线性代数行列式答案

本文格式为Word版，下载可任意编辑——线性代数行列式答案第一章行列式

第一节数域与排列其次节行列式定义

一、填空

1.（1）0；（2）5；（3）

n(n?1)n(n?1)；（4）；（5）n(n?1)223.a11a23a34a42和?a14a23a31a42；（由n阶行列式的定义）4.正（(?1)6，注意将行标写为标准次序）；

5.(?1)n?1；6.i?2,j?1（将行标写为标准次序列标排列的逆序数应为奇数）；

37.?2（只有主对角线上的元素相乘为x）；8.

n(n?1)；229.0；（提醒：一元n次方程n个根之和为n?1次项的系数，此题n?1次项为x，其

系数为0，也即a?b?c?0，利用行列式的性质可得结果为0，超纲题）；

n(n?1)?t2二、1.0（直接利用对角线法则，也可用性质计算）；

2.?abcd（按n阶行列式的定义，只有一项不为0，乘积abcd的列标排列为1324，逆

序数为奇数，故为?abcd）。

10.

第三节行列式的性质第四节行列式按行（列）展开

一、1.A（B,C,D为充分条件）；2.C（由教材P23定理1.4.1可得）；3.C；

c14.A（A21?A22?A23?A24?**nc1**c1**c1?0）**二、1、0（各列都加到第一列则第一列元素全为0）；

2、(?1)?a；

a11（det(aij)?a1n,而det(?aij)??a11?an1?a1n,每行提公因子?1）；

an1ann?ann3、0（由n阶行列式的定义）；

15（D?a12A12?a22A22?a32A32?a42A42?(?1)?(?5)?2?3?0?7?1?4?15）4、；

5、m?n，（

a11a12?a13a21a22?a23?a11a12a21a221/6

?a11a13a21a23?a11a12a21a22?a13a23a11a21）；

6.

x184，（A12?(?1)1?2。?0，可解得x?）5545第五节克拉默法则

一、D（A,B,C充分非必要）二、x1?2,9118x2??,x3??,x4?

2105?120，另D1?240,D2??540,D3??12,D4?432

提醒：所需计算的5个行列式恰好都是范德蒙德行列式，由范德蒙德行列式计算可得，系数行列式D?所以，x1?2,三、??1且??9118x2??,x3??,x4?

210594提醒：齐次线性方程组有唯一解即只有零解，需系数行列式D?0，即

9D???1?12??(4?2?13??9)?0，解得??1或??。

4414四、4x?y?3z-8?0

解法一：（高数）点法式方程

2?1i法向量n?2?1jk3?1?1?1?n??4,1,3?3?1?1?1?1?1解法二：设平面方程为Ax?Ay?Cz?D?0，且平面过点(x,y,z)

?A?B?C?D?0?2A?3B?C?D?0?则有：?

3A?B?C?D?0???xA?yB?zC?D?0方程组有非零解?系数行列式等于零11123?1即

3?1?1xyz??(x?1)?1111112?2?12?2?21x?1y?1z?1112?20??2?2?20x?1y?1z?102?21?212?(y?1)??(z?1)??2?22?22?22/6

?2?4x?y?z?8??0

故得，平面方程为4x?y?z?8?0

综合题

一、1、C、（B应为正，D应为负）

2、B、（其次列加第一列，再第三列加其次列；其次列提公因子2，第三列提公因子3；

交换一、三行）

13、B、（即a11bc?0）

bccaab4、A（元素-3的代数余子式为(?1)1?312）

?26二、1、a11a23a35a44a52和?a11a24a35a43a52；（由n阶行列式的定义）

2、0，0；

??2?A11?A12???A13?A14?A15??0提醒：第一、三行，?

