线性代数试题库(1)答案

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线性代数试题库（1）答案

题号一

得分

评卷人

一、选择题：（3×7=21分）

二三四五六总分1.n阶行列式D的元素aij的余子式Mij与aij的代数余子式Aij的关系是（C）A．Aij=MijB。Aij=(-1)nMijC。Aij=(-1)i?jMijD。Aij=-Mij

2．设A是数域F上mxn矩阵，则齐次线性方程组AX=O（A）A．当mn时，无解C．当m=n时，只有零解D．当m=n时，只有非零解3．在n维向量空间V中，假使?，??L（V）关于V的一个基{?1,?,?n}的矩阵分别为A，B.那么对于a，b?F，a?+b?关于基{?1,?,?n}的矩阵是（C）A．A+BB．aA+BC．aA+bBD．A+Bb4．已知数域F上的向量?1,?2,?3线性无关，以下不正确的是（D）

?2线性无关B．A?1，?2,?3线性无关C．?3,?1线性无关D．?1,?2,?3中必有一个向量是其余向量的线性组合。5．Rn中以下子集，哪个不是子空间（C）A．R

n

n

B．{(a1,?,an)|ai?R,i?1,?,n且?ai?0}

i?1nC．{(a1,?,an)|ai?R,i?1,?,n且?ai?1}D．{0}

i?16．两个二次型等价当且仅当它们的矩阵（A）

A。相像B．合同C．相等D．互为逆矩阵7．向量空间R3的如下变换中，为线性变换的是（C）A．?(x1,x2,x3)?(|x1|,1,1)

B．?(x1,x2,x3)?(x1?1,x2,x3)

22C．?(x1,x2,x3)?(x2,x3,0)D．?(x1,x2,x3)?(x12,x2,x3)

二．填空题（3X10=30分）

?x1?x2?x3?0?1．当且仅当k=（-1或3）时，齐次线性方程组?3x1`?x2?kx3?0有非零解

?9x?x?k2x?023?1?a1???2．设A=?a2??0,B??b1,b2,b3??0,则秩（AB）为（1）。

?a??3??111??,,??324?

3．向量（x，y，z）关于基（0，1/2，0），（1/3，0，0），（0，0，1/4）的坐标为。4．设向量空间F2的线性变换

。?,?为?(x1,x2)?(x1?x2,x2),?(x1,x2)?(x1?x2,0),则(???)(x1,x2)?（2x1,x2）5．已知V=?(x1,x2,x3,x4)|x1?2x2?x4?0?，则dimV=（3）。?1?a??36．已知实矩阵A=??,(a?0)是正交阵，则b=（0）。?b1???3??7．设?1,?2,?3,?4是四维欧氏空间V的一个标准正交基，???1??2??3??4，

??????1??2??3,则|?|??2?,??,????3?,?与?的夹角????,d(?,?)??1?.

?6?三、计算题

?10??11??31???1．求矩阵方程的解?x?2?11??01?????13??，（10分）??????解:x=

?21??12．设A??AT为对角形(10分)求可逆矩阵T使T??12???

?22?TT?解：由E?A?0,?1?1,?2?3,X1??1,?1?,X2??1,1?分别单位化，得??,??,1??22???2?2T???22??,所以T2??2????2?2,2??22??????22??

223．设二次型f(x1,x2,x3)?x12?2x2?5x3?2x1x2?2x1x3?6x2x3,回复以下问题：

T（1）将它化为典范型。（2）二次型的秩为何？

（3）二次型的正、负惯性指标及符号差为何？（4）二次型是否是正定二次型？（10分）

2222解：（1）f(x1,x2,x3)?y12?y2,(2)r=5,(3)p=3;s=1,(4)A=6＞0，是正定二次型。?y3?y4?5y5四、证明题

1．设V是数域F上一个一维向量空间。证明V的变换σ是线性变换的充要条件是：对于任意ξ?V，都有σ（ξ）=aξ，a为F中一个定数。（10分）证明：?假设?是V的基，存在所以??F，此时得????，由?是线性变换，则??????1?，??????????????????1???1??????1?，令?1?aa则?????a?；

?任意?1，?2?V，a?F，由???1??2??a??1??2??a?1?a?2????1?????2?

