线性代数复习题及答案

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第一章n阶行列式

一、选择填空题：

1、排列542163的逆序数为______________。

31?1?352中，元素4的代数余子式为。12、行列式4?2a11a12a22a32a12a22a32a13a33a13a33a31a11?2a32?2a22?2a122a312a113a333a23?。3a132a322a22?2a322a122a332a23?2a33?。

2a133、设行列式a21a31a11a23?3，则a214、设行列式a21a31a23?3，则2a21?2a315、n个方程、n个未知量的齐次线性方程组Ax?0有非零解的充要条件是。6、设A,B均为3阶方阵，且A?3,B?2，则BA?A2?。7、设A,B均为3阶方阵，且A?2,B??3，则3A?B?1?。

a11?xa12?xa22?xa32?xa13?xa23?x，则f(x)的最高次数是。a33?x8、已知多项式f(x)?a21?xa31?x9、设A为3阶矩阵且行列式A?0，则以下说法正确的是（）（1）矩阵A中必有一列元素等于0；

（2）矩阵A中必有两列元素对应成比例；

（3）矩阵A中必有一列向量是其余列向量的线性组合；（4）矩阵A中任一列向量是其余列向量的线性组合。10、以下说法错误的是（）

（1）若n阶线性方程组Ax?b的系数矩阵行列式A?0，则该方程组存在唯一解；

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（2）若n阶线性方程组Ax?0的系数矩阵行列式A?0，则该方程组只有零解；（3）一个行列式交换两列，行列式值不变；

（4）若一个行列式的一列全为零，则该行列式的值为零。

二、计算以下行列式

1?53214916253?11391625362222?42?1?3162536491、D?10?51；

2、D?4916

a2222(a?1)(b?1)(c?1)(d?1)20?2..?2222..2223..2330..(a?2)(b?2)(c?2)(d?2)222；..nnn2222(a?3)(b?3)(c?3)(d?3)22223、D?bcd；

1?14、D??1n..?112n；..0?35、D?2n..211231..00023..00002..00???..??000..31000；..236、D?0n00..第2页共25页

x1?1x1?2x2?2?xn?2????123?33??????0xy?0000x???????x1?nx2?n?xn?n7、Dn?x2?1?xn?1xax?a122?22y0xy0?00；

aa?x123?n?1n?1????y0000?xy123?n?1n8、Dn?a?a11；

9、Dn?1?11；

10、Dn?0?0x；

其次章矩阵

一、选择填空题

?1?1、设A?1???1?2?1?2、设A??3???1?1?1?13?120?21?1134?23???3，则A的秩r(A)?。?1??4???3?，则A的秩r(A)?。1??1?3、设A,B均为3阶方阵，且A?4,B?2，则BA?A2?。

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?1?0?4、设A??3???12??4??1?1?，B???20???2??111030??3?，则ATB?1??4?。

?1?5、设A?2???221?22???1?2，则A??1??。

6、设A和B皆为n阶方阵，则下面论断错误的是()

（1）(AB)T?BTAT；（2）(AB)?1?B?1A?1；

（3）AA??A，其中A?为A的伴随矩阵；（4）假使AB?O，则A?O或B?O。7、设A是m?n阶矩阵，C是n阶可逆矩阵，矩阵A的秩为r，矩阵B?AC的秩为t，则以下结论成立的是（）。

（1）r?t；（2）r?t；（3）r?t；（4）r与t的关系不定。8、下面论断错误的是()。

（1）若干个初等阵的乘积必是可逆阵；（2）可逆阵之和未必是可逆阵；（3）两个初等阵的乘积仍是初等阵；（4）可逆阵必是有限个初等阵的乘积。

9、设n阶实方阵A,B,C满足关系式ABC?E，其中E为n阶单位矩阵，则以下关系式成立的是（）

（1）ACB?E；（2）CBA?E；（3）BAC?E；（4）BCA?E。?a11?10、设A??a21??a31a12a22a32a13??a11??a23，B?a21???a33???a31a12?a11a22?a21a32?a31a13??1??a23，P?0???a33???01100??0，?1??则以下等式正确的是（）

