线性代数其次章

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线性代数

线性代数金融数学教研室

线性代数

其次章2.12.2

矩阵

矩阵的概念逆矩阵

2.3

矩阵的初等变换与秩

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二、矩阵的定义定义2.1.1由mn个数aij(i1,2,,m;j1,2,,n)

排成的m行n列的矩形数表，称为一个mn矩阵.记作：Amn或(aij)mn

即

a11a12a1naaa222nA21am1am1amn

行标列标

aij称为矩阵A的第i行第j列元素.

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2.1.2矩阵相等定义

矩阵相等：若A(aij)mn,B(bij)mn,且aijbij,称两矩阵相等.例如：a13b22c1x4y0

a2,b4,c0,x3,y2

注意：不同型的零矩阵是不相等的.矩阵和行列式的区别

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三、常见矩阵简介只有一行的矩阵称为行矩阵或行向量,只有一列的矩阵称为列矩阵或列向量.

235914矩阵(行矩阵)

131矩阵2(列矩阵)4

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对角矩阵：除对角线外其余元素全为零的方阵单位矩阵：对角线上元素全是1的对角阵，记为E或Ena11a22ann111

对角矩阵

单位矩阵

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上三角矩阵：主对角线以下元素全为零的方阵下三角矩阵：主对角线以上元素全为零的方阵a11a12a1na22a2nannb11b21bn1bnn

Ann

Bnn

b22bn2

上三角矩阵

下三角矩阵

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四、矩阵的运算(一)矩阵的加减法

1、定义：设A(aij)mn,B(bij)mn,则

a11b11a12b12a21b21a22b22ABabm1m1am2bm2

a1nb1na2nb2namnbmn

注：同型矩阵时，才能进行加减法运算.

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(二)数与矩阵相乘

设A(aij)mn,则kA(kaij)mn1、定义：ka11ka21kAkam1ka12ka22kam2ka1nka2nkamn

即

数乘行列式与数乘矩阵的区别：矩阵:全乘；行列式：行(列)乘

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(三)矩阵的乘法

13A247532

2563B1170224c126c14c13916c2212c24c23141834c03242c3331c34

c1311352563AB2448c217511702c3169

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定义

B(bij)sn,若A(aij)ms,s

规定ABC(cij)mn,其中cijai1b1j

ai2b2jaisbsj=aikbkj(i1,,2,m;j1,,2,n)k1

即i行

a11ai1am1

a12ai2am2

a1sb11b21aisbs1ams

b1jb2jbsj

j列

cb1n11b2nci1bsncm1

c1jcijcmj

c1ncincmn

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注：

1)条件左矩阵A的列数等于右矩阵B的行数2)方法左行右列法——矩阵乘积C的元素cij等于左矩阵A的第i行与右矩阵B的第j列对应元素乘积的和.

例如

123168不存在.321589601

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010121B例1设A113030514341解

4211121433

010121AB1130305141

3456721.210611217103321

线性代数

312313210131

11321

3212313131

642

96333

思考：对角矩阵相乘呢？

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例

a11x1a12x2a1nxnb1a21x1a22x2a2nxnb2在线性方程组中，设am1x1am2x2amnxnbma12a22am2a1nx1b1a11a2nxba2122,x,b,Bamnxbnmam1a1na2namnb1b2,bm

a11a21Aam1

系数矩阵

常数项矩阵未知量矩阵

增广矩阵

则有Axb.

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3、矩阵乘法的三大特征

(1)无交换律：AB不一定

不一定

BA

AO.or.BO(2)ABO1111例如AB1111则

2200AB,BA2200ABBA.

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(3)无消去律：

AMAN例如

不一定

AO.or.MN

111120A23,B11,C4522ABCB11,BO,但AC.

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4、矩阵乘法的运算规律

(1)结合律ABCA(BC)(2)分派律C(A

B)CACB(AB)CACBC

左分派律右分派律

(3)k(AB)(