线性代数复习

本文格式为Word版，下载可任意编辑——线性代数复习线性代数复习

一、行列式

1、概念：余子式，代数余子式（对方阵而言）2、重要性质：

|kA|=kn|A|（A为n阶矩阵）；

行列式的倍加行（列）变换其值不变；3、克拉默法则：

※方程组Ax=B，xj=Dj/D（D是系数矩阵行列式，Dj是常数项替换系数矩阵第j列后得到的矩阵的行列式）

二、矩阵

1、概念：系数矩阵、增广矩阵、单位矩阵（I、E）、对角矩阵、上（下）三角矩阵、转置矩阵、（反）对称矩阵、伴随矩阵、逆矩阵2、重要性质：

(kA)-1=k-1A-1|A-1|=|A|-1(A*)*=|A|n-2AA*A=|A|E矩阵的初等变换：初等矩阵前乘为行变换；后乘为列变换。初等倍乘矩阵Ei(c)，表示将A的第i行（列）乘c。初等倍加矩阵Eij(c)，表示将A的第i行（列）乘c加至第j行（列）。初等对换矩阵Eij表示将A的第i和第j行互换。A可逆，（A,E）对A,E同时做同样的初等行变换（E,A-1）3、分块矩阵求行列式

A0其中A，B为方阵。|Q|=|A||B|。0B

0A其中A，B为m，n阶方阵。|Q|=(-1)mn|A||B|。B0

AB|Q|=|A||D-CA-1B|。CD

三、线性方程组

1、概念：线性相关（线性无关）、秩、极大线性无关组、自由未知量2、重要性质：

①判断多个向量间的线性相关关系：

系数ki不全为零，∑kiai=0（定义）向量组有一部分向量线性相关，则整个向量组也线性相关。各向量组成的矩阵A=(aT1,aT2,…,aTn)的行列式为0。向量组b1,b2,…,bt能被a1,a2,…,as线性表示且t>s，则b1,b2,…,bt线性相关。②a4能否被a1,a2,a3（或更多向量）向量组线性表示？(aT1,aT2,aT3)(x1,x2,x3)T=aT4，有解即能线性表示，解即为对应各向量系数。

③矩阵的秩矩阵Am*n的秩等于行秩、等于列秩、恒不大于min{m,n}。矩阵的初等变换、转置不改变矩阵的秩。r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)，其中Am*n，P是m阶可逆矩阵、Q是n阶可逆矩阵。A（n阶矩阵）为满秩矩阵的充要条件是|A|≠0。(即A为奇异矩阵?A的秩不为n)。矩阵秩的运算：r(A)+r(B)≥r(A+B)r(AB)≤min{r(A),r(B)}④齐次线性方程组有解的条件齐次线性方程组Ax=0有非零解：r(A)0，则称xTAx为正定二次型，A为正定矩阵。

当A是实对称矩阵时，xTAx是正定二次型；且A的n个特征值全大于零。正定矩阵A是满秩矩阵，且A-1也是正定矩阵。③判定二次型的正定性；

Ⅰ任何二次型都可以用配方法判定其正定性；Ⅱ可以用赋值法判定某二次型非正定；Ⅲn阶矩阵A的n个顺序主子式全大于零。（顺序主子式：自左上角开始取方阵，取1*1、2*2、…、k*k方阵的行列式即为k阶顺序主子式。n阶方阵中这样的主子式能取n个）④二次型正定的性质：ⅠxTAx>0（定义）

ⅡA的主对角元aii>0；|A|=0。

3、化二次型（∑xixj）为标准形（∑y2i）的方法：

①写出二次型对应的方阵An*n，注意写成实对称矩阵的形式。

②求出矩阵的特征值和特征向量；将特征向量按组进行施密特正交化和单位化；将各向量并列形成正交矩阵Q；由Λ=QAQ-1求出Λ。③做正交变换x=Qy，将二次型化成标准形。

※简捷方法：xTAx=yT(QTAQ)y=λ1y12+λ2y22+…+λnyn2，其中λ1，λ2，…，λn是实对称矩阵A的n个特征值，也是对角矩阵Λ的各项diag(λ1，λ2，…，λn)。（这些特征值的先后顺序可以对换，但必需先后一一对应）

附1：各种矩阵对比

矩阵转置矩阵逆矩阵系数矩阵表示方式规格AT行列式秩r(AT)=r(A)r(A-1)=r(A)r(A)0满秩

附二：矩阵行列式和零的关系

|A|=0的充分必要条件：A不可逆（又称奇异）A的列(行)向量组线性相关r(A)Ax=0有非零解A有特征值0

A不能表示成初等矩阵的乘积

|A|≠0的充分必要条件：A可逆（非奇异矩阵）

存在同阶方阵B满足AB=E(或BA=E)（可逆的性质）r(A)=n（满秩）

r(A*)=n|A*|≠0

A的列(行)向量组线性无关

Ax=0仅有零解（齐次线性方程组）