线性代数与概率统计作业

本文格式为Word版，下载可任意编辑——线性代数与概率统计作业一．问答题

1．表达n阶行列式的余子式和代数余子式的定义，并写出二者之间的关系。

答：定义：在n阶行列式D中划去a所在的第i行和第j列的元素后，剩下的元素按原来

ij相对位置所组成的（n－1）阶行列式，称为aij的余子式，记为Mij，即Mij＝

a11???a1,j?1?a1,j?1???a1n?ai?1,1?ai?1,j?1ai?1,1?ai?1,j?1?an1???an,j?1ai?1,j?1?ai?1,nai?1,j?1?ai?1,n???an,j?1ij?annij(?1)i?j?Mij称为a的代数余子式，记为A，而两者的关系为：Aij＝(?1)i?j?Mij

2．表达矩阵的秩的定义。

答：定义：设在m?n矩阵A中有一个不等于零的r阶子式D，且所有r+1阶子式（假使有的话）全等于零，则D称为矩阵A的最高阶非零子式，数r称为矩阵A的秩。记作（秩）R（A）＝r。

3．齐次线性方程组的基础解系是什么？

?a11x1?a12x2???a1nxn?0?ax?ax???ax?0?2112222nn答：定义：设T是??????????????的所有解的集合，若T中存在一组非零解

??an1x1?an2x2???annxn?0?1,?2,?,?s,满足

（1）?1,?2,?,?s,线性无关；

（2）任意??T，都可用?1,?2,?,?s,线性表出则称?1,?2,?,?s,是此方程组的一个基础解系

4．试写出条件概率的定义。

P(AB)答：条件概率的定义：在事件B发生的条件下事件A发生的概率定义为P(A|B)?P(B)

(P(B)?0).

5．试写出全概率公式和贝叶斯公式这两个定理。

答：定理1（全概率公式）设事件则对任意事件B，有

A1,A2,?,An构成完备事件组，且

P(Ai)?0(i?1,2,?,n)，

P(B)??PA(B(Ai|iP)i?1n)。

特别地，当n=2时，全概率公式为P(B)?P(A)P(B|A)?P(A)P(B|A).定理2（贝叶斯公式）设事件A1,A2,?,An构成完备事件组，P(Ai)?0(i?1,2,?,n)，则对任意事件B(P(B)?0)，有

P(Ak|B)?

二．填空题

1．行列式D??11P(Ak)P(B|Ak)?P(A)P(B|A)iii?1n(k?1,2,?,n)

1111?4．

?1?112．设A,B均为3阶矩阵，且|A|?|B|??3，则?2ABT?-72。

?a11x1?a12x2???a1nxn?0?ax?ax???ax?02112222nn3．假使齐次线性方程组?的系数行列式|D|?0，那么它有???????????????an1x1?an2x2???annxn?0唯一零解．

4．用消元法解线性方程组AX?b，其增广矩阵A经初等行变换后,化为阶梯阵

?1?53?02?3A???00s??0001?4??，t??0?则(1)当S=0,t≠0时,

(2)当s=0,t=0时,

AX?b无解;

AX?b有无穷多解;

AX?b有唯一解。

(3)当s≠0,t是任意实数时,

mn?mCMCN?M件中检有m(m?M)件次品的概率为P＝。nCN5．设有N件产品，其中有M件次品，若从N件产品中任意抽取n件，则抽到的n

6．随机变量数学期望的性质有

（1）E(aX?b)＝aE(X)+b（a，b为常数）；

（2）设有两个任意的随机变量X，Y，它们的期望E(X),E(Y)存在，则有E(X?Y)＝E(X)+E(Y)。

（3）设X,X是相互独立的两个随机变量，且各自的期望均存在，则有

12E(X1X2)?E(X1)E(X2)。

7．设(X1,X2,?Xn)为总体X的一个容量为n的样本，则称统计量

1nX?X?i为样本均值；（1）ni?11n2(X?X)为样本方差。

（2）S＝n?ii?128．由概率的加法公式知，

（1）对任意两个事件A，B，有

P(A?B)＝P(A)+P(B)-P(AB)；

（2）假使事件A，B互不相容，则

三．计算题

2P(A?B)＝P(A)+P(B)；

1221111?1?21．计算行列式

41202302?9998．

210?2210?2?00?1?32023020395120?5解：原行列式可化为：20231?200?1?3102?9998120?5

102395202395202302??(?2)2023023952＝＝2?51?512

12?5＝－2600＋1400－600＝-1800?2．设?1201??11?A??2?1?14???，?B??2?1??，求(I?A)B。?0?20?1??01??1431????1?2????1000??1201??100?解：(I?A)??0?010??2?1?14??0?2?－??0?20?1??＝??22?0?0001????1431????02??1?4

??0?20?1??11???54??221?4??1???25?(I?A)B??????2?0211??01????＝???1?4?30????1?2???5?3???90?