（1）PA?B；（2）AP?B；（3）PB?A；（4）BP?A。

二、计算证明题

?31、设矩阵A和B满足关系式AB?A?2B，且已知A??1???00111??0，求矩阵B。?4??第4页共25页

?02、已知AX?B?X，其中A???1????11100??1??1，B?2????1???5?1??0，求矩阵X。??3??3、设A,B为3阶矩阵，E为3阶单位矩阵，满足关系式AB?E?A2?B，且已知

?1?A?0????10201??0，求矩阵B。?1??4、设A,B为n阶矩阵，满足AB?A?B，（1）证明A?E可逆；?1?（2）若A?0???102?2?1??1，求矩阵B。??1??11?1?1????1?1，矩阵B满足AB?A?2B，其中A是A的伴随矩阵，?1???1?5、设矩阵A??1???1求矩阵B。

?1??1???11211????1?1，试求伴随矩阵A的逆矩阵(A)。?3??6、已知三阶矩阵A的逆矩阵为A?1?1?7、已知A?0???0?11020??2?1且A?AB?E，其中E是三阶单位矩阵，求矩阵B。?1???18、设方阵A满足A?A?2E?0，证明A及A?2E都可逆，并求A?1及(A?2E)。9、已知E?AB可逆（其中E为单位矩阵），试证E?BA也可逆，且有

(E?BA)?1?E?B(E?AB)?1A。

第三章向量组的线性相关性和秩

一、选择填空题

1、设向量组?1,?2,?3线性无关，则当t?_____时，向量组?2??1，t?3??2，?1??3

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线性相关。2、已知向量组?1??1234?，?2??2345?，?3??3456?，

?4??4567?，则该向量组的秩为。

2?11?，?2??20t0?，?3??0?45?2?的秩为

3、已知向量组?1??12，则t?。

4、关于最大无关组，以下说法正确的是（）（1）秩一致的向量组一定是等价向量组；（2）一个向量组的最大无关组是唯一的；（3）向量组与其最大无关组是等价的；

（4）假使向量组所含向量的个数大于它的秩，则该向量组线性无关。5、设矩阵A?(aij)m?n的秩为r，则以下说法错误的是（）（1）矩阵A存在一个r阶子式不等于零；（2）矩阵A的所有r?1阶子式全等于零；（3）矩阵A存在r个列向量线性无关；（4）矩阵A存在m?r个行向量线性无关。

6、对于线性相关和线性无关，以下说法错误的是（）（1）所含向量个数大于向量维数的向量组一定线性相关；

（2）假使一个向量组线性无关，则该向量组中一定不包含零向量；

（3）假使一个向量组线性相关，则至少存在一个向量可以由其它向量线性表示；（4）假使n阶方阵的行列式为零，则该矩阵的列向量组一定线性无关。7、n维向量组?1,?2,?,?r(3?r?n)线性无关的充要条件是（）（1）存在一组不全为零的数k1,k2,?,kr，使得k1?1?k2?2???kr?r?0；（2）?1,?2,?,?r中存在一个向量，它不能用其余向量线性表示；（3）?1,?2,?,?r中任意两个向量都线性无关；

（4）?1,?2,?,?r中任意一个向量都不能用其余向量线性表示。8、向量组?1,?2,?,?r线性无关的充分条件是（）（1）?1,?2,?,?r均不为零向量；

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（2）?1,?2,?,?r中任意两个向量的分量不成比例；

（3）?1,?2,?,?r中任意一个向量都不能用其余r?1个向量线性表示；（4）?1,?2,?,?r中有一部分向量线性无关。

9、已知向量组?1,?2,?3,?4线性无关，则以下说法正确的是()（1）?1??2,?2??3,?3??4,?4??1线性无关；（2）?1??2,?2??3,?3??4,?4??1线性无关；（3）?1??2,?2??3,?3??4,?4??1线性无关；（4）?1??2,?2??3,?3??4,?4??1线性无关。10、以下说法错误的是（）

（1）矩阵的秩等于该矩阵的行向量组的秩；

（2）矩阵的秩等于该矩阵的列向量组的秩；

（3）一个n阶方阵的不同特征值对应的特征向量线性无关；（4）相像矩阵有一致的特征多项式，从而有一致的特征值。

二、计算证明题

1、已知向量组?1??1320?，?2??70143?，?3??2?101?，

?4??516线性表示。

2?，求该向量组的秩和一个最大无关组，并将剩余向量用该最大无关组

2、已知向量组（I）?1,?2,?3；（II）?1,?2,?3,?4；（III）?1,?2,?3,?5，假使各向

量组的秩分别为R(I)?R(II)?3,R(III)?4，证明：?1,?2,?3,?5??4线性无关。3、已知向量组?1?(1为2，试求x的值。4、已知向量组?1??042?，?2??110?，?3???243?，?4???111?，

