线性变换练习题

本文格式为Word版，下载可任意编辑——线性变换练习题线性变换习题

一、填空题

1.设?是P的线性变换，?(a,b,c)?(2b?c,a?4b,3a)，?a,b,c?P，?1?(1,0,0),

3

?2?(0,1,0),?3?(0,0,1)是P3的一组基，则?在基?1,?2,?3下的矩阵为

_______________，又???1??2??3?P3,则?(?)?_________。

2.设A为数域P上秩为r的n阶矩阵，定义n维列向量空间P的线性变换?：?(?)?A?，

n??Pn，则dim???1(0)?＝，dim??(Pn)?＝。

?1?12???1?，则3.设P上三维列向量空间V的线性变换?在基?1,?2,?3下的矩阵是?20?12?1????在基?2,?1,?3下的矩阵是。

4.假使矩阵A的特征值等于1，则行列式|A?E|=。5.设A=??2?1??11211?，?(X)?1??2??AX是P3上的线性变换，那么?的零度=。

6.若A?Pn?n，且A?E，则A的特征值为。

27.在P[x]n中，线性变换D(f(x))?f'(x)，则D在基1,x,x2,为。8.在P2?2,xn?1下的矩阵

中，线性变换?:A???10??10??01?在基AE?,E?1???2??,

?20??00??00??00??00?E3??,E?4???下的矩阵是。

1001????

?321???9.设A??502?的三个特征值为?1，?2，?3，则?1+?2+?3=，

?114????1?2?3=。

10.数域P上n维线性空间V的全体线性变换所成的线性空间L(V)为维线性空间，

1

它与同构。

11.已知n阶方阵A满足A?A，则A的特征值为。12.已知3阶矩阵A的特征值为1,2,3,则|A|?。

213.设?为数域P上的线性空间V的线性变换,若?是单射,则??1(0)=。

14.设三阶方阵A的特征值为1,2,-2,则|2A|=。

15.在P[x]n中，线性变换D(f(x))?f'(x)，则D在基1,2x,3x2,为。

,nxn?1下的矩阵

?a11?16.已知线性变换?在基?1,?2,?3下的矩阵为?a21?a?31阵为。

a12a22a32a13??a23?，则?在基?2,?3,?1下的矩a33???1?12???1?，则17.设P上三维列向量空间V的线性变换?在基?1,?2,?3下的矩阵是?20?12?1????在基?2,?1,?3下的矩阵是。

?11?

?，线性变换?在基?2,?1下的矩阵为??01?

18.设线性变换?在基?1,?2的矩阵为??

?10????11??，那么???在基?1,?2下的矩阵为.??19.已知n阶方阵A满足A?A，则A的特征值为。

2?a11?20.已知线性变换?在基?1,?2,?3下的矩阵为?a21?a?31矩阵为。

3

a12a22a32a13??a23?，则?在基?3,?2,?1下的a33??21.在R中，若向量组?1?(1,t?1,0)，?2?(1,2,0)，?3?(0,0,t2?1)线性相关，则

t?。

2

?2?11???22.若线性变换?在基?1,?2,?3下的矩阵为?011?，则?在基?3,?2,?1下的矩阵为

?121???矩阵为。23.若A?Pn?n，且A?E，则A的特征值为。

23

二、选择题

1.以下哪种变换一定是向量空间F?x?n的线性变换（）。

A．??f?x???f?x??xB．??f?x????f?x?dx

2C．??f?x???f??x?D．??f?x???f?x??f?x?

2.当n阶矩阵A适合条件（）时，它必相像于对角阵。

A．A有n个不同的特征向量B．A是三角矩阵C．A有n个不同的特征值D．A是可逆矩阵3.设?是向量空间V上的线性变换，且

?2?2?，则?的所有特征值为（）。

A．2B．0，2C．0D．0，2，14.设?是3维向量空间上的变换，以下?中是线性变换的是（）。

333A．??x1,x2,x3?=x1,x2,x3B．??x1,x2,x3?=?2x1?x2,x2?x3,x3?

??C．??x1,x2,x3?=?cosx1,sinx2,0?5.设?1,?2,2D．??x1,x2,x3?=x1,0,0

??则向量组,?r是向量空间V的线性相关的向量组，?是V的一个线性变换，

?1,?2,,?r在?下的像?(?1),?(?2),。,?(?r)（）

A．线性无关B．线性相关C．线性相关性不确定D．全是零向量6.n阶方阵A有n个不同的特征值是A可以对角化的（）。

A．充要条件B．充分而非必要条件C．必要而非充分条件D．既非充分也非必要条件7.

设

?是向量空间V的线性变换且

?2??，则?的特征值（）。

A．只有1B．只有?1

C．有1和?1

D．有0和1

?1???101A8.假使方阵A与对角阵D??相像，则=（）。???1???A.EB.AC.?ED.10E

9.设A、B为n阶矩阵，且A与B相像，E为n阶单位矩阵，则（）。

A．?E?A??E?BB．A与B有一致的特征向量和特征值

C．A与B相像于同一个对角矩阵D．A?B

10.设4级矩阵A与B相像，B的特征值是1，2，3，4，则A的行列式是（）。

A．-24B．10C．24D．不能确定

4

11.设?是n维线性空间V的线性变换,那么以下说法错误的是（）。

?)?VA.?是单射?Ker(?)?{0}B.?是满射?Im(C.?是双射?Ker(?)?{0}D.?是双射??是单位映射

12.设A为3阶矩阵,且A?E,A?E,A?2E均不可逆,则错误的是（）。

A.A不相像于对角阵B.A可逆C.|A?E|?0D.|A?E|?013.设A为3阶矩阵,且其特征多项式为f(?)?(??1)(??1)(??2),则错误的是

（）。

A.A相像于对角阵B.A不可逆C.|A?E|?0D.|A?E|?014.n维线性空间V的线性变换可以对角化的充要条件是（）。

A．?有n个互不一致的特征向量B．?有n个互不一致的特征根C．?有n个线性无关的特征向量D.?不存在n个互不一致的特征根15.设?是3维向量空间上的变换，以下?中是线性变换的是（）。

333A．??x1,x2,x3?=x1,x2,x3B．??x1,x2,x3?=?2x1?x2,x2?5x3,6x3?

??C．??x1,x2,x3?=?cosx1,x2,0?16.

则?的所有特征值为（）。

22D．??x1,x2,x3?=x1,0,x3

??设?是向量空间V上的线性变换，且??E，

2A．2B．-1，1C．0D．0，2，117.n维线性空间V的线性变换?可以对角化的充要条件是（）。

?有n个互不一致的特征向量B.?有n个互不一致的特征根

C.?有n个线性无关的特征向量D．?是可逆线性变换

A.

18.2.设矩阵A的每行元素之和均为1，则(

A.0B.1C.2D.3

19.设?是3维向量空间上的变换，以下?中是线性变换的是（）。

23A．??x1,x2,x3?=x1,x2,x3B．??x1,x2,x3?=?2x1,x2?x3,x3?x2?

)一定是A?3A?2