初中数学 教案：4.4 两个相似三角形的判定 省赛一等奖

两个相似三角形的判定（2）教学目标知识与技能目标：（1）理解相似三角形的概念，能正确地找出相似三角形的对应边和对应边角．（2）掌握相似三角形判定定理．过程与方法目标：通过探索相似三角形判定定理的“预备定理”的过程，培养学生的动手操作能力，观察、分析、猜想和归纳能力，渗透类比、转化的数学思想方法．利用相似三角形的判定定理的“预备定理”进行有关判断及计算，训练学生的灵活运用能力，提高表达能力和逻辑推理能力．情感与态度目标：（1）通过实物演示和电化教学手段，把抽象问题直观化，激发学生学习的求知欲．（2）通过主动探究、合作交流，在学习活动中体验获得成功的喜悦．[教学重点]相似三角形判定定理的预备定理的探索[教学难点]相似三角形判定定理的预备定理的有关证明[教学方法]探究合作法[教学媒体]直尺、三角板、多媒体[教学过程]一、复习导入1．什么是相似图形？2．什么叫做相似三角形？如图1，△ABC与△A’B’C’相似.图1记作“△ABC∽△A’B’C’”，读作“△ABC相似于△A’B’C’”．[注意]：两个三角形相似，用字母表示时，与全等一样，应把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样便于找出相似三角形的对应边和对应边角．对于△ABC∽△A’B’C’,根据相似形的定义,应有∠A＝∠A’，∠B＝∠B’,∠C＝∠C’,＝＝.[问题]：将△ABC与△A’B’C’相似比记为k1,△A’B’C’与△ABC相似比记为k2,那么k1与k2有什么关系?k1＝k2能成立吗?二、探索交流（一）在△ABC中，D为AB的中点，如图2，过D点作DB∥BC交AC于点E，那么△ADE与△ABC相似吗？（1）“角”∠BAC＝∠DAE．∵DB∥BC,∴∠ADE＝∠B,∠AED＝∠C．“边”要证明对应边的比相等，有哪些方法？图2Ⅰ.直接运用三角形中位线定理及其逆定理∵DB∥BC，D为AB的中点，∴E为AC的中点，即DE是△ABC的中位线．（三角形中位线定理的逆定理）∴DE＝BC．（三角形中位线定理）∴＝＝＝．∴△ADE∽△ABC．Ⅱ.利用全等三角形和平行四边形知识过点D作DF∥AC交BC于点F，如图3．则△ADE≌△ABC,（ASA）且四边形DFCE为平行四边形.（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）∴DE＝BF＝FC.∴＝＝＝．图3∴△ADE∽△ABC．2．当D1、D2为AB的三等分点，如图4．过点D1、D2分别作BC的平行线，交AC于点E1、E2，那么△AD1E1、△AD2E2与△ABC相似吗？由（1）知△AD1E1∽△AD2E2，下面只要证明△AD1E1与△ABC相似，关键是证对应边的比相等．过点D1、D2分别作AC的平行线，交BC于点F1、F2，设D1F1与D2F2相交于G点．则△AD1E1≌△D1D2G≌D2BF2,（ASA）图4且四边形D1F1CE1、D2F2CE2、D1GE2E1、D2F2F1G为平行四边形.（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）∴D1E1＝BF2＝F2F1＝F1C，∴AE1＝E1E2＝E2C，∴＝＝＝．∴△AD1E1∽△ABC．∴△AD1E1∽△AD2E2∽△ABC．图5[思考]：上述证明过程较复杂，有较简单的证明方法吗？过点D2分别作AC的平行线，交BC于点F2，如图5．则四边形D2F2CE2为平行四边形，且△AD1E1≌D2BF2,（ASA）∴D2E2＝F2C，D1E1＝BF2．由（1）知，D1E1＝D2E2，AE1＝AE2，∴D1E1＝BC，AE1＝AC．∴＝＝＝．∴△AD1E1∽△ABC．∴△AD1E1∽△AD2E2∽△ABC．（二）［猜想］3．通过上面两个特例，可以猜测：当D为AB上任一点时，如图6，过D点作DE∥BC交AC于点E，都有△ADE与△ABC．（三）［归纳］定理平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，截得的三角形与原三角形相似．这个定理可以证明，这里从略．四、应用迁移练习1.如图7，点D在△ABC的边AB上，DB∥BC交AC于点E．图7图8写出所有可能成立的比例式．图8练习2、在第1题中，如果＝，AC＝8cm．求AE长．五、布置作业（1）课本（2）思考题：如图8、过△ABC的边AB上任意一点D，作DE∥BC交AC于点E，那么＝．相似三