信号与系统第二版课后答案

《信号与系统》

（第二版）

课后习题解析

高等教育出版社

目录

第1章习题解析.....................................................2

第2章习题解析.....................................................5

第3章习题解析....................................................15

第4章习题解析....................................................22

第5章习题解析....................................................30

第6章习题解析....................................................40

第7章习题解析....................................................48

第8章习题解析....................................................54

第1章习题解析

1-1题1-1图示信号中，哪些是连续信号？哪些是离散信号？哪些是周期信号？哪些是

非周期信号？哪些是有始信号？

解(a)、(c)、(d)为连续信号；(b)为离散信号；(d)为周期信号；其余为非周期信号；(a)、

(b)、(c)为有始(因果)信号。

1-2给定题1-2图示信号7(/),试画出下列信号的波形。［提示：_/(2/)表示将人/)波形

压缩，/(；)表示将/")波形展宽。］

(a)2/(-2)/⑺

(b)/(2/)

(c)./(j)>------------

(d)/(T+l)。2，

题1-2图

解以上各函数的波形如图pl-2所示。

270-2)

/(y0/(T+l)

(b)(c)(d)

图pl-21-3如图1-3图示，R、L、C元件可以看成以电流为输入，电压为响应的简单线性系

统SR、SL、SC，试写出各系统响应电压与激励电流函数关系的表达式。

SR

UR

——

L

S肛

iL

T

Sc

ic

题1-3图

解各系统响应与输入的关系可分别表示为

以(/)=△&(/)；"/)=£勺，；=⑺dr

1-4如题1-4图示系统由加法器、积分器和放大量为-a的放大器三个子系统组成，系统属于

何种联接形式？试写出该系统的微分方程。

题1-4图

解系统为反馈联接形式

且y(t)=卜⑺由，x(t)=y'(t)

故有_/(/)=/(/)-皿/)

即y\t)+ay(t)=/⑺

1-5已知某系统的输入/")与输出y(f)的关系为y(f)=|./(/)|,试判定该系统是否为线性时

不变系统？

解设T为系统的运算子，则可以表示为：y(t)=T[f(t)]=\f(t)\

不失一般性，设4/)=力(/)+/(/),则

丁"⑷=|<(。|=必”)；7比⑺]=|力(。|=%⑺

故有T"⑻=|〃r)+〃f)|=Mf)

显然区(。+一(。卜伉(。|+|加。|

即不满足可加性，故为非线性时不变系统。

1-6判断下列方程所表示的系统的性质。

(1)助=誓+1/«)打(2)y\t)+yV)+3y(t)=fV)

(3)20^X0+y(t)=3/(0(4)[y'(t^+y(t)=f(t)

解(1)线性；(2)线性时不变；(3)线性时变；(4)非线性时不变。

1-7试证明方程了(/)+期(/)=/(/)所描述的系统为线性系统。式中。为常量。

证明不失一般性，设输入有两个分量，且/(/)-»%(/),力

则有X(7)+ayx(/)=工(/)同⑺+砂2⑺=力⑺

相加得y[(Z)+ay1⑺+父(/)+卬2⑺=<⑺+力⑺

即

7-bi+«bi。)+必(川=/(，)+力。)

d/

可见，⑺+力⑺-乂⑺+%(/)

即满足可加性，齐次性是显然的。故系统为线性的。

1-8若有线性时不变系统的方程为_/(/)+皎=/(。

若在非零/(/)作用下其响应X/)=l-e-S试求方程

/(/)+叩(/)=+的响应。

解因为；(/)-ya)=l-e-'，由线性关系，则2/(/)r2_y(/)=2(l-eT)

由线性系统的微分特性，有/⑺-了")=葭

故响应2/(。+f'(t)ty(t)=2(l-e-/)+e-,=2-e-/

第2章习题解析

解由图示，有

LRAt

又

(=g](%-"c)山

故

；("s-〃c)=%+C曜

LK

从而得

曜⑺+白外⑷+不必⑺=}%(')

2-2设有二阶系统方程

/(/)+年(/)+4刈=0

在某起始状态下的o+起始值为

幽)=1,以0+)=2

试求零输入响应。

解由特征方程

A2+42+4=0

i"导为=丸2=-2

则零输入响应形式为

yzi(f)=(A+A2t)e

由于

%i(0+)=4=1

-2A]+4=2

所以

工2=4

故有

2,

yzi(f)=(l+4t)e-,t>0

2-3设有如下函数/(/),试分别画出它们的波形。

(a)寅/)=2&f-1)-2q"2)