2?11)，?2?(20x0)，?3?(0?45?2)的秩

求该向量组的秩和一个最大无关组，并将剩余向量用该最大无关组线性表示。

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5、设向量组?1,?2,?3线性无关，证明：?1??2,?2??3,?1??3线性无关。6、设向量组?1,?2,?3线性无关，记?1??1，?2??2??3，?3??1??2??3，证明：?1,?2,?3也线性无关。7、已知向量组?1?(?1相关，试求x的值。

?3??1??1??4?????????8、已知向量组?1??1，?2?1，?3??3，?4?0，

?????????????2???3???5???1??211)，?2?(x020)，?3?(5?40?2)线性

问：（1）?1，?2，?3，?4是线性相关还是线性无关？为什么？（2）求?1，?2，?3，?4的一个极大无关组。

9、设向量组?1,?2,?3线性无关，记?1??1，?2??2?2?3，?3??1?2?2?3?3，证明：?1,?2,?3也线性无关。

10、设向量组?1,?2,?3线性无关，证明：?1??2,?2??3,?3??1线性无关。

第四章线性方程组

一、选择填空题

x2?2x3?2x4?6x5?3???5x1?4x2?3x3?3x4?x5?a1、线性方程组?有解的充要条件是a?。

3x?2x?x?x?3x?012345??x?x?x?x?x?112345??x1?x2?a1?1??x2?x3?a22、线性方程组?有解的充要条件是。

x?x?a343??x?x?a?4143、设A是m?n阶矩阵，Ax?0是非齐次线性方程组Ax?b所对应的齐次线性方程组，则以下结论正确的是（）

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（1）若Ax?0仅有零解，则Ax?b有唯一解；（2）若Ax?0有非零解，则Ax?b有无穷多个解；（3）若Ax?b有无穷多个解，则Ax?0仅有零解；（4）若Ax?b有无穷多个解，则Ax?0有非零解。

4、已知?1,?2是非齐次线性方程组Ax?b的两个不同的解，?1,?2是对应齐次线性方程组

Ax?0的基础解系，k1,k2是任意常数，则方程组Ax?b的通解必是（）

（1）k1?1?k2(?1??2)??1??22；（2）k1?1?k2(?1??2)??1??22；

（3）k1?1?k2(?1??2)??1??22；（4）k1?1?k2(?1??2)??1??22。

5、设A是m?n阶矩阵，齐次线性方程组Ax?0仅有零解的充要条件是（）（1）A的列向量线性无关；（2）A的列向量线性相关；（3）A的行向量线性无关；（4）A的行向量线性相关。

二、计算题

?x1?3x2?x3?6?1、设有线性方程组?3x1?2x2?3x3??3，问a、b为何值时，方程组①有唯一解？②

??x?4x?ax?b123?无解？③有无穷多解？在有无穷多解时求通解（用基础解系表示）。

??x1?x2?x3?1?2、?为何值时，非齐次线性方程组?x1??x2?x3??①有唯一解？②无解？③有无穷

?x?x??x??223?1多解？在有无穷多解时求通解（用基础解系表示）。

?x1?x2??x3?4?23、?为何值时，非齐次线性方程组??x1??x2?x3??有唯一解、无解、无穷多解？在

?x?x?2x??423?1有无穷多解时求通解（用基础解系表示）。

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x1?x3????4、问?为何值时，非齐次线性方程组?4x1?x2?2x3???2有解？并求出解的一般形

?6x?x?4x?2??323?1式。

?ax1?x2?x3?4?5、问a,b为何值时，非齐次线性方程组?x1?bx2?x3?3①有唯一解？②无解？③有

?x?2bx?x?423?1无穷多解？

?x1?3x2?x3?6?6、设有线性方程组?3x1?2x2?3x3??3，问a、b为何值时，方程组①有唯一解？②

??x?4x?ax?b123?无解？③有无穷多解？在有无穷多解时求通解（用基础解系表示）。

第五章相像矩阵及二次型

一、选择填空题

2221、二次型f(x1,x2,x3)?2x1?2x2?4x3?6x1x3?2x2x3的矩阵为A?。

2222、二次型f(x1,x2,x3)?x1?x2?3x3?2x1x2?4x1x3?6x2x3的矩阵为A?。

3、若A的特征值为?1,0,2，则A2的特征值为。

4、已知矩阵A和B相像，且A的特征值为3,?2,1，则B的特征值为。5、设A与B都是m?n矩阵，则A与B等价的充要条件是。6、已知三阶矩阵A的3个特征值为1,2,?3，则A?。