?0?1?1?4?11???30??

?1?3．求矩阵?2?532A??5?8543???1?7420??的秩。?4?1123????2?5321???7420??解：A??5?8543??5321??10??7420??1?→?2?1?4?1123??→??0?4?1123????5?8543????0??1?7420?→?09?5?20???00000???00000??所以，矩阵的秩为2（化为三角阵的方法P44）.

?749?527?1527?1520??21??63???63????x1?2x2?x3?4x4?0?2x?3x?4x?5x?0?1234?4．解齐次线性方程组x?4x?13x?14x?0。?1234??x1?x2?7x3?5x4?0解：对系数矩阵施以初等变换：

??214??1?214???1???1?A＝?23?4?5??1?23??20?1???→?0?1?4?1314??0?6?1218??→??00?1?1?75????0?3?69????00??105?20?52???1?→?0?1?23??012?3???0000??→??0000???0000????0000??与原方程组同解的方程组为：

??x1?5x3?2x4?0?x2?x3?3x4?014??23?00??00??

所以：方程组的一般解为

??x1?5x3?2x4?x2??2x3?3x4（其中，x3,x4为自由未知量）

取何值时，齐次线性方程组??3x1?x2??x3?05．试问??2x2?x3?0有非零解？

??x1?x2?2x3?0解：系数行列式为：

31?1?1?21?1?202?1?04??6?02?11?1?202?100??8

所以，当???8时，该齐次线性方程组有非零解．

6．设有甲、乙两名射手，他们每次射击命中目标的概率分别是0.8和0.7。现两人同

时向同一目标射击一次，试求：（1）目标被命中的概率；

（2）若已知目标被命中，则它是甲命中的概率是多少？

解：

设A={甲命中目标}，B={乙命中目标}，C={目标被命中}。则C=A+B，在这个问题中，A与B相互独立，而P(A)?0.8,P(B)?0.7，那么（1）目标被命中的概率为

P(C)?P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?P(A)?P(B)?P(A)P(B)?0.8?0.7?0.8?0.7?0.94

（2）在已知目标被命中条件下，则它是甲命中的概率为

P(AC)P(A)0.840P(A|C)????P(C)P(C)0.9447.

7．一袋中有m个白球，n个黑球，无放回地抽取两次，每次取一球，求：

（1）在第一次取到白球的条件下，其次次取到白球的条件概率；

（2）在第一次取到黑球的条件下，其次次取到白球的条件概率。

解：（1）袋中原有m+n个球，其中m个白球。第一次取到白球后，袋中还有m+n-1球，其中m-1个为白球。故

m?1P(B|A?)m?n?1；

（2）袋中原有m+n个球，其中m个白球，第一次取到黑球后，袋中还有m+n-1个球，

其中m个为白球。故

m?)P(B|Am?n?1.

8．某工厂生产一批商品，其中一等品点1，每件一等品获利3元；二等品占1，每件

23二等品获利1元；次品占1，每件次品亏损2元。求任取1件商品获利X的数学期望E(X)与

6方差D(X)。

111EX?3??1??(?2)??1.5解：236D(X)?E[X?E(X)]2??(Xk?E(X))2Pk

k()??(?)??(?)??13

2223264

9．设某仪器总长度X为两个部件长度之和，即X=X1+X2，且已知它们的分布列分别为

X12412X267Pk0.30.50.2Pk0.40.6求：（1）E(X?X)；（2）E(XX)；（3）D(X?X)。

解：由于EX1=2×0.3+4×0.5+12×0.2=5EX2=6×0.4+7×0.6=6.6

121212所以（1）E(X1+X2)=E(X1)+E(X2)=5+6.6=11.6

（2）E(X1X2)=E(X1)E(X2)=5?6.6=33

22D(X)?E[X?E(X)]?(X?E(X))P?111k1k