的通解时，常与教材中给出的答案不一致，这是否可以？??（8）第四章向量组的线性相关性????????????????????????（9）1．线性相关与线性表示这两个概念有什么区别和联系？????????????（9）2．对于向量组的线性相关、线性无关的概念，能否给出一些几何上的解释？???（9）3．两个矩阵的等价与两个向量组的等价有什么区别和联系？?????????（10）4．矩阵的初等行（列）变换有哪些？它有什么重要应用？??????????（10）5．向量组的最大无关组有什么重要意义？?????????????????（10）6．求向量组的最大无关组有哪些方法？??????????????????（11）7．证明或判断一个向量组线性相关或线性无关的常用方法有哪些？???????（11）8．求矩阵的秩有几种方法？????????????????????????（11）9．矩阵的秩有哪些重要性质？??????????????????????（12）10．矩阵的秩有哪些主要应用？??????????????????????（12）11．如何求齐次线性方程组的基础解系？??????????????????（12）12．齐次线性方程组Ax?0的通解结构是什么？???????????????（13）13．非齐次线性方程组Ax?b的通解结构是什么？??????????????（14）第五章相像矩阵及二次型?????????????????????????（15）1．向量正交变换的几何意义是什么？???????????????????（15）2．矩阵的特征值有哪些主要性质？????????????????????（15）3．如何求方阵A的特征值与特征向量？??????????????????（15）4．相像矩阵有哪些主要性质？???????????????????????（15）5．n阶矩阵A可相像对角化的充分必要条件是什么？????????????（16）6．判断矩阵A是否可对角化的基本方法有哪些？??????????????（16）7．方阵可相像对角化有什么意义？????????????????????（16）8．实对称矩阵的特征值与特征向量有哪些性质？???????????????（16）9．已知n阶方阵A可对角化,如何求可逆矩阵P,使得P?1AP?diag(?1,?2,?,?n)???????????????????????????????????（17）10．实对称矩阵正交相像对角化的步骤是什么？???????????????（17）11．化实二次型f?xTAx为标准形的常用方法有哪些？???????????（17）12．用正交变换化二次型f?xTAx为标准形的主要步骤是什么？???????（17）13．如何判别二次型f?xTAx的正定性？?????????????????（18）

—IV—

概率论与数理统计部分

Ⅰ．概率论与数理统计研究的对象是什么？??????????????????（19）Ⅱ．概率论与数理统计研究的主要内容是什么？????????????????（19）Ⅲ．概率论与数理统计的主要任务是什么？??????????????????（19）第一章概率论的基本概念?????????????????????????（19）1．随机事件的本质是什么？???????????????????????（19）2．为什么把随机事件定义成样本空间的子集？????????????????（19）3．事件之间有几种关系？????????????????????????（19）4．事件间有几种运算？?????????????????????????（19）5．概率是什么？????????????????????????????（20）6．概率的古典定义、几何定义、统计定义和公理化定义有什么联系？?????（20）7．随机事件有两次抽象，指的是什么？其意义何在？????????????（20）8．什么是古典概型？如何计算古典概型中事件的概率？???????????（21）9．计算概率的常用公式有哪些？?????????????????????（21）10．什么是n重贝努利试验，计算有关事件概率的方法是什么？?????????（22）11．如何使用全概率公式和贝叶斯公式？??????????????????（22）12．对立事件与互斥事件有何联系与区别？?????????????????（23）13．在实际应用中，如何判断两事件的独立性？????????????????（23）14．两事件A,B相互独立与A,B互不相容（互斥）这两个概念有何关系？???（23）15．概率为0的事件与“不可能事件〞有何区别？有何关系？?????????（24）16．什么是“1概事件〞？“1概事件〞与“必然事件〞的关系如何？?????（24）17．什么是“实际推断原理〞？它有什么作用？它与小概率事件有什么关系？???（24）其次章随机变量及其分布?????????????????????????（24）1．为什么要引入随机变量？???????????????????????（24）2．引入随机变量的分布函数有哪些作用？??????????????????（25）3．概率密度函数有哪些性质？???????????????????????（25）4．对于概率密度f(x)的不连续点，如何从分布函数F(x)求得f(x)？?????（25）5．为什么说正态分布是概