电磁场也电磁波课件之恒定磁场分析

电磁场也电磁波课件之恒定磁场分析第1页，共32页，2023年，2月20日，星期一•

分界面上的折射定律例分析铁磁媒质与空气分界面上磁场的折射情况。解：当两种媒质均匀、各向同性，且分界面无自由电流线密度只要铁磁物质侧的不与分界面平行，则在空气侧的可认为近似与分界面垂直。第2页，共32页，2023年，2月20日，星期一解：例试判断能否表示为一个恒定磁场？可以表示为恒定磁场不可以表示恒定磁场第3页，共32页，2023年，2月20日，星期一解：例设平面是两种媒质的分界面。在处媒质的磁导率为；在处，媒质的磁导率为。设已知分界面上无面电流，且安/米，求，和。第4页，共32页，2023年，2月20日，星期一3.矢量磁位（Magneticvectorpotential）已知矢量磁位与磁感应强度的关系为矢量磁位与电位不同，它没有任何物理意义，仅是一个计算辅助量。当电流分布未知时，必须利用边界条件求解恒定电磁场的方程。为此，需要导出矢量磁位应该满足的微分方程。已知，那么单位：T/m（特斯拉/米）求得可见，矢量磁位满足矢量泊松方程。在无源区中，，则上式变为下述矢量拉普拉斯方程

第5页，共32页，2023年，2月20日，星期一在直角坐标系中，泊松方程及拉普拉斯方程均可分解为三个坐标分量的标量方程。磁矢量泊松方程的解为为常矢量第6页，共32页，2023年，2月20日，星期一同理磁矢位的边界条件第7页，共32页，2023年，2月20日，星期一利用矢量磁位计算磁通十分简便。磁通计算已知磁通表达式为，那么再利用斯托克斯定理，得第8页，共32页，2023年，2月20日，星期一例

求小圆环电流矢量磁位和磁场。解设半径为a，电流为I。取圆柱坐标系，环平面位于xy

平面内，环心为坐标原点。由对称性，场与无关，取P点为场点。yzxa'第9页，共32页，2023年，2月20日，星期一根据，求得考虑到小电流环的磁矩代入磁矢位公式，得第10页，共32页，2023年，2月20日，星期一4.标量磁位因此，无源区中磁感应强度可以表示为一个标量场的梯度，令

因，由上式得

在无源区中，因，得。可见，无源区中磁感应强度

是无旋的。式中标量m

称为标量磁位。可见，标量磁位满足拉普拉斯方程。这样，根据边界条件，求解标量磁位满足的拉普拉斯方程，可得标量磁位，然后即可求出磁感应强度。注意，标量磁位的应用仅限于无源区。标量磁位的边界条件第11页，共32页，2023年，2月20日，星期一基本方程

边界条件

矢量磁位泊松方程无源区，拉普拉斯方程

方程的解边界条件标量磁位边界条件恒定磁场第12页，共32页，2023年，2月20日，星期一与回路电流I交链的磁通称为回路电流I的磁通链，以

表示，令与I的比值为L，即5.电感

在线性媒质中，单个闭合回路电流产生的磁感应强度与回路电流

I成正比，因此穿过回路的磁通也与回路电流

I成正比。式中L

称为回路的电感，单位为H（亨利）。由该定义可见，电感又可理解为与单位电流交链的磁通链。单个回路的电感仅与回路的形状、尺寸及周围媒质有关，与回路中电流无关。注意，磁通链与磁通不同，磁通链是指与某电流交链的磁通。自感电感有自感与互感之分，通过磁链来定义它们。第13页，共32页，2023年，2月20日，星期一设若交链N次，则磁通链增加N倍；若部分交链，则必须给予适当的折扣。因此，与N匝回路电流I交链的磁通链为=N。那么，由N

匝回路组成的线圈的电感为自感计算的一般步骤：外自感内自感第14页，共32页，2023年，2月20日，星期一设例设传输线的长度为，试求图示两线传输线的自感。解：总自感内自感解法一总自感为解法二设第15页，共32页，2023年，2月20日，星期一与回路电流I1交链的磁通链是由两部分磁通形成的，其一是I1本身产生的磁通形成的磁通链11，另一是电流I2在回路l1中产生的磁通形成的磁通链12。那么，与电流I1交链的磁通链1为互感0zyxI2I1同理，与回路电流I2交链的磁通链为在线性媒质中，比值，，及均为常数。令式中L11称为回路l1的自感，M12称为回路l2对l1的互感。第16页，共32页，2023年，2月20日，星期一同理定义式中L22称为回路l2的自感，M21称为回路l1对l2的互感。将上述参数L11，L22，M12及M21代入前式，得可以证明，在线性均匀媒质中

因为可以导出任意两个回路之间的互感公式为

考虑到，所以由上两式可见，第17页，共32页，2023年，2月20日，星期一若

与处处保持垂直，则互感。因此，在电子电路中，如果需要增强两个线圈之间的耦合，应彼此平行放置；若要避免两个线圈相互耦合，则应相互垂直。

互感可正可负，其值正负取决于两个线圈的电流方向，但电感始终应为正值。若处处保持平行，则互感M值达到最大。若互磁通与原磁通方向相同时，则使磁通链增加，互感应为正值；反之，若互磁通与原磁通方向相反时，则使磁通链减少，互感为负值。讨论：第18页，共32页，2023年，2月20日，星期一例计算无限长直导线与矩形线圈之间的互感。设线圈与导线平行，周围媒质为真空，如图示。abdrrD0I1I2zS2解建立圆柱坐标系，令z