A?A?2A?A?A?0?????12131415?113、D1???1?n(n?1)2n(n?1)（将D1做逐行互换得到D，共做次相邻的行互换）D；24、???1；（提醒：齐次线性方程组有唯一解即只有零解，需系数行列式D?0）

5、?28；（将D的最终一行换为-1,1，-1,1；注意余子式与代数余子式的关系）6、?1；（出现x的项有两个，系数分别是1和-2）7、k（提出其次列公因子k）；8（每行提公因子2）；

31?12（拆分其次列；或c2?c1；第一列提公因子4，其次列提公因子?3。）；

28、a?0,三、1、(?1)2、(?1)n?1b?0（展开有a?b?0）

22n!；（提醒：n阶行列式定义）

2?n?1??n?2?n!；（提醒：n阶行列式定义）

3、?x1x3?y1y3??x2y4?x4y2?；(提醒：（1）Laplace定理D?x1y3y1x2?x3y4y2x4

3/6

x1（2）

0x20x4y10x300y20y4c2?c3x1?0y30y10x300x20x40y20y4r2?r3x1y300y1x30000x2x400y2y40y30?x1y1y2yx1x3?y1y3)(x2y4?x4y2))

3x?x23y4x?(44、2000；（提醒：先按第一列拆分、再按第三列拆分或c1?c2,c3?c2）

103100204c314r0?84199202395c1?c23?2c2c100?12?5r2?r31?3r310005?5?20003013006002?100130130注：由于技术原因，本章出现的符号应为?，请注意！

5、160；

12341010101011112341r1?r2?r3?r42341r1?1013412341210234341241234123412311111111111r2?2rr13?3r1r10012?1r3?r210012?1r4?r3124?4r101?2?1r4?3r200?4010000?40?3?2?1004?40006、abcd；(展开降阶)

a3050b04a3027c3?d0b0?dca30b?abcd000d27c7、0；

41244?7231202c4?c21000?723按第2行展开10520c??152?52?2c110?152?501170116116808r1?r2r??170?17?0

2?2r31164/6

1?10?160?4

8、??1?n(n?1)2a1na1,n?1an?1,2an1；（由n阶行列式的定义）

n?19、?x?(n?1)a??x?a?；（参考教材P19例1.3.4）

10、（1）当n?2时，D2?x1y1?x2y2?x1y2?x2y1（2）当n?2时，由r2?r1,r3?r1得其次行与第三行对应成比例，所以Dn?0.

11、ab(?b2?a2?ab)(利用性质和按行（列）展开直接计算可得)

1?a?112、000a000a000?1?a?a2?a3?a4?a5

1?aa?11?a00?101?aa?11?a(提醒：类P43例1.6.2，例1.6.3)

?ar1?r2?r3?r4?r50001?11?aa00??????0D5??????11?aa0??a?D4?(?1)4(按第一行展开)?00?11?aa000?11?a四、错。正确答案为a11a22a33a44?a14a23a32a41?a11a23a32a44?a14a22a33a41五、x?7；（第一行元素与第三行元素的代数余子式乘积之和为0）六、提醒：系数行列式D?a?1?2?3?0，得只有零解。

1a2七、1、提醒：利用加边法，得到范德蒙德行列式D5?aa3a42341bb2b3b41cc2c3c41dd2d3d41xx2。x3x43一方面，D5?A15?xA25?xA35?xA45?xA55，而所求四阶行列式为元x的余子式。另一方面，由范德蒙行列式知，D?，整理成x的多项式。比较x的系数即得所求四阶行列式。

2.（课本P26例1.4.2）

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a八、解：Dn?a1(1?n)?(1?n)???1?1aaa??a2?1??an?2；（Lacpeln?2定理）

另：法1：按最终一行展开。法二：第一行加最终一行的-1倍，再将第一列加到最终一列。

方法有好多，自己总结。

11111111120233nc?九、解：A11?A12??A1n?1030jj?n!110110

100n1001n1??1111k?2k23nc1?c2??c?nn!0100n0010?n!??1??1??k?2k??0001或者：

11111?11?