(b),/(/)=sinm|X/)-£(/-6)]

解(a)和(b)的波形如图p2-3所示。

(a)(b)

图p2-3

2-4试用阶跃函数的组合表示题2-4图所示信号。

(b)

题2-4图

解(a)</)=£(/)-2&/-1)+&/-2)

(b)力)=。)+2&-7)+3&-27)

2-5试计算下列结果。

(1)砥-1)

(2)［份(7一1)由

(3)£cos®/-g)6(7)d/

(4)£e-3,J(-/)d/

解(1)旗/—1)=次/—1)

(2)］份(7—1)山=£^(r-l)d/=1

(3)£cos(H-；)S(7)d/=£cos(-;)S(/)d/=g

(4)je-3a(T)d/=f*efb(/)d/==1

2-6设有题2-6图示信号人/),对(a)写出((/)的表达式，对(b)写出/〃(/)的表达式,

并分别画出它们的波形。

题2-6图

解(a)

［0</<2

2

no=1/2)，(=2

、—2次/—4),Z=4

(b)/〃(/)=2次/)—2次/—1)—2次-3)+2次r—4)

"3f'v)

(2)

2

"0

(a)(b)

图p2-6

2-7如题2-7图一阶系统，对(a)求冲激响应z•和“L，对(b)求冲激响应“c和左，并画出

它们的波形。

+

ic

+

①

(b)

题2-7图

解由图(a)有

i•

L^=us(t)-Ri

即

更+£•=")

d/LLs

当〃s(7)=贫/)，则冲激响应

1-勺

/?(/)=z(Z)=—e[.£«)

则电压冲激响应

dzR--I

/Z(/)=L(Z)=A—=^>(/)--eL•£(/)

Wd/L

对于图(b)RC电路，有方程

Cd〃c=j_"

"dT"

即

1

u，,-\---1u—_—-

crRCrCCS

当为=及£)时，则

1--

%(7)="c«)=麻-£(/)

同时，电流

i=C/=S«)-£(z)

cd/RC

2-8设有一阶系统方程

%)+3刈=/«)+/(/)

试求其冲激响应〃(t)和阶跃响应5(/)0

解因方程的特征根丸=-3,故有

当力(。=口工)时,则冲激响应

财=再⑺*[&⑴+即)]=3⑴-2e』.£(/)

阶跃响应

3/

5(/)=p(r)dr=1(l+2e-)40

2-9试求下列卷积。

(a)a，+3)*&z-5)

(b)打)*2

(c)忙工&f)*8(1)

解(a)按定义

改7+3)*4，-5)=1E{T+S)c(t-T-5)dr

考虑到一3时，a7+3)=0；7>/一5时，t-T-5)=0,故

&/+3)*6(，-5)=]dr=/-2,t>2

也可以利用迟延性质计算该卷积。因为

力(7-4)*力(I-tl)=A，f一，2)

故对本题，有

ar+3)*ar—5)=(7+3—5)a/+3—5)=(r—2)&/—2)

两种方法结果一致。

(b)由次/)的特点，故

次/)*2=2

(c)t)*b'(7)=[Ze-,£(/)]'=(e~'-teT'Mt)

2-10对图示信号，求力(Q*力(/)。

f2(t)

2

1

0102

f2s

(i)(1)(1)

i

1n_L-202

2°T

(b)

题2-10图

解(a)先借用阶跃信号表示力(/)和启/)，即

力⑺=24/)-24f-1)

力(/)=£(/)一W)

故

力(/)*/")=)]*[&/)-£(-2)]

因为

8，）*&，）=jldr=t£（t）

故有

yi（t）*/（/）=2/£（Z）—2（/—1）f（/—1）—2（/—2）£（/—2）+2（/—3）£（/—3）

读者也可以用图形扫描法计算之。结果见图p2-10（a）所示。

（b）根据根灯的特点,则

力（，）*力（，）=力（，）*［/，）+巩［-2）+巩/+2）］

=力（，）+力（，一2）+力（/+2）

结果见图p2-10（b）所示。

22

(a)(b)

图p2-10

2-11试求下列卷积。

(a)(1-e~2')£(/)*8'(t)*£(t)

(b)e3(/)*2©€(/)]

d/

解(a)因为£(/)*£(/)=£'⑺=6(/),故

(1—-")£(/)*§'(7)*£(/)=(1-e*2r)£,(/)*3(/)=(1-e-2/)£,(/)

