电磁场基本方程

电磁场基本方程第1页，共89页，2023年，2月20日，星期一21785年库仑定律的提出，电磁场定理分析的开始1831年法拉第发现了电磁感应现象，导致发电机的发明和人类电气时代的到来.1864年麦克斯韦创立了普遍的电磁场方程组—麦克斯韦方程组，它是宏观电磁现象的基本规律，是本书学习的核心.本章将在复习“大学物理”电磁学部分的基础上，导出麦氏方程组，然后讨论它的边界条件、电磁场的能量关系和惟一性定理.这些是本课程其它章节的共同基础。第2页，共89页，2023年，2月20日，星期一32.1静态电磁场的基本定律和基本场矢量2.2法拉第电磁感应定律和全电流定律2.3Maxwell方程组2.4电磁场的边界条件2.5坡印廷定理和坡印廷矢量2.6惟一性定理第3页，共89页，2023年，2月20日，星期一2.1静态电磁场的基本规律和基本场矢量静电场：由静止电荷产生的电场重要特征：对位于电场中的电荷有电场力作用；电场强度矢量:描述电场分布的基本物理量，反映电场的强弱

？空间某点的电场强度定义为置于该点的单位点电荷（又称试验电荷）受到的作用力，即？源点第4页，共89页，2023年，2月20日，星期一5如果电荷是连续分布呢？对于N个电荷所组成的系统，在空间任一点所产生的电场强度为：单位：V/m（伏/米）或N/C（牛/库）qq1q2q3q4q5q6q7第5页，共89页，2023年，2月20日，星期一6体密度为的体分布电荷产生的电场强度小体积元中的电荷产生的电场面密度为的面分布电荷的电场强度线密度为的线分布电荷的电场强度第6页，共89页，2023年，2月20日，星期一72.1.2高斯定理1.静电场的通量和散度从而，作任意闭曲面S包围S0，穿过S0的电力线也必定全部穿过S，即穿过任意闭曲面通量的有效值相当于在球面上的投影，上式推广为点电荷产生的电场强度，穿过以点电荷为球心半径为r的球面S0，其电通量为多少？

第7页，共89页，2023年，2月20日，星期一S内含电荷体密度为时，得S内含N个点电荷时，得8表明，空间任意一点电场强度的散度与该处的电荷密度有关，静电荷是静电场的通量源。利用散度定理

导出：高斯定理积分形式高斯定理微分形式表明，电场强度矢量穿过闭合曲面S的通量等于该闭合曲面所包围的总电荷与之比。高斯定理微分形式第8页，共89页，2023年，2月20日，星期一以上讨论的是真空媒质的情形。对一般媒质，我们引入描述电场的另一基本量-电通（量）密度，又称为电位移矢量。定义：（C/m2）介电常数，也称为电容率。真空中，Ɛ=Ɛ0高斯定理积分形式高斯定理微分形式第9页，共89页，2023年，2月20日，星期一10电场为无旋场，即保守场2.静电场的旋度第10页，共89页，2023年，2月20日，星期一112.静电场的旋度

表明在静电场中，沿任意闭合路径C的积分恒等于0。其物理意义是将单位正电荷沿静电场中的任一个闭合路径移动一周，电场力不做功。利用斯托克斯定理

导出：静电场的基本性质（1）静电场是由通量源、不是由旋涡源产生的场；（2）静电场是有源无旋场。第11页，共89页，2023年，2月20日，星期一12

例2.1

求真空中均匀带电球体的电场强度和电通密度分布。已知球体半径为a，电荷密度为0。

解：应用高斯定理，取半径为r的同心球面为高斯面（r>a和r<a两种情况）（2）求球体内一点的场强,r<aar0rrEa（1）球外某点的场强，r>a第12页，共89页，2023年，2月20日，星期一13