7、设n阶实方阵A,B,C满足关系式ABC?E，其中E为n阶单位矩阵，则以下关系式

成立的是（）

（1）ACB?E；（2）CBA?E；（3）BAC?E；（4）BCA?E。

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8、设A和B皆为n阶方阵，则下面论断错误的是()（1）A与B等价的充要条件是rank(A)?rank(B)；（2）若A与B等价，则A?B；

（3）A与B等价的充要条件是存在可逆阵P、Q，使A?PBQ；（4）A可逆的充要条件是A等价于En。

9、设A和B皆为n阶实方阵，则下面论断错误的是()（1）A与B相像的充要条件是存在可逆阵P，使得A?P?1BP；（2）若A是反对称矩阵，则AT??A；

（3）若A可逆，则A可以表示成若干个初等矩阵的乘积；（4）若A是正交矩阵，则A?1。

10、对n阶实矩阵A和非零常数k，以下等式中正确的是（）

nn（1）kA?kA（2）kA?kA（3）kA?kA（4）kA?kA。

二、计算题

2221、求一正交变换X?PY，将二次型f(x1,x2,x3)?3x1?3x2?2x1x2?2x3化为标准形。

?2?2、已知矩阵A?0???00320??T2求一正交矩阵p，使得PAP为对角矩阵。?3??3、求一正交变换X?PY，将以下二次型

f(x1,x2,x3)?5x1?6x2?7x3?4x1x2?4x2x3化为标准形。

222?3?4、已知矩阵A??1???0?1300??T0求一正交矩阵p，使得PAP为对角矩阵。?2??2225、求一正交变换使化二次型f(x1,x2,x3)?2x1?3x2?3x3?4x2x3成标准形。

2226、求一正交变换X?PY，将二次型f(x1,x2,x3)?4x1?3x2?2x2x3?3x3化为标准

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形式。

第六章线性空间与线性变换

一、选择填空题

1、设R3中的线性变换T把基??(1(102),??(?1T001),??(0TT11),??(0T0T1)变为基

2?1),(1T0)，则T在基?,?,?下的矩阵为。

00)，

2、设R3中的线性变换T：T(x1,x2,x3)?(x1,x2,0)，则T在基?1?(1?2?(110)，?3?(001)下的矩阵为。

3、以下关于线性空间的说法不正确的是（）

（1）次数为n(n?1)的实系数多项式的集合对于多项式的加法和数乘运算构成线性空间；（2）n阶矩阵的集合对于矩阵的加法和数乘运算构成线性空间；（3）n维向量的集合对于向量的加法和数乘运算构成线性空间；

（4）齐次线性方程组Ax?0所有解的集合对于向量的加法和数乘运算构成线性空间。4、设T是线性空间V中的线性变换，则以下说法错误的是（）（1）T(0)?0；

（2）T(???)?T(?)?T(?)；

（3）设向量组?1,?2,?,?n线性无关，则向量组T(?1),T(?2),?,T(?n)也线性无关；（4）设向量组?1,?2,?,?n线性相关，则向量组T(?1),T(?2),?,T(?n)也线性相关。5、以下变换不是线性变换的是（）

2（1）在R3中，T(x1,x2,x3)?(x1,x1?x2,x3)；

（2）T(X)?BXC，其中B,C为n阶矩阵；

（3）T[f(x)]?f(x?1)，其中f(x)为不超过n次的多项式；（4）T(?)?0,??R。

n二、计算题

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1、在线性空间V3中，已知两个基：?1??121?，?2??2133?，?3??371?，