轴方向与电流I1一致，则I1产生的磁感应强度为与线圈电流I2

交链的磁通链21为若线框电流如图所示的顺时针方向，则与方向相同。那么求得若线圈电流为逆时针方向时，则

与反向，M21为负。但在任何线性媒质中，M21=M12。第19页，共32页，2023年，2月20日，星期一第一步，维持为零，使由零增大到；第二步，维持不变，使由零增大到。6.磁场的能量

若在回路中加入外源，回路中产生电流。在电流建立过程中，回路中产生的反磁通企图阻碍电流增长，为了克服反磁通产生反电动势，外源必须作功。由此可见，磁场具有能量。若电流变化非常缓慢，可以不计辐射损失，则外源输出的能量全部储藏在回路电流周围的磁场中。根据外源在建立磁场过程中作的功即可计算磁场能量。两个电流回路真空中两个回路与,它们的电流分别为与。设开始时电流为零，最终电流分别为与。第20页，共32页，2023年，2月20日，星期一维持电流不变，使在时间内增加，则两回路的磁链分别有增量和，在该两回路中分别的感应电动势和。使电流由零增大到，外源所作之功为在回路中也必须加电压（）以维持为零。因此要使在时间内改变，必须在回路中加电压（）。有增量时，周围的磁场有所改变，和两回路的磁链就分别有增量和，在该两回路中分别的感应电动势和。在时间内，外源需作功在时间内，两个回路所需之功分别为第21页，共32页，2023年，2月20日，星期一使不变，并使电流由零增大到，外源需作的总功为建立整个回路系统需作之功为即两个电流回路系统储存的磁场能量改写对于N个电流回路，磁场能量为若已知各个回路的电流及磁通链，由上式即可计算这些回路共同产生的磁场能量。

第22页，共32页，2023年，2月20日，星期一回路磁通可用矢量磁位

表示为，因此第j个回路的磁通链也可用矢量磁位

表示为寻找磁场能量与场量之间的关系那么，N个回路周围的磁场能量又可矢量磁位表示为式中

为周围回路电流在第j个回路所在处产生的合成矢量磁位。若电流体分布，磁场能量表示为若电流面分布，则磁场能量为第23页，共32页，2023年，2月20日，星期一7.磁场能量的分布密度已知，代入上式，得若将积分区域扩大到无限远处，上式仍然成立。上式第二项为零。式中V

为电流所在的区域。求得式中V

为磁场所占据的整个空间。可见，上式中的被积函数即是磁场能量的分布密度。磁场能量密度为单位第24页，共32页，2023年，2月20日，星期一例计算同轴线中单位长度内的磁场能量。设同轴线中通过的恒定电流为I

，内导体的半径为a，外导体的厚度可以忽略，其半径为b，内外导体之间为真空。解［法一］已知同轴线单位长度内的电感为因此，单位长度内同轴线中磁场能量为［法二］我们也可以通过磁场密度计算同轴线的磁场能量。已知内导体中的磁场强度为

baOc第25页，共32页，2023年，2月20日，星期一因此内导体中单位长度内的磁场能量为又知内外导体之间的磁场强度Ho为所以内外导体之间单位长度内的磁场能量为单位长度内同轴线的磁场能量应为，此结果与前式完全相同。通过磁场能量也可计算电感。第26页，共32页，2023年，2月20日，星期一8.磁场力

安培力式中因此，

对于整个回路l2的作用力那么，由回路电流I1产生的磁场对于电流元的作用力为0zyxI2I1同理，回路电流I2产生的磁场

对于整个回路l1的作用力上述两式称为安培定律。第27页，共32页，2023年，2月20日，星期一两个回路中的外源作的总功dW应该等于磁场广义力作的功与磁场能量的增量之和，即

设在电流I1产生的磁场广义力的作用下，使得回路l2的某一广义坐标变化的增量为

，同时磁场能量的增量为dWm。下面分为两种情况：

⑴若电流I1和I2不变，这种情况称为常电流系统，则磁场能量的增量为两个回路中外源作的功分别为

为了计算磁场力，类似计算电场力一样，也可采用虚位移方法，利用能量关系可以获得计算磁场力的简便方式。直接利用前述广义力和广义坐标的概念，导出计算磁场力的一般公式。第28页，共32页，2023年，2月20日，星期一由此可见，两个回路中的外源作的总功dW为求得常电流系统中的广义力为即

⑵若各回路中的磁通链不变，即磁通未变，这种情况称为常磁通系统。由于各个回路的磁通未变，因此，各个回路位移过程中不会产生新的电动势，因而外源作的功为零，即那么，求得常磁通系统中广义力为注意，广义力的方向规定为广义坐标的增加方向。第29页，共32页，2023年，2月20日，星期一磁场力的应用比电场力更为广泛，而且力量更强。例如，电磁铁、磁悬浮轴承以及磁悬浮列车等，都是利用磁