例2.2

求真空中带电导体的电场强度和电通密度分布。已知球体半径为a，带电导体电量为Q

。解题中注意以下几点：必须明确“导体的电荷分布于导体表面，孤立球的电荷均匀分布于球的表面”，由此可求出电荷面密度；面元ds的选取及面积分积分顺序选取的技巧；一般球外场点的电场与位于球心的点电荷的电场相同，球内场强恒为零（静电屏蔽）。静电屏蔽：导体的外壳对它的内部起到了“保护”作用，使它的内部不受外部电场的影响第13页，共89页，2023年，2月20日，星期一14[解]a)介质层中的电场都沿径向，垂直于内外导体表面，其大小沿圆周方向是轴对称的。应用高斯定理，取半径长1的同轴圆柱为高斯面。作为封闭面，还应加上前后圆盘底面，但是它们与相平行，因而没有通量穿过，不必考虑。例2.3如图所示，同轴线的内外导体半径分别为a和b。在内外导体间加电压U，则内导体通过的电流为I，外导体返回的电流为-I。a)设内外导体上单位长度的带电量分别为，求内外导体间的；b)用电压U来表示，则=？其最大值=？c)若给定b=1.8cm，应如何选择a以使用同轴线承受的耐压最大？图

同轴线得于是第14页，共89页，2023年，2月20日，星期一15故同轴线内最大电场强度EM发生于内导体表面处：c)EM最大值发生于得故b)第15页，共89页，2023年，2月20日，星期一16

当电场分布具有一定对称性的情况下，可以利用高斯定理计算电场强度。

总结：利用高斯定理计算电场强度具有以下几种对称性的场可用高斯定理求解：

球对称分布：包括均匀带电的球面，球体和多层同心球壳等。均匀带电球体带电球壳多层同心球壳第16页，共89页，2023年，2月20日，星期一17

无限大平面电荷：如无限大的均匀带电平面、平板等。

轴对称分布：如无限长均匀带电的直线，圆柱面，圆柱壳等。(a)(b)第17页，共89页，2023年，2月20日，星期一18（3）E相等的面不构成闭合面时，另选法线方向垂直于E的面，使其成为闭合面。（1）分析电场是否具有对称性。（2）取合适的高斯面(封闭面)，即取在E相等的曲面上。（4）分别求出，从而求得及。第18页，共89页，2023年，2月20日，星期一192.1.3

电流密度，电荷守恒定律说明：电流通常是时间的函数，不随时间变化的电流称为恒定电流，用I表示。形成电流的条件：

存在可以自由移动的电荷存在电场单位:A（安培）,标量电流方向:正电荷的流动方向电流——电荷的定向运动而形成，用i表示，其大小定义为：单位时间内通过某一横截面S的电荷量，即第19页，共89页，2023年，2月20日，星期一20方向：所在点上正电荷流动方向大小：垂直于该方向的单位面积上，单位时间内通过的电荷量单位：A/m2一般情况下，在空间不同的点，电流的大小和方向往往是不同的。电流描述的是某一界面上电荷流动的总情况，但不能描述界面上任意点处电荷流动的总情况。在电磁理论中，常用体电流密度、面电流密度和线电流密度来描述截面处任意点处电荷的流动情况。

1.体电流密度

流过任意曲面S的电流为体电流密度矢量正电荷运动的方向第20页，共89页，2023年，2月20日，星期一

电荷在一个厚度可以忽略的薄层内定向运动所形成的电流称为面电流，引入面电流密度矢量，其大小为单位时间内垂直通过单位宽度的电荷量212.面电流密度单位：A/m。线电流密度：电荷在一个横截面积可以忽略的细线中做定向流动所形成的电流，可认为电流是集中在细导线的轴线上。

电流元：长度元dl中流过电流I，将Idl称为电流元。面电流密度矢量4.简单导电媒质中，任意点的体电流密度与该点的电场强度的本构关系：电导率，单位是西门子/米(S/m)欧姆定律微分形式第21页，共89页，2023年，2月20日，星期一222.1.3.

