电磁场与电磁波课件第一章

电磁场与电磁波课件第一章第1页，共45页，2023年，2月20日，星期一NanjingUniversityofInformationScience&Technology主要内容梯度、散度、旋度、亥姆霍兹定理1.1矢量的代数运算一.矢量与矢量表示1.物理量的分类物理量与位置无关：时间、长度、质量……与位置有关（场量）标量场（只有大小）：温度、湿度、电位……矢量场（大小+方向）：速度、电场、磁场……第2页，共45页，2023年，2月20日，星期一NanjingUniversityofInformationScience&Technology单位矢量：模等于1的矢量。与矢量同方向的单位矢量表示为：2.矢量与单位矢量任一个矢量可以用其模（代表大小）和单位矢量（代表矢量方向）来表示：3.矢量表示法三维空间中，矢量可表示为一根有方向的线段。线段的长度代表矢量的模，线段的方向代表矢量的方向。第3页，共45页，2023年，2月20日，星期一NanjingUniversityofInformationScience&Technology直角坐标系下矢量表示：大小：方向（单位矢量）：4.位置矢量和距离矢量位置矢量（矢径）：从原点指向空间某一点的矢量。距离矢量——从空间某一点（源点）指向另一点（场点）的矢量大小：方向(单位矢量)：第4页，共45页，2023年，2月20日，星期一NanjingUniversityofInformationScience&Technology二．矢量的代数运算：用公式(代数方法)和图形(几何方法)1.矢量相等判定能使用两种方法判定矢量是否相等吗？第5页，共45页，2023年，2月20日，星期一NanjingUniversityofInformationScience&Technology几何方法：让两个矢量平移至它们的始点重合，此时，若它们的终点也重合，则表明它们是相等的。即。代学方法：若两矢量的对应分量相等，则。例如：在直角坐标系中，若，则。

第6页，共45页，2023年，2月20日，星期一NanjingUniversityofInformationScience&Technology2.矢量与标量的乘积几何方法：为实数，放大，缩小，方向不变，方向相反。代学方法：（标量与矢量的各个分量相乘），即

3.矢量的加减

第7页，共45页，2023年，2月20日，星期一NanjingUniversityofInformationScience&Technology第8页，共45页，2023年，2月20日，星期一NanjingUniversityofInformationScience&Technology第9页，共45页，2023年，2月20日，星期一NanjingUniversityofInformationScience&Technology

4.矢量的标量积与矢量积

第10页，共45页，2023年，2月20日，星期一NanjingUniversityofInformationScience&Technology1.2标量场的方向导数与梯度一.标量场的方向导数

场：空间中的每一个点都对应着某个物理量的一个确定值，称为该空间中定义了这个物理量的场或者函数

标量场：描述场的物理量是标量的场

矢量场：描述场的物理量是矢量的场

静态场：描述场的物理量不随时间变化的场

时变场：描述场的物理量随时间变化的场1.标量场和矢量场第11页，共45页，2023年，2月20日，星期一NanjingUniversityofInformationScience&Technology2.标量场的等值面和方向导数

等值面:由描述标量场的物理量数值相同的点构成的曲面。即场函数，它表示一空间曲面

等值面特点:互不相交第12页，共45页，2023年，2月20日，星期一NanjingUniversityofInformationScience&Technology例如标量场

在

点沿

方向上的方向导数定义为方向导数:标量场在某点的方向导数表示标量场自该点沿某一方向上的变化率。

式中，为点处沿方向的方向余弦，即单位向量在坐标轴上的投影。则第13页，共45页，2023年，2月20日，星期一NanjingUniversityofInformationScience&Technology二.标量场的梯度因点是场中任意点，则可略去上述方向导数中的下标，则第14页，共45页，2023年，2月20日，星期一NanjingUniversityofInformationScience&Technology矢量的特点：1）垂直于考察点处的等值面的切平面；

2）总是指向函数增大的方向，也就是曲面正法线方向；

3）大小反映场值变化快慢。第15页，共45页，2023年，2月20日，星期一NanjingUniversityofInformationScience&Technology梯度:标量场在某点最大方向导数、连同相应的方向称为标量场在该点的梯度。显然，梯度是一个矢量。在直角坐标系中，标量场