?1??314?，?2??521?，?3??1求由基?1,?2,?3到基?1,?2,?3?6?，

的过渡矩阵。

2、设R3中的线性变换T在基?1?(1?5?阵为A?2???144?100)，?2?(010)，?3?(001)下的矩

?1???2，另取基?1??1?3??00?，?2??110?，?3??111?，

求T在该基下的矩阵B。

参考答案和提醒：第一章

一．1、9；2、-64；3、18；4、24；5、A?0；6、33；7、-36；8、3；9、（4）；10、（3）。二．

1、提醒：利用初等行变换，简化行列式即得D?40。

2、提醒：利用初等行变换，简化行列式，再利用行列式的性质即得D?0。

3、提醒：利用初等列变换（第1列乘以-1加到其它各列，再对后3列类似处理）D?0。4、提醒：利用初等列变换（第1行乘以-1分别加到第2至n行）即得D?n!。

5、提醒：利用初等变换（第2行乘以-1加到后面各行，然后将第2列乘以-1加到后面各列，再利用行列式展开定理即得），D??2(n?2)!

6、提醒：第1行乘以-1加到第2行，第2行再乘以-1加到第3行，以此类推即得D?1。7、提醒：将第n-1列乘以-1加到第n列，再将第n-2列乘以-1加到第n-1列，以此类推；然后将第1行乘以（-1）依次加到第2至n行，再利用行列式展开定理即得

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D2?x1?x2;Dn?0(n?2)。

8、提醒：将第2至n行依次加到第1行，再提出第1行的公因子，然后利用初等行变换化简行列式即得Dn?[x?(n?1)a](x?a)n?1。

9、提醒：将第1行乘以（-1）依次加到第2至n行，然后再将第2行乘以（-1）依次加到第3-n行，重复上述过程n-1步即得D?1。

10、利用行列式展开定理，将行列式依照第1列展开即得Dn?yn?(?1)n?1xn。其次章

?9?9?29一．1、2；2、2；3、48；4、??1?1?1?；5、A?2?11?9???221?22??（4）；7、（3）；?2；6、?1??8、（3）；9、（4）；10、（2）。二、解：

301110?13?0，所以A可逆。由条件AB?A?2B知，B?(A?2E)4?2?32?2???2。?3???1?11、A?10A，

?5??1B?(A?2E)A?4????22、由AX?B?X得，X?(E?A)B，其中E为3阶单位矩阵，?3??1所以X?(E?A)B?2???12?1??0。??1??23、由条件知AB?E?A?B?(A?E)B?A?E?(A?E)(A?E)，?2??1且A?E可逆，所以B?(A?E)(A?E)(A?E)?A?E?0????10301??0。?2??4、（1）由AB?A?B?(A?E)(B?E)?E，利用逆矩阵的定义知，A?E可逆，

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且(A?E)?1?B?E；（2）由（1）知，B?(A?E)?1?E，且

?0??1????111?12101??1??0，所以B?1???0????12201??0。?1??(A?E)?1?1?5、A??1???1?1?1??1??1?A，1，A?4，A?AA?(A)??A1??根据A?B?A?1?2B，得B?(A?)?1(A?1?2B)??11??04???11100??1。?1??14(E?2AB)，

移项得B?14(E?12A)?16、已知A?1?1??1???1121?5?21???1，首先计算矩阵A，利用求逆方法得A???1??13?????21A?5?A??2????1?1?110?220?1?2??0?1??2??根据AA?AE，则A??AA?1?(A?)?1?A?A?1?1??0。?1??7、A2?AB?E?A(A?B)?E?A?B?A?1??0???02?1?B?A?A

110A?11??2???11?B?A?A?0???1???00201??0。?2???18、A?A?2E?0?A(A?E)?2E，所以A及A?E均可逆，A?12(A?E)；

(A?2E)(A?E)?2A，所以A?2E可逆，(A?2E)?1?12(A?E)A?1。

9、利用逆矩阵的定义验证即可。

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第三章

一．1、-1；2、2；3、3；4、（2）；5、（4）；6、（4）；7、（4）；8、（3）；9、（1）；10、（3）。二．

1、解：将给定的向量按行排列成矩阵，利用初等行变换将其化为阶梯形矩阵即可：

?1??7?2??5?30?1121406?10?1???3?2?0???01?3???2?4????03?7002?404???3?2?11?