??k?1??ak?1?k?a?1??k???1???是线性变换。

b?cc?ac1?a1c2?a2a?babb1b2cc1，（10分）c22。行列式b1?c1b2?c2a1?b1?2a1a2?b2a2

bcc1c2aa2cc2aa1a2bb2aa2bb1b2cc2aa2bb1b2cc2aa2bb1b2cc1c2证：原式=b1b2a1?c1b1?a1c1?a1c1?2a1

线性代数试题库（2）答案

2023—2023学年第一学期考试时间120分钟

题号得分评卷人一二三四五六总分一、选择题：（3X5=15分）

1.n阶行列式D的元素aij的余子式Mij与aij的代数余子式Aij的关系是（C）A．Aij=MijB。Aij=(-1)nMijC。Aij=(-1)i?jMijD。Aij=-Mij2．设A是数域F上mxn矩阵，则齐次线性方程组AX=O（A）A．当mn时，无解C．当m=n时，只有零解D．当m=n时，只有非零解

3．已知n维向量?1,?2,?3线性无关，以下不正确的是（D）

A?1，?2线性无关B．?2,?3线性无关C．?3,?1线性无关D．?1,?2,?3中必有一个向量是其余向量的线性组合。

4．若A是mxn矩阵，且r（A）=r，则A中（D）A.至少有一个r阶子式不等于0，但没有等于0的r-1阶子式；B.必有等于0的r-1阶子式，有不等于0的r阶子式；C.有等于0的r-1阶子式，没有等于0的r阶子式；D.有不等于0的r阶子式，所有r+1阶子式均等于0。

5．4．设A是三阶矩阵，|A|=1，则|2A2|=（A）A．2，B，1，C8，D4二．填空题（3X6=18分）?x1?x2?x3?01．当且仅当k=（-1或

3）时，齐次线性方程组??3x1`?x2?kx3?0有非零解

?a?2．设A=,?1??9x?x?k212x3?0?a?2??0,B??b1,b2,b3??0则秩（AB）为（1）

。?3．行列式?a?

?0xy3?x0z??0?.?y?z04．已知实矩阵A=??1?3a???是正交阵，则b=（0）。

?1??,(a?0)?b3??5．向量（x，y，z）关于基（0，1/2，0），（1/3，0，0），（0，0，1/4）的坐标为?16．设??1?3,1A2,，1?4??B为n阶可逆矩阵，则??Ao?????A?1o??oB????B?1??。（10分）?o?三、计算题

1．求矩阵方程的解?0??1??11???11??31??x?2???01???????13???，（10分）解:x=

2．设A????21????12?求可逆矩阵T使T?1AT为对角形(15分)

T解：由E?A?0,?TT1?1,?2?3,X1??1,?1?,X2??1,1?分别单位化，得?1???2?,?2??,T?22??22?????22?2????,所以T2???2,2?????2?22???22??

。

223．设二次型f(x1,x2,x3)?x12?2x2?5x3?2x1x2?2x1x3?6x2x3,回复以下问题：

(1)将它化为典范型。（2）二次型的秩为何？

（3）二次型的正、负惯性指标及符号差为何？（4）二次型是否是正定二次型？（12分）

2222解：（1）f(x1,x2,x3)?y12?y2,(2)r=5,(3)p=3;s=1,(4)A=6＞0，是正定二次型。?y3?y4?5y5

?1??0??3??2??1????????????1301?1???????????1??,??,??,??,??2?1?3?7?4?5?5?2?4．设向量组2????????????4??2??14??6??0???????????求向量组的秩及其一个极大无关组。（10分）解：1

0A=321?1301?1217524a12a214a36a40a510?000?1333021110422a1a21?1300021000420

0a3?3a1?0?2a4?2a10?4a5?a10a1a2a3?3a1?a2a4?2a1?a2?40a5?a1??a4?2a1?a2?其中3?1??2?0,a1??a由此r(A)=3,2,a4是一个极大无?1,??3?a2?4?2a1?a4??0关组，四、证明题

1.A是正交矩阵，证明?A?,A?????,??,A???。（10分）证明：?A?,A????A??TA???TATA???T?ATA????T????,??,