电荷守恒定律（电流连续性方程）电荷守恒定律:电荷既不能被创造，也不能被消灭，只能从物体的一部分转移到另一部分，或者从一个物体转移到另一个物体。电荷守恒定律是电磁现象中的基本定律之一。电流连续性方程：若在体电流密度所分布的空间内取一封闭面s，它包围的体积v，则通过s面对总电流为它是单位时间内流出s面的电荷量，应等于体积v内每单位时间所减少的电荷量积分形式电流连续性方程微分形式第22页，共89页，2023年，2月20日，星期一23设定闭合面S所限定的体积V不随时间变化，则将积分形式中的全导数写成偏导数又因为S为任意取的闭合曲面，则其所包围的体积V也是任意的。故：根据散度定理：电流连续性方程的微分形式第23页，共89页，2023年，2月20日，星期一24恒定电流是无源场，电流线是连续的闭合曲线，既无起点也无终点恒定电流的电流连续性方程这表明从任意闭合面传出的恒定电流为0，或恒定电流是一个无散度的场。第24页，共89页，2023年，2月20日，星期一251.

安培力定律:电流相互作用力公式实验表明，真空中的载流回路C1对载流回路C2的作用力，载流回路C2对载流回路C1的作用满足牛顿第三定律力2.1.4安培力定律磁感应强度(磁通密度)

根据安培力定律，有其中电流I1在电流元

处产生的磁感应强度2、磁感应强度(磁通密度)：电流在其周围空间中产生磁场，描述磁场分布的基本物理量，单位为T（特斯拉）

第25页，共89页，2023年，2月20日，星期一26任意电流回路C产生的磁场感应强度电流元产生的磁场感应强度体电流产生的磁场感应强度面电流产生的磁场感应强度第26页，共89页，2023年，2月20日，星期一27

例2.4

长为2l的直导线上流过电流I，求真空中P点的磁通密度。载流直导线任一点P的磁通密度为

解：采用柱坐标，电流元到P点的距离矢量是若z=0，则对无限长直导线，l趋近无穷大3/2第27页，共89页，2023年，2月20日，星期一28而场点P的位置矢量为

，故得

例2.5

计算线电流圆环轴线上任一点的磁感应强度。载流圆环轴线上任一点P(0,0,z)的磁感应强度为

解：设圆环的半径为a，流过的电流为I。为计算方便取线电流圆环位于xy平面上，则所求场点为P(0,0,z),如图所示。采用圆柱坐标系，圆环上的电流元为，其位置矢量为第28页，共89页，2023年，2月20日，星期一29可见，线电流圆环轴线上的磁感应强度只有轴向分量，这是因为圆环上各对称点处的电流元在场点P产生的磁场强度的径向分量相互抵消。当场点P远离圆环，即z>>a时，因，故

在圆环的中心点上，z=0，磁感应强度最大，即由于，所以第29页，共89页，2023年，2月20日，星期一301.

恒定磁场的通量和散度无线长载流直导线产生的磁场，穿过以坐标原点为心的球面S0，其磁通量为多少？上式可推广到任意分布电流产生的磁场，穿过任意闭曲面S的通量也满足第30页，共89页，2023年，2月20日，星期一31上式看出，自由空间中磁感应强度穿过任意闭曲面的磁通量为零，磁力线是无头无尾的闭曲线。恒定磁场的磁通量形式为高斯定理积分形式。利用散度定理，导出上式看出自由空间中某点的恒定磁场无散度源。恒定磁场的散度的形式为高斯定理微分形式。高斯定理微分形式第31页，共89页，2023年，2月20日，星期一上式可推广于任意分布电流的磁场沿环绕电流的任意闭曲线Cl积分，其环量322.

恒定磁场的环量和旋度对于无限长的载流直导线，沿着以坐标原点为心的圆周线Cl积分，则其环量是多少？对应的微分形式第32页，共89页，2023年，2月20日，星期一33利用斯托克斯定理导出看出恒定磁场是有旋场，稳恒电流是恒定磁场的旋涡源。恒定磁场的基本性质（1）恒定磁场不是由通量源，而是由旋涡源产生的；（2）恒定磁场是无源有旋场。第33页，共89页，2023年，2月20日，星期一34为了不考虑媒质的磁导率μ，引入磁场强度，安培环路定律磁场强度沿着闭合路径的线积分等于该路径所包围的电流I磁场存在漩涡源第34页，共89页，2023年，2月20日，星期一静电场和静磁场小结：高斯定理表明：静电场是有源场，电场线起始于正电荷，终止于负电荷。1.静电场散度与高斯定理环路定理表明：静电场是无旋场，是保守场，电场力做功与路径关。2.静电场旋度与环路定理3.