(b)因为葭演/)=3(/),故

e3£(7)*A[e-^(/)]=e-%(/)*今(/)

dt

=%/)_3片”

2-12设有二阶系统方程

_/(/)+3%)+2M=4夕⑺

试求零状态响应

解因系统的特征方程为

22+32+2=0

解得特征根

A]=­1,=-2

故特征函数

-z_2,

x2(Z)=*心’=(e*e)f(/)

零状态响应

y(Z)=4b'(/)*x2(/)=4b'(/)*(e-'*-，£(/)

(8e-"-4e-')£(/)

2-13如图系统,已知

=M—1),4(/)=£«)

试求系统的冲激响应〃（，）。

题2-13图

解由图关系，有

x(7)=fS-％)*%⑺=演。-g*6(1)=即)-M-1)

所以冲激响应

h(t)=y(t)=x(0*似。=[.«)_河-1)]*£,(/)=£(t)-£(t-1)

即该系统输出一个方波。

2-14如图系统，已知Ri=&=lQ,2=1H,C=IFo试求冲激响应〃c（，）。

题2-14图

解由KCL和KVL,可得电路方程为

5+中等腔+(**"<=白3+箝⑴

代入数据得

4+2z«,+2〃c=&⑺+5(。

特征根

42=-1±jl

故冲激响应〃c(z)为

〃c(Z)=(产*/)*[6(。+b(。]

=e-/(cos/-sin/)•式。+e-/sint•£«)

=e-/cos/-6?(/)V

2-15一线性时不变系统，在某起始状态下，已知当输入/")=&/)时，全响应歹1(，)=

3e-3/-6(t)；当输入</)=-&Q时，全响应H(/)=eT.4/),试求该系统的冲激响应力(/)。

解因为零状态响应

az)—>s(，),一&t)―,-s(t)

故有

y\(t)=羯(/)+s(/)=3e-3,-£(t)

y2(t)=yzi(t)-s(t)=et)

从而有

为(/)-玫(/)=2s(/)=2e-3/-6(t)

即

s(/)=e-Vat)

故冲激响应

%(7)=s，(f)=<V)—3屋，.4/)

2-16若系统的零状态响应

试证明：

(1)/(。*g)=乎*I。⑺dr

dt及

（2）利用（1）的结果，证明阶跃响应

s(t)=£A(r)dr

证（1）因为

/(/)=>(，)*〃(/)

由微分性质，有

-(/)=)(/)*A(/)

再由积分性质，有

歹⑺=/'«)*]〃(7)d7

（2）因为

$(，)=&/)*〃(/)

由（1）的结果，得

5(Z)=s'(t)*J//(r)dr

=3(t)*£/?(r)dr

=[A(r)dr

第3章习题解析

3-1求题3-1图所示周期信号的三角形式的傅里叶级数表示式。

OT2Tt

题3-1图

解对于周期锯齿波信号，在周期(0,T)内可表示为

、A

/⑺学

系数

2J/(f)cos〃如山=言「•cosd

an=.

2,4Esin〃卯'

么夸

7£/⑺sinnco}tdt=_j^Z-sin〃助d

T~\

2.4/cos〃卯A

2

~Tncox0"兀

所以三角级数为

c、A/A.

/(^)=--X—sinncot

2〃=]"兀x

3-2求周期冲激序列信号

珞“)=£演/一〃7)

n=-<x)

的指数形式的傅里叶级数表示式，它是否具有收敛性?

解冲激串信号的复系数

1T]

所以

18

'w=—SC

因乙为常数，故无收敛性。

3-3设有周期方波信号/（，），其脉冲宽度1ms,问该信号的频带宽度（带宽）为多

少？若7压缩为0.2ms,其带宽又为多少？

解对方波信号，其带宽为y=‘Hz,

T

当有=1ms时，则

1

M\二一—=1000Hz

「0.001

当为=0.2ms时，则

A/2,=—--二5000Hz

r20.0002

3-4求题3-4图示信号的傅里叶变换。

/(0

0

-1

(b)

题3-4图

解（a）因为

7川＜7

./(/)=

o,|/|>r

为奇函数，故

F{co)=-j2£—sincotAt

2

=-j——^-[sinCOT-COTCOSCOT]

TCO

2

=j—[cos69r-Sa(69r)]

