根据张宇高数视频总结的考研数学知识点

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y(xy)ln(1)xdxdy,计算二重积分I1xyD其中D(x,y)|xy1,x0,y0.

区域D的图形知，可用极坐标计算该二重积分。解法1:由

xrcos2令,其中0r1,.022yrsinxxcos22rcossinr由于J(r,)2yysin2rsincosr2rsincosrsin2.

rln(1tan)原式=2J(r,)drd001r12

rln(1tan)2rsin2drd001r12

2ln(1tan)sin2d20

1

0

rdr.1r

于是分别只需计算

20

ln(1tan)sin2d和2

1

0

rdr即可.1r

2

20

ln(1tan)sin2d2

2

20

1lnsincosd2cos202

2lncossincosd

2ln(1sin)sind(sin)2012

令tsin

=2ln(1t)tdt20

1

00

令x1t2ln(1t)d(1t)220110

lnxdxxlnx|xd(lnx)1

10xdx1.0x1

r令t1rdr01r则r1t2,dr2tdt0(1t2)22tdt1t1

2

2(t2t1)dt420115232(ttt)|0538162.1515

1

1616综上所述，原式=1=.1515

解法2:首先由于x与y具有轮换对称性，故有xy(xy)ln(1)(xy)ln(1)yxdxdyI=1xydydx1xyDDxy(xy)ln(1)(xy)ln(1)yxdxdy2I1xydxdy1xyDDyx(xy)[ln(1)ln(1)]xydxdy1xyD

(xy)(xy)lnxydxdy1xyD2

(xy)ln(xy)(xy)lnx2dxdy2dxdy1xy1xyDD于是I=dx0令xyu视x为常数11x011x(xy)ln(xy)xydylnxdx001xy1xy1111ulnuudulnxdxdu0x1u1u

得I=dx0

x

变换积分次序，得：1uulnuuIdudxdulnxdx00001u1u21ulnu1uududulnxdx0001u1u21ulnu1udu(ulnuu)du001u1u21u16du.0151u1u

x6一道不定积分的解答：2(x1)2dx解：将被积函数分子x6(x2)3用泰勒公式在x21处展开，得x613(x21)3(x21)2(x21)3x13于是2=223(x21)(x1)2(x1)

2(x1)132故原式=223(x1)dx2(x1)(x1)133x11x2xln2dx232x1(x1)6

1对于不定积分2dx作一次变换，2(x1)x12t22令t,则x1,x1,dxdt2x11t1t(1t)11(x21)2dx(x1)2(x1)2dx1t21t22()()dt22t2(1t)11t2()dt8t

112(21)dt8tt11(2lntt)C8t1x1x1x1(2ln)C8x1x1x1x1x1lnC22(1x)4x1135x1x故原式=x2xln+C.234x12(1x)

与之类似的一道不定积分的题目x求不定积分2dx2(x1)解：令tx21,则dtd(x21)2xdx.1x1(t1)2故原式=2d(x1)dt222(x1)2t637

1t33t23t1131dt(t32)dt22t2tt12331ttlntC4222t12323122(x1)(x1)lnx1C.24222(x1)

同理可知，不定积分

x51x2

dx的求解过程

与之类似，令t1x2,则t21x2.d(1x2)2xdx2tdt.1x4则原式=d(1x2)21x21(1t2)22tdt(1t2)2dt2t(t42t21)dt1523tttC5353112(1x2)2(1x2)2(1x2)2C.53

有理函数不定积分求法之换元法：1nn特别地，形如R(x)dx,均可以通过令tx化为x11R(t)dt,其中R(xn)是某个有理函数。tn71x7例计算dx时只需令tx即可化为7x(1x)11tt(1t)dt.7

计算有理函数的不定积分时，要充分利用换元法，

具有某些特点的三角函数的不定积分的简便算法

1.假使R(sinx,cosx)是关于cosx的奇函数，cos3xcos3x例求不定积分dx,由于R(sinx,cosx)=是sinxsinx关于cosx的奇函数，则可设tsinx求解.(在解题时不一定要“设〞,但是要懂得“凑〞微分即可)

即R(sinx,cosx)R(sinx,cosx),那么可设tsinx.

2.假使R(sinx,cosx)是关于sinx的奇函数,即R(sinx,cosx)R(sinx,cosx),那么可设tcosx.cotxsin4xcotxsin4x例求不定积分dx,由于R(sinx,cosx)=是33cosxcosx关于sinx的奇函数，则可设tcosx求解.

3.假使R(sinx,cosx)既是关于sinx的偶函数,又是关于cosx的偶函数，即R(sinx,cosx)R(sinx,cosx),那么可设ttanx.sin2x+1sin2x+1例求不定积分dx,由于R(sinx,cosx)=既是44cosxcosx关于sinx

的偶函数，又是关于cosx的偶函数，则可设ttanx求解.

4.被积函数是