的梯度可表示为式中grad

是英文字母

gradient的缩写。引入哈密顿算子的矢量符号，在直角坐标系中可表示为则梯度可表示为第16页，共45页，2023年，2月20日，星期一NanjingUniversityofInformationScience&Technology基本公式为常数第17页，共45页，2023年，2月20日，星期一NanjingUniversityofInformationScience&Technology例：设和分别表示空间点P(x,y,z)和点P′(x′,y′,z′)的矢经，R表示这两点之间的距离。试证明（1）（2）式中，分别表示对坐标变量(x,y,z)和(x′,y′,z′)的哈密顿算子第18页，共45页，2023年，2月20日，星期一NanjingUniversityofInformationScience&Technology1.3矢量场的通量与散度

通量线：在场中画一些曲线，曲线上的每一点的切线方向代表该点矢量场方向，而横向的通量线密度代表该点矢量场大小。一.矢量场的通量

通量：矢量场穿过曲面的通量线的总数。用公式表示如下式中，矢量面积元，而为的法向单位矢。第19页，共45页，2023年，2月20日，星期一NanjingUniversityofInformationScience&Technology说明：1）通量可以为正数、负数或零，此处，正、负仅仅反映通量线从那一侧穿过曲面；

2）对非闭合曲面，其法线方向需事先规定；对闭合曲面，其法向一般规定由闭合曲面内部指向外部，相应积分为

3）通量反映(净)源发出[或(净)沟吸收]通量线的情况，相应场矢量可称为通量密度。第20页，共45页，2023年，2月20日，星期一NanjingUniversityofInformationScience&Technology二.矢量场散度散度：当闭合面

S

向某点无限收缩时，矢量

通过该闭合面S的通量与该闭合面包围的体积之比的极限称为矢量场

在该点的散度，以

div

表示，即式中div

是英文字母

divergence的缩写，

V为闭合面

S包围的体积。上式表明，散度是一个标量，它可理解为通过包围单位体积闭合面的通量。第21页，共45页，2023年，2月20日，星期一NanjingUniversityofInformationScience&Technology可以证明，在直角坐标系中散度可表示为结合前面的哈密顿算子，则有式中，为在直角坐标系中的三个分量，即第22页，共45页，2023年，2月20日，星期一NanjingUniversityofInformationScience&Technology基本公式第23页，共45页，2023年，2月20日，星期一NanjingUniversityofInformationScience&Technology例：设R表示空间点P(x,y,z)和点P′(x′y′z′)之间的距离，试求：第24页，共45页，2023年，2月20日，星期一NanjingUniversityofInformationScience&Technology1.4矢量场的环量与旋度环量：矢量场

沿一条有向曲线

的线积分称为矢量场

沿该曲线的环量，以

表示，即一.矢量场的环量说明：1）环量是一个标量，可以为正数、负数或零，此处，正、负反映矢量场在闭合曲线上的环绕方向；2）环量大小反映矢量场沿闭合曲线的分布强度情况。准确地，反映围线上的场矢量与围线所围场源间的关系（如稳恒磁场中，有）。

可见，环量可以用来描述漩涡场矢量与旋涡源的总体关系。第25页，共45页，2023年，2月20日，星期一NanjingUniversityofInformationScience&Technology

旋度引入分析：如图，为曲线所围面积，其法线方向与围线的环绕方向成右手螺旋关系。二.矢量场旋度描述上旋涡源与围线上旋涡场的总体关系描述上旋涡源与围线上旋涡场的平均关系旋涡描述点在方向上，旋涡源与旋涡场的关系。或称矢量场在点沿方向的环量密度可见，要准确描述场中任意点的旋涡源与旋涡场间的关系，这个量应该是一个既有大小又有方向的量，即它是一个矢量。第26页，共45页，2023年，2月20日，星期一NanjingUniversityofInformationScience&Technology旋度：已给矢量场，若在空间某给定点处存在这样一个矢量，它的大小等于该点最大的环流密度，它的方向为取得最大环流密度的那块小面积的法线方向，则这个矢量称为矢量在点的旋度(rotation或curl)，记为(或记为)。旋度公式推导思路：在直角坐标系中，分别求出场点处沿轴方向、轴方向和轴方向的环流密度，然后由这三个分量构成的矢量就是所要求的场点处的旋度。经详细数学推导，可得综上，场点在方向的环流密度是旋度矢量在该方向上的投影，即第27页，共45页，2023年，2月20日，星期一NanjingUniversityofInformationScience&Technology容易证明，旋度也可用哈密顿算子表示，于是有（按第一行展开）第28页，共45页，2023年，2月20日，星期一NanjingUniversityofInformationScience&Technology基本公式第29页，共45页，2023年，2月20日，星期一NanjingUniversityofInformationScience&Technology例：试证明（C为常矢量，r为矢经）。证明第30页，共45页，2023年，2月20日，星期一NanjingUniversityofInformationScience&Technology梯度：描述了空间各点标量位的最大变化率及其方向

