概率论与数理统计(第二版-刘建亚)习题解答第1章

概率论与数理统计（第二版.刘建亚）习题解答——第一章1－1解：（1）ABC；（2）ABC；（3）ABC；（4）ABCABCABC；（5）ABC；（6）ABCABCABCABC。1－2解：（1）AìB；（2）AéB；（3）AìBC；（4）Aé(BUC)。1－3解：1＋1＝2点，，6＋6＝12点，共11种；样本空间的样本点数：n＝6×6＝12，和为2，A={1,1}，nA=1，P(A)=nA=1，n36和为6，A={1,5;2,4;3,3;4,2;5,1，nA=5，P(A)=nA=5，}n36和为(2＋12)/2=7，A={1,6;2,5;3,4;4,3;5,2;6,1}，nA=6，P(A)=nA=6=1,n366和为8，A={2,6;3,5;4,4;5,3;6,2}，nA=5，P(A)=nA=5，n36和为12，A={6,6}，nA=1，P(A)=nA=1，n36∴出现7点的概率最大。1－4解：只有n＝133种取法，设事件A为取到3张不同样的牌，则nAA133，nA=A13313创1211132；（2）P(A)=1-P(A)=37。（1）P(A)=3=3=169169n13131－5解：（1）P(ABC)=P(A)-P(AB)-P(AC)+P(ABC)=0.45-0.10-0.08+0.03=0.30（2）P(ABC)=P(AB)-P(ABC)=0.10-0.03=0.07（3）∵ABC,ABC,ABC为互不相容事件，参照（1）有P(ABCUABCUABC)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=P(A)-P(AB)-P(AC)+P(ABC)+P(B)-P(AB)-P(BC)+P(ABC)+P(C)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)-2[P(AB)+P(BC)+P(AC)]+3P(ABC)=0.45+0.35+0.30-2(0.10+0.08+0.05)+0.09=0.73（4）∵ABC,ABC,ABC为互不相容事件，参照（2）有P(ABCUABCUABC)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)P(AB)+P(AC)+P(BC)-3P(ABC)0.10+0.08+0.05-3?0.030.14（5）P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+3P(ABC)=0.45+0.35+0.30-0.10-0.08-0.05+3?0.030.90（6）P(AUBUC)=1-P(AUBUC)=1-0.90=0.10。1－6解：设A1,A2,A3为（1）、（2）、（3）的事件，由题意知（1）P(A1)=C521；（）C421；（）C41′C511=2=33=C1012C1020C1061－7解：5卷书任意排列的方法有n＝5！种，设事件Ai={第i卷书放在两边}，i=1,2,3,4,5。（1）A1={第1卷书放在两边}，nA1=4!+4!，P(A1)=2′4!=2；5!5（2）P(A1A5)=2!′3!=1；5!10（3）P(A1UA5)=P(A1)+P(A5)-P(A1A5)=2?21=7；51010（4）P(A1UA5)=P(A1A5)=1-P(A1A5)=1-1=9。10101－8解：这是一个几何概率问题，设折断点为x,y，（x<y）。由题意及三角形的特点知：（1）折断点在棍内：0<x<y<L；（2）折成三段后，每段小于棍的一半：x<1L,y-x<1L,L-y<1L；222（3）任两段之和大于棍的一半：11L,L-y+x>1y>L,L-x>L；222整理条件：ì<x<y<L???1?L?y>?2??1íL?x<??2???1?x<L?y-?2?mA1L21所包含的地域如图，故=8。P(A)=m12=4L21－9解：设A={AA},B={Aa},C={aa}。(1)P(A)=200=4,P(B)=600=12,P(C)=50=1200+600+5017200+600+5017200+600+5017(2)P(AUC)=P(A)+P(C)-P(AC)=41-5+0=1717171－10解：设A＝{活到20岁}；B＝{活到25岁}，P(A)=0.8,P(B)=0.4显然A?B,ABAIB=B，由题意得P(AB)P(B)=0.5P(B|A)==P(A)P(A)1－11解：设Ai＝{第i次取到次品}，i=1,2,3。由题意得908910P(A1A2A3)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A2A1)=创=0.825610099981－12解：设Ai＝{第i人译出密码}，i=1,2,3。由题意得423P(A1UA2UA3)=1-P(A1UA2UA3)=1-P(A1)P(A2)P(A3)=1-创3=0.6541－13解：设