CD

或用微分定理求解亦可。

(b)yu)为奇函数，故

F{a>)--j2£(-1)sincotdt

=­[cos^r-1]=j—sin2(—)

\coCt)2

若用微分■积分定理求解，可先求出/，(，)，即

/，(。=打+汇)+次一工)一2打)

所以

f'S—/(j/)=e>r+e->r-2=2costyr-2

又因为*(0)=0,故

12

F(co)=——耳(g)=——(cosCOT-\)

3-5试求下列信号的频谱函数。

(1)%)=e即

⑵/(/)=easing"。

解⑴F3=，，/(/£小由=('2'-池山+£6-2匕力%/

114

=---+----=---7

2-jo2+jo4+0

(2)/(⑼=1/⑺曰”=[e-w_e-叫e+M/

,J

J________1______________]

2j[(a+j(y)-jg(a+jty)+jg

12jg=g

2j(a+jty):+式(a+j«y)2+<y^

3-6对于如题3-6图所示的三角波信号，试证明其频谱函数为

E⑷=/曲售）

证因为

r川-⑷)，|“<7

勿)=\T

0,\t\>T

则

F(^y)=2JJ(1--)coscotdt

2A八、

=——(1-cos6yr)

COT

4A.、

=-sin-(—)

COT2

=?IzSa2(—)

2

3-7试求信号</)=1+2cos/+3cos3/的傅里M,变换。

解因为

1一•2冗次0)

2cos/<->2兀[次①-1)+况①+1)]

3cos3/<-»3%[次3)+—0+3)]

故有

F(CD)=2兀[次⑷+次①一1)+次G+1)]+3兀©0-3)+用0+3)]

3-8试利用傅里叶变换的性质，求题3-8图所示信号力(/)的频谱函数。

解由于力“)的〃=2,7=2,故其变换

F、(。)=/£a2(m)=4Sa2(co)

根据尺度特性，有

工(1)32片(2①)=8Sa2(26>)

再由调制定理得

力(/)=/i(1)cosnt-F23)

F2(CD)=1[8Sa2(2。一2兀)+8Sa2(2勿+2K)]

=4Sa2(2G-2兀)+4Sa2(2co+2兀)

sin2(2①)sin2(2助

二------------------------------------r

{CD-71)(69+7T)

3-9试利用卷积定理求下列信号的频谱函数。

(1)寅Z)=4cos(⑨/)*&，)

(2){Z)=Zsin(劭)t)

解(1)因为

4cos(&(/)-力兀[5(0+/o)+S(G—Go)]

£(，)兀---

jG

所以由时域卷积定理

F(69)=An[3(a)+690)+^(67-^y0)]•[TI6(69)+—]

7-[8{co+4)+d(co-C0Q)]

JG

(2)因为

Asin(6y0Z)—jA7i[S(co+6y0)-^(69-6y0)]

£(，)^TISIG,H-----

jG

由频域卷积定理

F(69)=—<吊兀[5(69+啰0)_5(69一00)]*[兀出Q)+']1>

2兀}：0八)

=岑[/。+COQ{CO—CD^)]一

心-a)l

3-10设有信号

力(/)=COS4K/

f1,|“<T

/2(/)=l0,|/|>r

试求力(/)%(/)的频谱函数。

解设力(/)3凡(如，由调制定理

工(7)COS4TI/3(a>+4?r)+F}(a>-4TI)]=F[co)

而

片(初=£2(m)=2$23)

故

F(①)=Sa(。+4兀)+Sa(。-4兀)

3-11设有如下信号/(/),分别求其频谱函数。

(1)八/)=14)5)

(2)/(。=£«)-£>-2)

解⑴因暧一■-----

a+jat

故

e-(3+j4)z_1_]

(3+j4)+j«y3+j(4+(w)

(2)因£(/)—2)=6(/)£«—1),7=2

故

尸(⑼=£a(掌)e*=2Sa(0)e.