恒定磁场的散度与磁通连续性原理磁通连续性原理表明：恒定磁场是无源场，磁场线是无起点和终点的闭合曲线。安培环路定理表明：恒定磁场是有旋场，是非保守场、电流是场的旋涡源。4.恒定磁场的旋度与安培环路定理第35页，共89页，2023年，2月20日，星期一2.2电磁感应定律和全电流定律362.2.1电磁感应定律

自从1820年奥斯特发现电流的磁效应之后，人们开始研究相反的问题，即磁场能否产生电流。

1881年法拉第发现，当穿过导体回路的磁通量发生变化时，回路中就会出现感应电流和电动势，且感应电动势与磁通量的变化有密切关系，由此总结出了著明的法拉第电磁感应定律。

电磁感应定律——揭示时变磁场产生电场

位移电流——揭示时变电场产生磁场

重要结论：在时变情况下，电场与磁场相互激励，形成统一的电磁场。第36页，共89页，2023年，2月20日，星期一37负号表示感应电流产生的磁场总是阻止磁通量的变化。1.

法拉第电磁感应定律的表述

设任意导体回路C围成的曲面为S，其单位法向矢量为，则穿过回路的磁通为

当通过导体回路所围面积的磁通量发生变化时，回路中产生的感应电动势in的大小等于磁通量的时间变化率的负值，方向是要阻止回路中磁通量的改变，即第37页，共89页，2023年，2月20日，星期一38

导体回路中有感应电流，表明回路中存在感应电场，回路中的感应电动势可表示为

感应电场是由变化的磁场所激发的电场；感应电场是有旋场；

感应电场不仅存在于导体回路中，也存在于导体回路之外的空间；对空间中的任意回路（不一定是导体回路）C，都有因而有

对感应电场的讨论：第38页，共89页，2023年，2月20日，星期一39相应的微分形式为(1)

回路不变，磁场随时间变化这就是推广的法拉第电磁感应定律。2.

引起回路中磁通变化的几种情况：磁通量的变化由磁场随时间变化引起，因此有

若空间同时存在由电荷产生的电场,则总电场应为与之和，即。由于，故有第39页，共89页，2023年，2月20日，星期一40称为动生电动势，这就是发电机工作原理。(2)

导体回路在恒定磁场中运动(3)

回路在时变磁场中运动第40页，共89页，2023年，2月20日，星期一41

（1），矩形回路静止；xbaoyx均匀磁场中的矩形环L

（3），且矩形回路上的可滑动导体L以匀速运动。

解：(1)均匀磁场

随时间作简谐变化，而回路静止，因而回路内的感应电动势是由磁场变化产生的，故

例2.6长为a、宽为b的矩形环中有均匀磁场

垂直穿过，如图所示。在以下三种情况下，求矩形环内的感应电动势。

（2），矩形回路的宽边b为

常数，但其长边因可滑动导体L以匀速运动而随时间增大；第41页，共89页，2023年，2月20日，星期一42(3)矩形回路中的感应电动势是由磁场变化以及可滑动导体L在磁场中运动产生的，故得(2)均匀磁场

为恒定磁场，而回路上的可滑动导体以匀速运动，因而回路内的感应电动势全部是由导体L在磁场中运动产生的，故得或第42页，共89页，2023年，2月20日，星期一43

（1）线圈静止时的感应电动势；

解:（1）线圈静止时，感应电动势是由时变磁场引起，故

（2）线圈以角速度ω

绕x轴旋转时的感应电动势。

例2.7在时变磁场中，放置有一个的矩形线圈。初始时刻，线圈平面的法向单位矢量与成α角，如图所示。试求：xyzabB时变磁场中的矩形线圈第43页，共89页，2023年，2月20日，星期一44