Ai＝{第i道工序的合格品

}（

i=1,2,3,4

），且

A1,A2,

A3,A4相互独立。由题意得P(A1A2A3A4)=P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)=[1-P(A1)][1-P(A2)][1-P(A3)][1-P(A4)](1-0.005)(1-0.002)(1-0.001)(1-0.008)0.9841－14解：这是贝努里概型：()kpk(1p)n-k,(k=0,1,,)，由题意Pnk=Cn-LnPn(k?1)1-Pn(k=0)=1-(1-p)n侈0.95(1-p)n＾0.05n?991－15解：设A1、A2、A3分别为从甲袋取到1个红、白、黑球，设B1、B2、B3分别为从乙袋取到1个红、白、黑球，由题意知P(A1B1UA2B2UA3B3)=P(A1B1)+P(A2B2)+P(A3B3)=P(A1)P(B1)+P(A2)P(B2)+P(A3)P(B3)76310159=?25??0.331225252525251－16解：设A1,A2,A3分别表示产品由甲、乙、丙车间生产，B表示为正品。A1,A2,A3构成一个齐全事件组，且有P(A1)=0.5,P(A2)=0.3,P(A3)=0.2；P(B/A1)=9/10,P(B/A2)=14/15,P(B/A3)=19/20。（1）由全概率公式P(B)=?P(A)P(B/A)=0.5?90.3?140.2?190.92ii101520（2）由贝叶斯公式P(A1/B)=P(A1)P(B/A1)=0.5′0.9=45P(B)0.92921－17解：设Ai＝{第一次取到i个新球}，（i＝0，1，2，3）；B＝{第二次取到3个新球}。则A0，A1，A2，A3构成齐全事件组，其中C3,P(A1)=C1C2C2C1,P(A3)=C3P(A0)=393,P(A2)=939C123C123C123C123由全概率公式33312321333P(B)=?P(Ak)P(B/Ak)=C3?C9C9C3?C8C9C3?C7C9?C633333333k=0C12C12C12C12C12C12C12C12=1?8427?56108?3584?207056=0.146220220220220220220220220220′220由贝叶斯公式P(A3/B)=P(A3)P(B/A3)=1680220′220=0.238P(B)7056220′2201－18解：设A1,A2分别表示甲、乙击中目标，由题意知A1,A2相互独立。（）P(A1A2)=P(A1)P(A2)=0.8?0.90.721（）P(A1A2UA1A2)=P(A1A2)+P(A1A2)2=P(A1)P(A2)+P(A1)P(A2（）P(A1A2)=1-P(A1A2)=1-P(A1)P(A23（）P(A1A2)=P(A1)P(A2)=0.2?0.10.0241－19P(AB)P(B)0.85解：与1－10题近似。P(B|A)====0.9239P(A)P(A)0.921－20解法1：设Ai＝{3000小时未坏}，（i＝1，2，3），A1，A2，A3相互独立，所以(1)P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)=0.83=0.512(2)P(A1A2A3UA1A2A3UA1A2A3)=3P(A1)P(A2)P(A3)=3创0.820.2=0.384(3)P(A1A2A3UA1A2A3UA1A2A3UA1A2A3)=0.512+0.384=0.896解法2：这是n重贝努里概型，P(k)=Ckpk-p)n-k，n＝3，p＝nn(1(1)Pn(k=3)=Cnkpk(1-p)n-k=C33(0.8)3(1-0.8)3-3=0.512(2)Pn(k=2)=Cnkpk(1-p)n-k=C32(0.8)2(1-0.8)3-2=0.384(3)Pn(k?2)Pn(k=2)+Pn(k=3)=0.512+0.384=0.8961－21解：这是贝努里概型，( )kpk(1)n-k，n＝12，p＝7Pnk=Cn-p12事件设A＝{≥9台同时使用}P(A)=?Pn(k)?0.4925k=91－22解：（1）为贝努里概型，设Ai＝{第i个人的血型为O型}，（i＝1，2，3，4，5），则恰有2人血型为O型的概率为Pn(k=2)=Cnkpk(1-p)n-k=C52p2(1-p)5-2=10创0.462(1-0.46)5-2=0.33332）设Bi＝{第i个人的血型为A型}，（i＝1，2，3，4，5），因P(A1A2A3B4B5)=P(A1)P(A2)P(A3)P(B4)P(B5)=0.463?0.402而5人中有3人为O型、2人为A型的排列有C5310种，故所求概率为P=C530.463?0.4020.1557（3）设Ci＝{第i个人的血型为AB型}，（i＝1，2，3，4，5），则没有AB型的概率为P(C1UC2UC3UC4UC5)=P(C1C2C3C4C5)=P(C1)P(C2)P(C3)P(C4)P(C5)51－23*解：设Ai＝{第i次摸到黑球}，（i＝1，2，，a+b），由题意知k=1P(A1)=a,P(A1)=ba+ba+bk=2P(A2)=P((A1UA1)A2)=P(A1A2)+P(A1A2)=P(A1)P(A2/A1)+P(A1)P(A2/A1)=a?a-1b?aaa+ba+b-1a+ba+b-1a+bk=3P(A3)=P(A2A3)+P(A2A3)=P(A1A2A3)+P(A1A2A3)+P(A1A2A3)+P(A1A2A3)P(A1)P(A2/A1)P(A3/A1A2)+P(A1)P(A2/A1)P(A3/A1A2)P(A1)P(A2/A1)P(A3/A1A2)+P(A1)P(A2/A1)P(A3/A1A2)=a创a-1a-2+b创aa-1a+ba+b-1a+b-2a+ba+b-1a+b-2+a创ba-1+b创b-1a=aa+ba+b-1a+b-2a+ba+b-1a+b-2a+b依此类推可得a,(1＃ka+b)P(Ak)=a+b1－24*解：设Ai＝{第i次按对号码}，（i＝1，2，3），所求概率为P(A1UA1A2UA1A2A3)=P(A1)+P(A1A2)+P(A1A2A3)=P(A1)+P(A1)P(A2)+P(A1)P(A2)P(A3)=1+9?19创81=3若已知最后一位数为偶数，则其概率为P(A1UA1A2UA1A2A3)=P(A1)+P(A1A2)+P(A1A2A3)=P(A1)+P(A1)P(A2)+P(A1)P(A2)P(A3)=1+4?14创31=355454351－25*解：设A＝{从甲袋中取一白球}，B＝{从乙袋中取一白球}，由已知得P(A)=

