线性代数第五章习题

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第五章相像矩阵及二次型

一、判断题

1.线性无关的向量组必是正交向量组.()

2.正交矩阵的列向量组和行向量组都是单位正交向量组.()3.正交矩阵一定是可逆矩阵.()

4.若n阶矩阵A与B相像,则A与B不一定等价.()

5.若n阶矩阵A有n不同的特征值，则A相像于对角矩阵.()6.实对称矩阵一定可以相像对角化.()7.相像矩阵的行列式必一致.()

8.若n阶矩阵A和B相像，则它们一定有一致的特征值.()

9．n阶实对称矩阵A的属于两个不同特征值的两个特征向量一定正交.()10.若A是正定矩阵，则A的特征值全为正.()二、单项选择题

?001???1.设A??010?,则A的特征值是().

?100???(A)-1,1,1(B)0,1,1(C)-1,1,2(D)1,1,2

2.若x1,x2分别是方阵A的两个不同的特征值对应的特征向量,则k1x1?k2x2也是A的特征向量的充分条件是().

(A)k1?0且k2?0(B)k1?0且k2?0(C)k1k2?0(D)k1?0且k2?03.若n阶方阵A,B的特征值一致,则().

(A)A?B(B)|A|?|B|(C)A与B相像(D)A与B合同4.设A为n阶可逆矩阵,?是A的特征值,则A*的特征根之一是().(A)??1|A|n(B)??1|A|(C)?|A|(D)?|A|n5.矩阵A的属于不同特征值的特征向量（）.

(A)线性相关(B)线性无关(C)两两相交(D)其和仍是特征向量6.|A|?|B|是n阶矩阵A与B相像的().

(A)充要条件(B)充分而非必要条件

(C)必要而非充分条件(D)既不充分也不必要条件7.若n阶方阵A与某对角阵相像,则().

(A)r(A)?n(B)A有n个不同的特征值(C)A有n个线性无关的特征向量(D)A必为对称阵8.n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是（）.

(A)A?0(B)存在矩阵C，使A?CTC(C)负惯性指数为零(D)各阶顺序主子式为正9．设A为n阶方阵，则以下结论正确的是（）.(A)A必与一对角阵合同

(B)若A的所有顺序主子式为正，则A正定(C)若A与正定阵B合同，则A正定

(D)若A与一对角阵相像，则A必与一对角阵合同10．设A为正定矩阵，则以下结论不正确的是（）.(A)A可逆(B)A?1正定

(C)A的所有元素为正(D)任给X?(x1,x2,?,xn)T?0,均有XTAX?0二、填空题

1.n阶零矩阵的全部特征值为_______.2.若A2?A，则A的全部特征值为_______.

3.设三阶矩阵A的特征值分别为-1,0,2,则行列式A2?A?I?.4.特征值全为1的正交阵必是阵.

?2231??12?5.若A??相像与????B，则x?，y=.

yx34????26.二次型f(x1,x2,x3,)?x1x2?2x2x3?x3的秩为.

227.若f(x1,x2,x3)?2x12?x2?x3?2x1x2?tx2x3正定，则t的取值范围是.

?110???8.设A??1a0?是正定矩阵，则a满足条件.

?00a2???9．二次型f(x1,x2)?x1x2的负惯性指数是__________.

?13??x1?10．二次型(x1,x2)???x?的矩阵为.

?12??2?三、计算与证明题

1?试用施密特法把以下向量组正交化?

?111?(1)(a1,a2,a3)??124??

?139????11?1??0?11?(2)(a1,a2,a3)???

?101??110???2?以下矩阵是不是正交阵:

?1?11??23??1?1(1)??1?;

2??211?1???32?

?1?8?4??999??814?(2)?????

99??9447????999??3?设x为n维列向量?xTx?1?令H?E?2xxT?证明H是对称的正交阵?

4?设A与B都是n阶正交阵?证明AB也是正交阵?5?求以下矩阵的特征值和特征向量:

?2?12?(1)?5?33?;

??10?2????123?(2)?213?;

?336????0?0(3)?0?1?001001001?0?.0?0??6?设A为n阶矩阵?证明AT与A的特征值一致?

7?设n阶矩阵A、B满足R(A)?R(B)?n?证明A与B有公共的特征值?有公共的特征向量?

8?设A2?3A?2E?O?证明A的特征值只能取1或2?9?设A为正交阵?且|A|??1?证明???1是A的特征值?10?设??0是m阶矩阵Am?nBn?m的特征值?证明?也是n阶矩阵BA的特征值?

11?已知3阶矩阵A的特征值为1?2?3?求|A3?5A2?7A|?12?已知3阶矩阵A的特征值为1?2??3?求|A*?3A?2E|?13?设A、B都是n阶矩阵?且A可逆?证明AB与BA相似?

?201?14?设矩阵A??31x?可相像对角化?求x?

?405????2?12?15?已知p?(1?1??1)是矩阵A??5a3?的一个特征向量?

??1b?2???T

(1)求参数a?b及特征向量p所对应的特征值?(2)问A能不能相像对角化？并说明理由?

16?试求一个正交的相像变换矩阵,将以下对称阵化为对角阵:

?2?20?(1)??21?2?;

?0?20????22?2?(2)?25?4??

??2?45????5??1?2?4??17?设矩阵A???2x?2?与???4?相像?求x?y?并求一

??4?21???y????个正交阵P?使P?1AP???

18?设3阶方阵A的特征值为?1?2??2??2??3?1?对应的特征向量依次为p1?(0?1?1)T?p2?(1?1?1)T?p3?(1?1?0)T?求A.

19?设3阶对称阵A的特征值为?1?1??2??1??3?0?对应?1、?2的特征向量依次为p1?(1?2?2)T?p2?(2?1??2)T?求A?

20?设3阶对称矩阵A的特征值?1?6??2?3??3?3?与特征值?1?6对应的特征向量为p1?(1?1?1)T?求A.21?设a?(a1?a2?????an)T?a1?0?A?aaT?(1)证明??0是A的n?1重特征值?

(2)求A的非零特征值及n个线性无关的特征向量?

?142?22?设A??0?34??求A100?

?043???23?在某国?每年有比例为p的农村居民移居城镇?有比例为q的城镇居民移居农村?假设该国总人口数不变?且上述人口迁移的规律也不变?把n年后农村人口和城镇人口占总人口的比例依次记为xn和yn(xn?yn?