线性代数期末试卷及详细答案

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一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每题2分，共10分）

1、设D1=

D135D510，，则=D=2O12202345O=_____________。D22、四阶方阵A、B，已知A=

1?1-1，且B=2A??2A?，则B=_____________。16323、三阶方阵A的特征值为1，-1，2，且B=A-5A，则B的特征值为_____________。

24、若n阶方阵A满足关系式A-3A-2E?O，若其中E是单位阵，那么

A?1=_____________。

5、设?1??1,1,1?2??1,?，则t=_____________。2,3?，?3??1,3,t?线性相关，

二、单项选择题（每题仅有一个正确答案，将正确答案的番号填入下表内，每题2分，共20分）

1、若方程

x?132x?13?6成立，则x是??0xx?221?4（A）-2或3；（B）-3或2；

（C）-2或-3；（D）3或2；2、设A、B均为n阶方阵，则以下正确的公式为

322322（A）?A?B??A?3AB+3AB+B；（B）?A?B??A+B?=A?B；222（C）A?E=?A?E??A+E?；（D）?AB?=AB

233、设A为可逆n阶方阵，则A??=

**n?2（A）AE；（B）A；（C）AA；（D）A4、以下矩阵中哪一个是初等矩阵

nA；

?100??100???010（A）?；（B）???；002???011???

?01?1??010?????（C）??101?；（D）?00?2?；

?100??001?????5、以下命题正确的是

（A）假使有全为零的数k1,k2k3,?,km,使k1?1?k2?2???km?m??，则?1,?2，

?，?m线性无关；

（B）向量组?1,?2，?，?m若其中有一个向量可由向量组线性表示，则?1,?2，?，

?m线性相关；

（C）向量组?1,?2，?，?m的一个部分组线性相关，则原向量组本身线性相关；（D）向量组?1,?2，?，?m线性相关，则每一个向量都可由其余向量线性表示。6、?1,?2，?，?m和?1，?2，?，?m为两个n维向量组，且

?1=?2+?3+?+?m

?2=?1+?3+?+?m

????????

?m=?1+?2+?+?m?1

则以下结论正确的是

（A）R??1,?2,?,?m??R??1,?2,?,?m?（B）R??1,?2,?,?m??R??1,?2,?,?m?（C）R??1,?2,?,?m??R??1,?2,?,?m?（D）无法判定

7、设A为n阶实对称方阵且为正交矩阵，则有

（A）A=E（B）A相像于E（C）A?E（D）A合同于E

8、若?1,?2,?3,?4是线性方程组AX?O的基础解系，则?1+?2+?3+?4是AX?O的（A）解向量（B）基础解系（C）通解；（D）A的行向量；9、?1,

2?2都是n阶矩阵A的特征值，?1??2，且X1和X2分别是对应于?1和?2的特征

向量，当k1,k2满足什么条件时，X?k1X1?k2X2必是矩阵A的特征向量。

（A）k1?0且k2?0；（B）k1?0，k2?0（C）k1k2?0（D）k1?0而k2?0

?1?10???10、以下哪一个二次型的矩阵是?130????000??（A）f(x1,x2)?x12?2x2x2?3x22；（B）f(x1,x2)?x12?x1x2?3x22;

(C)f(x1,x2,x3)?x12?2x2x2?3x22;(D)f(x1,x2,x3)?x12?x1x2?x2x3?3x22;

三、计算题（每题9分，共63分）

??????????1、设3阶矩阵，A=2?2，B=?2，其中?，?，?2，?3均是3维行向量，且已知???????3?3????3??行列式A=18，B=2，求A+B2、解矩阵方程AX+B=X，其中

?010??1?1??，B??20?

A=??111????????10?1???5?3??3、设有三维列向量组

?1????1??1??0??，?=?1???，?=?1?，?=???

?1=?123????????2?????1???1?????1???????为何值时：

（1）?可由?1，?2，?3线性表示，且表示式是唯一的；（2）?不能由?1，?2，?3线性表示；

（3）?可由?1，?2，?3线性表示，且有无穷种表示式，并写出表示式。

4、已知四元非齐次线性方程组AX=?满足R(A)?3，?1，?2，?3是AX=?的三个解向量，其中

?2??1??????40?1??2???，?2??3???