NM+N

,

P(A)=

MM+N由全概率公式得P(B)=P(AB)+P(AB)=P(A)P(B/A)+P(A)P(B/A)=

Nn+1Mn??M+Nm+n+1M+Nm+n+1Mn+N(n+1)=(M+N)(m+n+1)1－26*证明：∵P(B)=P(AB)+P(AB)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)=P(B|A)P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B)故由定义知，A,B相互独立。1－27*解：设Ai＝{甲在第i次射中}，Bi＝{乙在第i次射中}，由已知，P(Ai)=p1,P(Bi)=p2。甲射中的概率为P(A1UA1B1A2UA1B1A2B2A3UL)=P(A1)+P(A1)P(B1)P(A2)+P(A1)P(B1)P(A2)P(B2)P(A3)+L￥p1=?p1(1-p1)k(1-p2)k=k=01-(1-p1)(1-p2)同理，乙射中的概率为P(A1B1UA1B1A2B2UL)=P(A1)P(B1)+P(A1)P(B1)P(A2)P(B2)+L￥p2(1-p1)=?(1-p1)p2(1-p1)k(1-p2)k=k=01-(1-p1)(1-p2)1－28*解：Ai＝{甲在第i次投中}，Bi＝{乙在第i次投中}，（i＝1，2，3），由已知P(Ai)=p1=0.7,P(Bi)=p2=0.6。甲、乙投中都是贝努里概型甲：P3(k)=C3kp1k(1-p1)3-k(k=0,1,2,3)；乙：P3(m)=C3mp1