（2）线圈绕x轴旋转时，的指向将随时间变化。线圈内的感应电动势可以用两种方法计算。

利用式计算

假定时，则在时刻t时，与y轴的夹角，故第44页，共89页，2023年，2月20日，星期一452.2.2位移电流和全电流定律

静态情况下的电场基本方程在非静态时发生了变化，即

这不仅是方程形式的变化，而是一个本质的变化，其中包含了重要的物理事实，即时变磁场可以激发电场

。恒定磁场安培环路定理：

在时变情况下，安培环路定理是否要发生变化？有什么变化？随时间变化的磁场要产生电场，那么随时间变化的电场是否会产生磁场？时变场：第45页，共89页，2023年，2月20日，星期一461.全电流定律时变情况下，由电流连续性方程有

发生矛盾

解决办法：对安培环路定理进行修正由将修正为：矛盾解决时变电场会激发磁场静态场：因此，可得，在时变的情况下不适用第46页，共89页，2023年，2月20日，星期一47全电流定律：——

微分形式——

积分形式法拉第电磁感应定律揭示了时变磁场产生电场；位移电流的假说，对安培环路定理进行了修正，揭示了时变电场产生磁场。从而，全电流定律揭示不仅传导电流激发磁场，变化的电场也可以激发磁场。它与变化的磁场激发电场形成自然界的一个对偶关系。第47页，共89页，2023年，2月20日，星期一482.位移电流密度电位移矢量随时间的变化率，能像电流一样产生磁场，故称“位移电流”。注：在绝缘介质中，无传导电流，但有位移电流；在理想导体中，无位移电流，但有传导电流；在一般介质中，既有传导电流，又有位移电流。位移电流只表示电场的变化率，与传导电流不同，它不产生热效应。位移电流的引入是建立麦克斯韦方程组的至关重要的一步，它揭示了时变电场产生磁场这一重要的物理概念。第48页，共89页，2023年，2月20日，星期一493.全电流连续性原理全电流：传导电流密度运流电流密度位移电流密度又全电流连续性原理物理含义：穿过任一封闭面的各类电流之和恒为零。第49页，共89页，2023年，2月20日，星期一50例2.8已知平板电容器的面积为,相距为d,介质的介电常数，极板间电压为U。试推导电容器的电流与电压的关系。平板电容器[解]忽略极板的边缘效应和感应电场电场位移电流密度位移电流二平板间位移电流等于传导电流第50页，共89页，2023年，2月20日，星期一2.3麦克斯韦方程组51麦克斯韦方程组——宏观电磁现象所遵循的基本规律，是电磁场的基本方程

麦克斯韦方程组的微分形式:积分形式

空间任意点场地变化规大范围场与场源的关系2.3.1麦克斯韦方程组的积分形式和微分形式第51页，共89页，2023年，2月20日，星期一52麦克斯韦第一方程，表明传导电流和变化的电场都能产生磁场麦克斯韦第二方程，表明变化的磁场产生电场麦克斯韦第三方程表明磁场是无源场，磁力线总是闭合曲线麦克斯韦第四方程，表明电荷产生电场全电流定律：电流和时变电场都将激发磁场；法拉第定律：时变磁场将激发电场；磁通连续性原理：穿过任一封闭面的磁通量恒等于零；高斯定理：穿过任一封闭面的电通量等于该面所包围的自由电荷电量。第52页，共89页，2023年，2月20日，星期一53麦克斯韦方程组中的四个方程并不都是独立的。两个散度方程可以由两个旋度方程导出。？由于t=0时，由于t=0时，第53页，共89页，2023年，2月20日，星期一电流连续性方程都可以由Maxwell方程导出54证明：对两边取散度因此，不必把电流连续性方程列入Maxwell方程组为什么不必把电流连续性方程列入Maxwell方程组？第54页，共89页，2023年，2月20日，星期一55麦克斯韦方程组时变场静态场缓变场迅变场电磁场(EM)准静电场(EQS)准静磁场(MQS)静磁场(MS)小结：麦克斯韦方程适用范围：一切宏观电磁现象静电场(ES)恒定电场(SS)第55页，共89页，2023年，2月20日，星期一静态场电磁场量一般是空间坐标和时间的函数。特殊情况下，它们不随时间变化，因此Maxwell方程组中对时间求导数项为0，故得：56静态电场方程静电场仅由电荷产生静态磁场方程静磁场仅由电流产生静态情况下，电流连续性原理为：第56页，共89页，2023年，2月20日，星期一57式中的k为常数。试求：位移电流密度和电场强度。