0?2?2?1?3?3?3?4???4??1?2?30??0?1所以该向量组的秩为3，?1,?3,?4是一个最大无关组，且?2??2?1?3?3?3?4。2、证明：由题意知，向量组（I）?1,?2,?3和（II）?1,?2,?3,?4的秩都是3，则?1,?2,?3必线性无关，?1,?2,?3,?线性相关，故?4可由?1,?2,?3线性表示，记为

?4?t1?1?t??t?；而（III）?1,?2,?3,?5的秩为4，则?1,?2,?3,?5必线性无关。223设k1?1?k2?2?k3?3?k4(?5??4)?0，代入?4?t1?1?t2?2?t3?3得

k1?1?k2?2?k3?3?k4?5?k4(t1?1?t2?2?t3?3)?0，整理得

(k1?k4t1)?1?(k2?k4t2)?2?(k3?k4t3)?3?k4?5?0，由?1,?2,?3,?5线性无关知，k1?k4t1?0,k2?k4t2?0,k3?k4t3?0,k4?0

所以k1?k2?k3?k4?0，即?1,?2,?3,?5??4线性无关。

3、解：提醒：利用秩的定义和初等行变换将向量按行排成的矩阵化为阶梯形矩阵即得?1?2???020?4?1x51??1??0?0????2???02?40?15x?31???2?0??由于该向量组的秩为2，则非零行数为2，所以x?3。

4、将给定的向量按行排列成矩阵，利用初等行变换将其化为阶梯形矩阵即可：

?0??1??2????14141??12?1???0?2?0???03?3????14???0?12023???2??41?0?3?3?4??2????2??2?0124??第16页共25页

?4所以该向量组的秩为2，?2,?4是一个最大无关组，且有?3??2?3?4,?1?2?2?2?4。5、证明：设k1(?1??2)?k2(?2??3)?k3(?1??3)?0，即

(k1?k3)?1?(?k1?k2)?2?(k2?k3)?3?0，

1?k1?k3?0?由于?1,?2,?3线性无关，则有??k1?k2?0，系数行列式为?1?k?k?0023?01110??2?0，?1所以k1,k2,k3只有零解，?1??2,?2??3,?1??3线性无关。

6、证明：设k1?1?k2?2?k3?3?0，即k1?1?k2(?1??2)?k3(?1??2??3)?0，?k1?k2?k3?0??k2?k3?0，k1?k2?k3?0，所以?1,?2,?3也线性无关。???k3?0???k1?xk2?5k3???4k3??2k17、解：设k1?1?k2?2?k3?3?0，即???k1?2k2?k?2k3??10000，由于?1,?2,?3线性相关，则

k1,k2,k3不全为零，由方程组知，k1??2k2,k1?2k3，故k1,k2,k3均不为零，得x?3。

8、将给定的向量按行排列成矩阵，利用初等行变换将其化为阶梯形矩阵即可：

?3??1?1??4??11?301?1??1??2?2?0???03?3?????05?4??1?400???1?3?25?

??3?2?2??1?4?0?4?2?3?5?2??1??22?（1）由?4?2?3?5?2??1?0可知：?1，?2，?3，?4线性相关；（2）?1，?2，?3，?4的一个最大线性无关组为?1，?2，?3。

9、证明：设k1?1?k2?2?k3?3?0，即k1?1?k2(?1?2?2)?k3(?1?2?2?3?3)?0，

第17页共25页

?k1?k2?k3?0??2k2?2k3?0，k1?k2?k3?0，所以?1,?2,?3也线性无关。?3k3?0?10、证明：设k1(?1??2)?k2(?2??3)?k3(?3??1)?0，即

?k1?k3?0?(k1?k3)?1?(k1?k2)?2?(k2?k3)?3?0，由于?1,?2,?3线性无关，则有?k1?k2?0

?k?k?023?101110?2?0，所以k1,k2,k3只有零解，?1??2,?2??3,?3??1线性无关。1系数行列式为10第四章

一．1、2；2、a1?a2?a3?a4?1；3、（4）；4、（2）；5、（1）。二．解：

1、对方程组的增广矩阵进行初等行变换，根据方程组的解与系数矩阵的秩和增广矩阵的秩之间的关系即得

?1?(Ab)??3??1?324?116???3?3???0?0ab???370??021?a?1b?13??16当a??1时，方程组有唯一解（系数行列式非零）；

当a??1且b?13时，方程组无解（rank(A)?rank(Ab)）；

当a??1且b?13时，方程组有无穷多解（rank(Ab)?rank(A)?2?3）；?1??0?????此时齐线性方程组的基础解系为0，非齐线性方程组的特解为3，