一个标量函数的梯度是一个矢量函数三.梯度、散度、旋度的比较有源场：存在通量源的场有旋场：存在旋涡源的场散度：描述了空间各点场矢量与通量源之间的关系

一个矢量函数的散度是一个标量函数旋度：描述了空间各点场矢量与旋涡源之间的关系

一个矢量函数的旋度是一个矢量函数一个非零的矢量场不可能既是无源场又是无旋场第31页，共45页，2023年，2月20日，星期一NanjingUniversityofInformationScience&Technology1.5

矢量的恒等式和基本定理三个重要的恒等式任何一个标量函数的梯度的旋度必等于零。由此可见，任何一个梯度场必然为无旋场，而任何一个无旋场也必为有位场。任何一个矢量函数的旋度的散度必等于零。由此可见，旋度场必为无源场，而任何一个无源场必为有旋场。称为拉普拉斯算子。第32页，共45页，2023年，2月20日，星期一NanjingUniversityofInformationScience&Technology高斯定理：矢量场穿过空间任一闭合曲面的通量等于该矢量的散度在曲面所包围体积内的体积分。即

从数学角度看，高斯定理建立了面积分和体积分的关系；从物理角度看，高斯定理建立了区域

V中的源和包围区域

V

的闭合面

S上的场之间的关系。因此，如果已知区域

V中的源，在一些特殊情况下，可求出边界

S上的场；反之，由场可求出源。第33页，共45页，2023年，2月20日，星期一NanjingUniversityofInformationScience&Technology斯托克斯定理：矢量场沿空间任一闭合曲线的环量等于该矢量场的旋度穿过以作为边界曲线的任一开放曲面的通量。即

同高斯定理类似，从数学角度看，斯托克斯定理建立了线积分和面积分的关系；从物理角度看，斯托克斯定理建立了区域

S中的源和包围区域

S

的闭合曲线

l上的场之间的关系。因此，如果已知区域

S中的源，在特殊条件下，可求出边界

l上的场；反之，由场可求出源。第34页，共45页，2023年，2月20日，星期一NanjingUniversityofInformationScience&Technology格林定理

设任意两个标量场

及，若在区域V

中具有连续的二阶偏导数，如下图示。

那么，可以证明该两个标量场

及

满足下列等式式中S

为包围V的闭合曲面，为标量场

在S表面的外法线en

方向上的偏导数。SV,根据方向导数与梯度的关系，上式又可写成上两式称为格林第一定理。第35页，共45页，2023年，2月20日，星期一NanjingUniversityofInformationScience&Technology基于上式还可获得下列两式：上两式称为标量第二格林定理。格林定理，说明区域

V中的场与边界

S上的场之间的关系。因此，利用格林定理可以将区域中场的求解问题转变为边界上场的求解问题。第36页，共45页，2023年，2月20日，星期一NanjingUniversityofInformationScience&Technology矢量场的唯一性定理：位于某一区域中的矢量场，当其散度、旋度以及边界上场量的切向分量（或法向分量）给定后，则该区域中的矢量场被唯一地确定。

已知散度和旋度代表产生矢量场的源，可见唯一性定理表明，矢量场被其源及边界条件共同决定的。第37页，共45页，2023年，2月20日，星期一NanjingUniversityofInformationScience&Technology亥姆霍兹定理：空间有限区域内的任一矢量场均可以表示为一个无源场(即或)和一个无旋场(即或)之和，即式中这里，和分别表示源点和场点的坐标，是区域的边界闭合曲面，第38页，共45页，2023年，2月20日，星期一NanjingUniversityofInformationScience&Technology亥姆霍兹定理(特例情况，即场区，源区有限)：式中可见，在无限大空间中，只要知道矢量场的散度和旋度，就能将空间中的这个矢量场定量地确定下来。第39页，共45页，2023年，2月20日，星期一NanjingUniversityofInformationScience&Technology1.6正交曲面坐标系

zxyz=z

0x=x

0y=y

0P0O

一.三种常用的正交坐标系

1.直角坐标