线性代数模拟试题（4套）

本文格式为Word版，下载可任意编辑——线性代数模拟试题（4套）模拟试题一

一、判断题：（正确：√，错误：×）（每题2分，共10分）

1、若A,B为n阶方阵，则A?B?A?B.……()3、n元非齐次线性方程组Ax?b有解的充分必要条件R(A)?n.…()4、A为正交矩阵的充分必要条件AT?A?1.…………()5、设A是n阶方阵，且A?0，则矩阵A中必有一列向量是其余列向量的线性组合.…………()二、填空题：(每空2分，共20分)

1、A,B为3阶方阵，假使|A|?3,|B|?2，那么|2AB?1|?.2、行列式中元素aij的余子式和代数余子式Mij,Aij的关系是.3、在5阶行列式中，项a13a32a24a41a55所带的正负号是.4、已知A??201?,?6???B??5???2???2、可逆方阵A的转置矩阵AT必可逆.……………()

则AB?.

?5?2??1?5、若A??，则A?.??21????1010?8???6、设矩阵?01?1013?是4元非齐次线性方程组Ax?b的增广矩阵,则

?00012???Ax?b的通解为.7、R?A?B?R?A??R?B?.

8、若A*是A的伴随矩阵，则AA*?.

1??11??9、设A??012?，则当t时，A的行向量组线性无关.

?00t?5???10、方阵A的特征值为?，方阵B?A2?4A?3E，则B的特征值为.三、计算：(每题8分，共16分)

1

1、已知4阶行列式D?11014221?21?221?161，求2A11?A21?A31?3A41.

?101???22、设矩阵A和B满足AB?E?A?B，其中A??020?，求矩阵B.

?101????x1?x2?x3?x4?0??x?x?2x?x?0?1234四、(10分)求齐次线性方程组?的基础解系和它的通解.

?3x1?x2?2x3?5x4?0??2x1?2x2?4x3?2x4?0五、(10分)设三元非齐次线性方程组Ax?b的增广矩阵为

?1?1??2??1???(1??)?，?0??1?2?00(1??)(2??)(1??)(1??)??探讨当?取何值时，Ax?b无解，有唯一解和有无穷多解，并在无穷多解时求出通解.

?3??1??7???2?????????224?2????????六、(10分)判断向量组A:a1???,a2???,a3???,a4??的线性相关性，?12?66??????????1??3???4???1?????????假使线性相关，求一个最大无关组，并用它表示其余向量.七、综合计算：（此题14分）

222?2x2?2x3?4x1x3已知二次型f(x1,x2,x3)?x1（1）求二次型所对应的矩阵A，并写出二次型的矩阵表示；（2）求A的特征值与全部特征向量；

（3）求正交变换X?PY化二次型为标准形,并写出标准形；（4）判断该二次型的正定性。八、证明题：(每题5分，共10分)

1、已知向量a1,a2,a3线性无关，证明b1?2a1?3a2,b2?a2?4a3,b3?5a3?a1线性无关.

2

2、某矿产公司所属的三个采矿厂a1,a2,a3，在2023年所生产的四种矿石

b1,b2,b3,b4,b5的数量（单位：吨）及各种矿石的单位价格（万元/吨）如下表：

矿石产量工厂b110080302b22020603b3b45070605b5a1a2a3各矿石单价30201062030504（1）做矩阵A3?5表示2023年工厂ai产矿石bj的数量(i?1,2,3;j?1,2,3,4,5)；（2）通过矩阵运算计算三个工厂在2023年的生产总值.

模拟试题二

一、判断题（正确的打√，不正确的打?）（每题2分，共10分）（）1、设A,B为n阶方阵，则A?B?A?B；

（）2、可逆矩阵A总可以只经若干次初等行变换化为单位矩阵E；（）3、设矩阵A的秩为r，则A中所有r?1阶子式必不是零；（）4、若x??1,x??2是非齐次线性方程组Ax?b的解，则x??1??2也是该方程组的解.

（）5、n阶对称矩阵一定有n个线性无关的特征向量。二、填空题（每题2分，共16分）

1、排列7623451的逆序数是；

12342341341241232、设四阶行列式D4?，则A14?2A24?3A34?4A44?，

其中Aij为元素aij的代数余子式；

3

3、设A、B均为5阶矩阵，A?1,B?2，则?BA?1?；24、3(?1??)?2(?2??)?5(?3??)，其中?1?(2,5,1,3)T，?2?(10,1,5,10)T

?3?(4,1,?1,1)T，则??；

?k???2??1?????5、已知向量组A:?1??，向量当k时，b可由A,??b??2?2?1??1??，??????线性表示，且表示法唯一；

?1?123??，则6、设齐次线性方程组AX?0的系数矩阵通过初等行变换化为?010?2????0000??此线性方程组的基础解系所含解向量的个数为；7、设向量??(1,?2,?1)T，?=??2,?,2?正交，则??；

T8、设3阶矩阵A的行列式|A|=8，已知A有2个特征值-1和4，则另一特征值为。

三、计算题（每题8分，共16分）

??1?4??10???1、设矩阵A??,B??1??21??，求矩阵AB和BA。1?????11?1??2??6???????2、已知矩阵A???211?，B??3?，C??6?

?111??6??0???????求矩阵方程AX?B?C。

四、计算题（每题8分，共16分）

?1??k??2???????1、已知向量组?1??0?,?2??k?2?,?3??k?2?，

?0??1?k???2???????（1）k取何值时，该向量组线性相关；

（2）k取何值时，该向量组线性无关，说明理由。

222?5x2?5x3?4x1x2?4x1x3?8x2x3，2、已知二次型f(x1,x2,x3)?2x1(1)写出此二次型对应的矩阵A;

4

(2)判断该二次型是否正定二次型，说明理由。五、计算题（每题10分，共20分）

?1?2?1?2??241、设矩阵A=?2?10??333?02??6?6?.

23??34??求：（1）矩阵A秩；（2）矩阵A的列向量组的一个最大线性无关组。．

?x1?x2?x3?x4?2?2、求非齐次线性方程组?2x1?3x2?x3?x4?1所对应的齐次线性方程组的基础解

?x?2x?2x?534?1系和此方程组的通解。

?131???六、（12分）设矩阵A??0?11?

?002???(1)求矩阵A的特征值和全部的特征向量；

(2)求可逆矩阵P，使得P?1AP??（其中?是对角矩阵），并写出对角矩阵?。七、（5分）证明题

设方阵A满足A2?A?E?O，证明：A可逆并求它的逆矩阵。

八、（5分）应用题

假设我们已知以下涉及不同商店水果的价格，不同人员需要水果的数量以及不同城镇不同人员的数目的矩阵：

1人员2商店1商店2苹果橘子梨人员苹果?0.100.15?人员1?5??橘子?0.150.20??人员2?4梨??0.100.10??1053?城镇1?1000500?