?0??3?????2???4?求AX=?的通解。

?1a1??000?????5、已知A=B，且A=a1b，B=010???????1b1???002??求a,b

6、齐次线性方程组

?2x1?x2?3x3?0????x1?3x2?4x3?0???x?2x?ax?0?2?1?中当a为何值时，有非零解，并求出通解。

7、用正交变换法化二次型f(x1,x2,x3)?4x12?4x22?4x32?4x1x2?4x1x3?4x2x3为标准型，并求出正交变换。

四、证明题（7分）

设A为m×n矩阵，B为n阶矩阵，已知R(A)?n证明：若AB=O，则B=O

《线性代数》期末考试题A题参考答案与评分标准

一、填空题

1、-10；2、81；3、?4，?6，?12；4、

1?A?3E?；5、5；2一、二、单项选择题(每题2分，共20分)

题号12C3D4B5C6C7C8A9D10C答案A番号一、三、计算题(每题9分，共63分)

?+??+?1、A+B=3?2=12?2（2分）

4?3?3??=12?2+12?2（4分）

?3?3??=2?2+12?2（7分）

?3?3=2×18+12×2=60（9分）2、AX+B?X??E?A?X?B（2分）

1?1E?A?1100?10?1?3?0（3分）2X??E?A?B（5分）

?E?A??1?021?1?（7分）???321

?3???0?11??

?021??1?1??3?1?1??20???20?（9分）X???321?

?????3??0?11????5?3????1?1??3、设??k1?1?k2?2?k3?3

1+?11111A?11+?1?(?+3)11+?1=?2(?+3)?0111+?111+????0且???3时，方程组有唯一解

即?可由?1，?2，?3唯一线性表示，（2）当?=?3时

???2110??1?21???A?=?1?21????3??3??01?1?2?11?29????000?6??R(A)=2，R?A?=3?无解

即当?=?3时，?不能由?1，?2，?3线性表示（3）当?=0时

?A??=?1110??1110??1110?????0000??1110????0000?

????R(A)=R?A?=1

?1???1????2??a???2???????114.问a取何值时，以下向量组线性相关？?1????,?2??a?,?3????。

?2??2???1???1?a?????????2????2???

??x1?x2?x3???3?5.?为何值时，线性方程组?x1??x2?x3??2有唯一解，无解和有无穷多解？当方程

?x?x??x??223?1组有无穷多解时求其通解。

?1??2??1??3??????????4??9??0??10?6.设?1???,?2??,??,??.求此向量组的秩和一个极大无关34?????1?1?3?7?????????0???3???1???7?????????组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。

?100???7.设A??010?，求A的特征值及对应的特征向量。

?021???五、证明题(7分)

若A是n阶方阵，且AA?I，证明A?I?0。其中I为单位矩阵。A??1，

?

线性代数期末考试题答案

一、填空题1.5

2.??1

3.s?s，n?n

4.相关

5.A?3E二、判断正误1.×2.√三、单项选择题1.③2.③四、计算题1.

3.√3.③

4.√5.×

4.②5.①

x?aaaabx?bbbccx?cc1dddx?dbbb1x?b11?x?a?b?c?dx?a?b?c?dx?a?b?c?dx?a?b?c?dccx?ccdddx?dbx?bbbccx?ccdddx?d1bcxd00x?(x?a?b?c?d)x30x0?(x?a?b?c?d)?(x?a?b?c?d)000002.

(A?2E)B?A

(A?2E)?1?2?1?1????2?2?1???1???11?，

?5?2?2?B?(A?2E)?1A???4?3?2?

????223??

3.

??1234??1000?C?B??0123?100??012???，(C?B)'??2?0?3210???0001????4321???????1000??100C?B?'??1???2100??1?21?，X?E??C?B?'??1???210?0???01?21???1?21?01?24.

a?12?12a1，a2，a3??12a?12?18(2a?1)2(2a?2)当a??12或a?1时，?1?122aa1，a2，a3线性相关。

5.

①当??1且???2时，方程组有唯一解；②当???2时方程组无解

?③当??1时，有无穷多组解，通解为????2??0????1????1????c?????11?c20??0????0????1??

6.

0?

0?0??1??量组向

13??1213??1?12?49??01?4?2??0010??????(a1，a2，a3，a4)???1?1?3?7??0?3?4?10??0??????0?3?1?7??0?3?1?7??0?100?2??0102?????0011???0000??

3?1?4?2??0?16?16??0?13?13?21则r?a1，