例

2.9在无源自由空间的磁场强度为

解自由空间的传导电流密度为0，故由式,得第57页，共89页，2023年，2月20日，星期一582.3.2媒质的本构关系

代入麦克斯韦方程组中，有：限定形式的麦克斯韦方程,适用于特定的媒质（均匀媒质）各向同性线性媒质的本构关系为第58页，共89页，2023年，2月20日，星期一59时变电场的激发源除了电荷以外，还有变化的磁场；而时变磁场的激发源除了传导电流以外，还有变化的电场。电场和磁场互为激发源，相互激发。时变电磁场的电场和磁场不再相互独立，而是相互关联，构成一个整体——

电磁场。电场和磁场分别是电磁场的两个分量。在离开辐射源（如天线）的无源空间中，电荷密度和电流密度矢量为零，电场和磁场仍然可以相互激发，从而在空间形成电磁振荡并传播，这就是电磁波。第59页，共89页，2023年，2月20日，星期一60在无源空间中，两个旋度方程分别为

可以看到两个方程的右边相差一个负号，而正是这个负号使得电场和磁场构成一个相互激励又相互制约的关系。当磁场减小时，电场的漩涡源为正，电场将增大；而当电场增大时，使磁场增大，磁场增大反过来又使电场减小。第60页，共89页，2023年，2月20日，星期一以无源区()为例:再将代入上式，并考虑无源情况，得到电场的齐次波动方程同理可得对两端取旋度:方程的解是一种电磁波动，其传播速度是媒质中的光速。如何利用Maxwell方程组写出电磁波矢量波动方程？第61页，共89页，2023年，2月20日，星期一62有源区：场强与场源的关系复杂，一般不直接求解上述方程，而是引入位函数来求解和.可见，第62页，共89页，2023年，2月20日，星期一632.3.3电磁场的位函数目的：将非齐次波动方程的求解化为较简单的位函数的求解，在求出位函数后便可容易地得出场量和。a)矢量位函数

从电磁场基本方程组出发,图由场源求场的两种方法b)标量位函数这样，我们就将

和用矢量和标量表示

或第63页，共89页，2023年，2月20日，星期一64由位函数的非齐次波动方程洛仑兹规范（条件）定义的散度:因此，非齐次波动方程若场不随时间变化若场不随时间变化第64页，共89页，2023年，2月20日，星期一[解]根据麦氏方程式（a’）有例2.10试用麦克斯韦方程组导出图2.3-5所示的RLC串联电路的电压方程（电路全长远小于波长）。将回路电压分段表示，得，（例2.2-2得：）图2.3-5RLC串联电路第65页，共89页，2023年，2月20日，星期一66设外加电场为则有因为回路中的杂散磁通可略，从而得——

基尔霍夫电压定律

采用复数表示（设角频率为)：可见，电路理论的基本方程不过是场方程的一种特殊化。第66页，共89页，2023年，2月20日，星期一67例2.11利用电流连续性方程和麦氏方程组证明导电媒质内部

[证]

电流连续性方程

将简单媒质中麦氏方程代入上式，得

因有其解为

第67页，共89页，2023年，2月20日，星期一2.4电磁场的边界条件68

什么是电磁场的边界条件?

为什么要研究边界条件?媒质1媒质2

如何讨论边界条件?