??????1???3??????0??1?????通解为??3?k10。

??????3???1?????第18页共25页

?1121?(??2)(??1)，

2、A?11?1?（1）当??1且???2时，有唯一解；?1111??1???（2）??1时，A?1111?0??????1111???01001001??0?0??rank(A)?1?rank(A)所以方程组有无穷多解；

??1???1??1???????齐线性方程组的基础解系为?1?0,?2?1，非齐线性方程组的特解为??0，

???????1??0??0????????1???1???1???????通解为x?k1?1?k2?2???0?k10?k21

???????0??1??0?????????2?（3）???2时，A?1???11?2111?21??1???2??2???4???1?21111?2?2??1??1?0???4???0?2?30130?2???3?1??rank(A)?2?3?rank(A)所以方程组无解。

3、解法同上题。

（1）当???1且??4时，有唯一解；

（2）???1时，rank(A)?2?rank(A)?3所以无解；

（3）??4时，rank(A)?rank(A)?2?3所以有无穷多解；??3??0?????基础解系为????1?，特解为???4?，

?0??1??????x1?通解为?x2?x?3???3??0???????k?1?4。???????1??0??????4、提醒：对方程组的增广矩阵进行初等行变换，根据方程组有解的充要条件是系数矩阵的秩和

第19页共25页

增广矩阵的秩相等即得

当??1时，rank(A)?rank(Ab)?2，方程组有解；??1???相应齐次方程组的基础解系为：??2，

???1????1???非齐次方程组的一个特解为x???1，

???0?????1???故此时方程组的解的一般形式为x?k2????1????1???。?1（k为任意实数）

???0???5、提醒：对方程组的增广矩阵进行初等行变换，根据方程组有唯一解的充要条件是系数矩阵的行列式不等于零，有解的充要条件是系数矩阵的秩和增广矩阵的秩相等即得系数矩阵的行列式为A?b(1?a)，

当a?1,b?0时方程组有唯一解；当b?0时方程组无解；

1212当a?1,b?时方程组有无穷组解；当a?1,b?时方程组无解。

6、对方程组的增广矩阵进行初等行变换，根据方程组的解与系数矩阵的秩和增广矩阵的秩之间

的关系即得

当a??1时，方程组有唯一解（系数行列式非零）；

当a??1且b?13时，方程组无解（rank(A)?rank(Ab)）；

当a??1且b?13时，方程组有无穷多解（rank(Ab)?rank(A)?2?3）；?1??0?????齐线性方程组的基础解系为0，非齐线性方程组的特解为3，

??????1???3??????0??1?????通解为???3??k1?0?。

??3???1?????第五章

第20页共25页

?2一．1、?0???302?13??1?2、??1?1；???4???2?11?32??3、1，0，4；4、3，-2，1；5、rank(A)?rank(B)；?3；?3??6、-6；7、（4）；8、（2）；9、（4）；10、（2）。

二．解：

?3?1、所给二次型矩阵为A??1???0?1300??0，?2??二次型矩阵形式：f(X)?XTAX，其中X??x1x2x3?

0d200??0，?d3??T?d1?T问题等价于求正交矩阵P，使得PAP?diag(d1,d2,d3)?0???0222则所求正交变换为X?PY，二次型标准型为f(y1,y2,y3)?d1y1?d2y2?d3y3；

；分别求出各个特征值对应的特征向量，并将它们正交A的特征值为?1?4，?2,3?2（二重）单位化后，依照列排成矩阵即得。????正交矩阵P???????1212023120?0???4?0?，则PTAP??0????01???1212023120?0???0??1????y1???y?2?，??y3??0200??0。?2?????x1?????所求变换为X?PY??x2???????x3?????222标准型为f(y1,y2,y3)?4y1?2y2?2y3。

2、类似上题，先求A的特征值为?1?2，?2?5，?3?1；分别求出各个特征值对应的特征向量，并将它们正交单位化后，依照列排成矩阵即得。

第21页共25页

??1??正交矩阵P??0???0?01212?0???21??T，则PAP?0??2???01???2?0500??0。?1???5?3、同1题，所给二次型矩阵为A??2???0?26?20???2，A的特征值为?1?3，?2?6，?3