实际电磁场问题都是在一定的物理空间内发生的，该空间中可能是由多种不同媒质组成的。边界条件就是不同媒质的分界面上的电磁场矢量满足的关系，是在不同媒质分界面上电磁场的基本属性。物理：由于在分界面两侧介质的特性参数发生突变，场在界面两侧也发生突变。麦克斯韦方程组的微分形式在分界面两侧失去意义，必须采用边界条件。数学：麦克斯韦方程组是微分方程组，其解是不确定的，边界条件起定解的作用。

麦克斯韦方程组的积分形式在不同媒质的分界面上仍然适用，由此可导出电磁场矢量在不同媒质分界面上的边界条件。第68页，共89页，2023年，2月20日，星期一692.4.1

边界条件一般表达式媒质1媒质2

分界面上的电荷面密度

分界面上的电流面密度第69页，共89页，2023年，2月20日，星期一

在介质分界面两侧，选取如图所示的小环路，Δl紧贴边界，Δh→0为一高阶微量，小回路所包围的面积也是高阶微量，由70（1）电磁场量的切向边界条件

边界条件的推证

媒质1媒质2adcbΔs→0小回路中包围电流第70页，共89页，2023年，2月20日，星期一71或同理得媒质1媒质2adcb故得或联立上面两等式，可得的切向分量不连续，其差等于面电流密度；否则，的切向分量是连续的。任何分界面上的切向分量是连续的。第71页，共89页，2023年，2月20日，星期一72（2）电磁场量的法向边界条件令Δh→0，则由媒质1媒质2PS即同理，由

在两种媒质的交界面上任取一点P，作一个包围点P的扁平圆柱曲面S，如图表示。或或任何分界面上的法向分量是连续的。在分界面上有面电荷（理想导体表面上）时，的法向分量不连续，其差等于面电荷密度；否则，的法向分量是连续的。第72页，共89页，2023年，2月20日，星期一73两种理想介质分界面上的边界条件2.4.2

两种常见的情况

在两种理想介质()分界面上，通常没有电荷和电流分布，即JS＝0、ρS＝0，故

的法向分量连续

的法向分量连续

的切向分量连续

的切向分量连续媒质1媒质2

的法向分量连续媒质1媒质2

的切向分量连续第73页，共89页，2023年，2月20日，星期一742.理想导体表面上的边界条件

理想导体表面上的边界条件设媒质2为理想导体，则E2、D2、H2、B2均为零，故

理想导体：电导率为无限大()的导电媒质

特征：电磁场不可能进入理想导体内理想导体理想导体表面上的电荷密度等于的法向分量理想导体表面上的法向分量为0理想导体表面上的切向分量为0理想导体表面上的电流密度等于的切向分量在导体表面处，介质中的电场只有法向分量而磁场只有切向分量。“电立不躺，磁躺不立”第74页，共89页，2023年，2月20日，星期一例2.12一空心的长直长铜管通过电流I，铜管的内外半径分别为a和b，（1）求各区磁场强度，磁场强度的旋度及磁感应强度的散度；（2）验证边界上的边界条件。解：ab(1)(2)第75页，共89页，2023年，2月20日，星期一第76页，共89页，2023年，2月20日，星期一77(3)可见，各分界面两侧切向Ht分量都连续。同时，因法向Bn处处为0，故法向Bn分量也都是连续的。验证边界条件第77页，共89页，2023年，2月20日，星期一图

同轴线横截面[解]圆柱坐标系下直流导体中通过的电流密度是均匀的。外导体（a）内导体区域:

应用Maxwell方程组的方程：

内导体的电流密度大小：例2.13同轴线通过直流电流I，内外导体上电流大小相等，方向相反。求各区域中的磁场和其旋度，并验证各分界面处的边界条件。第78页，共89页，2023年，2月20日，星期一79图

同轴线横截面

第79页，共89页，2023年，2月20日，星期一80所以各分界面处的切向磁场分量连续另外，法向分量Bn，即处处为0，因此它也是连续的。下面验证边界条件：第80页，共89页，2023年，2月20日，星期一

•

电磁场是具有能量的。时变电磁场中的能量守恒定律的表达形式——坡印廷定理；•

坡印廷矢量是描述电磁场能量流动的物理量。2.5坡印廷定理和坡印廷矢量

表征电磁能量守恒关系的定理（坡印廷定理）积分形式：微分形式：一般媒质的坡印廷定理：简单媒质的坡印廷定理：第81页，共89页，2023年，2月20日，星期一82——热损耗功率密度，单位(S/m)(V2/m2)=W/m3)

其中：——电场能量密度，单位(F/m)(V2/m2)=J/m3)——磁场能量密度，单位(H/m)(A2/m2)=J/m