3-12设信号

-2,0<r<4

力⑺=io,其他

试求启/)=力《)cos50/的频谱函数，并大致画出其幅度频谱。

解因

/(⑼=2?Sa(拳)=8Sa(2(y)e-j2tt,

故

F2(⑼=；[片(①+50)+6(。—50)]

=4Sa[2(®+50)卜2(3+5。)+4Sa[2®-50)]e-j2(<8-50)

幅度频谱见图p3-12o

图p3-12

第4章习题解析

4-1如题4-1图示火。系统，输入为方波Wl(/),试用卷积定理求响应刈(，)。

的⑺R

°--------1I--------------------0

1-----------+1Q+

1

M1WF—cu2(Z)

01t

题4-1图

解因为火C电路的频率响应为

"(M=一

j<y+i

而响应

“2(，)=z，i(/)*h(t)

故由卷积定理，得

53)=5(。)*"(j。)

而已知U3)=’-(l—e-j°),故

11

%(。)=7——(l-e-J(a)

j®+ij«y

反变换得

u2(t)=(1-e-'X/)-[1--1)

4-2一滤波器的频率特性如题图4-2所示，当输入为所示的/(/)信号时，求相应的输出

解因为输入./(/)为周期冲激信号，故

Fn=T—=1，,coxI=-rp=2兀

所以/(/)的频谱

008

F(69)=2兀2乙方(/一〃°])=2Tlz5(8一2〃兀)

"=-<»«=-<»

当〃=0,±1,±2时，对应”(j(w)才有输出，故

y®)=F3)H(j©)

=2n[2次。)+次—―27i)+次(y+2K)]

反变换得

M/)=2(1+COS2JT/)

4-3设系统的频率特性为

试用频域法求系统的冲激响应和阶跃响应。

解冲激响应，故

//(/)=-F-I[77(j«)]=2e-2,^(/)

而阶跃响应频域函数应为

12

义⑼=贝£(/)]•"(j助=[赭(⑼+—]--―-

}(oj<w+2

一、12

=Tid(a>)H-----------

j(yja>+2

311

=、兀3⑼+----------

jo)jo+2

所以阶跃响应

s(f)=(l-eӣ(f)

4-4如题图4-4所示是一个实际的信号加工系统，试写出系统的频率特性”(j。)。

v(0

理想积分

/(0

迟延九

题4-4图

解由图可知输出

小)=["⑺-/(一。)业

取上式的傅氏变换，得

故频率特性

F(⑼j(y

4-5设信号_/(/)为包含0〜0分量的频带有限信号，试确定人3/)的奈奎斯特采样频率。

解由尺度特性，有

“3/)旧呜)

即/(3/)的带宽比./(/)增加了3倍，即△。=3引1。从而最低的抽样频率四=63”。故采样周

期和采样频率分别为

i

祝

fs=6ym

4-6若电视信号占有的频带为0〜6MHz,电视台每秒发送25幅图像，每幅图像又分为

625条水平扫描线，问每条水平线至少要有多少个采样点？

解设采样点数为x,则最低采样频率应为

2ym=25x625xx

所以

X=N^=2X6X*68

25x62525x625

4-7设五才)为调制信号，其频谱网0)如题图4-7所示，cos@)/为高频载波，则广播发

射的调幅信号双/)可表示为

x{t}=A[1+m/(t)]cosa)ot

式中，〃为调制系数。试求x(/)的频谱，并大致画出其图形。

解因为调幅信号

x(/)=Acosa)()t+mAj{t)cos例/

故其变换

M4A

X(«y)=nA[S(a)-a>0]+5{co+(y0)]+-^-[F((y-ty0)+F[co+<y0)]

式中，虫(0)为人/)的频谱。x(/)的频谱图如图p4-7所示。

X(o)

图p4-7

4-8题4-8图所示(a)和(b)分别为单边带通信中幅度调制与解调系统。已知输入/⑺的频

谱和频率特性H](j。)、”2(j3)如图所示，试画出X⑺和M/)的频谱图。

题4-8图

题4-8图

解由调制定理知

/⑺=/⑷COS3月(助=]+必)+F(co-coc)J

而X”）的频谱

n3)=片(切也(9)

又因为

f式t)=x(t)coscoct7外(ty)=g[X((y+(yc)+X(ty-«yc)]

所以

丫3）=工3）-“2（9）

它们的频谱变化分别如图p4-8所示，设做＞@。

尸1（。）

尸，厂\51,、一

-a）c0伙一小①「必5s

X(a))

/H，卜，'一

-(oc0%①c+Si(oc+a)2(o

图p4-8

4-9如题4-9图所示系统，设输入信号火,）的频谱虫（切）和系统特性”i（j（y）、42（j啰）均

给定，试画出的频谱。

题4-9图

解设/⑺=/"）cos50/,故由调制定理，得

K（⑼=；［尸3+50）+F（①-50）］

从而

力（/）3乙（。）=口（。）书（。）

它仅在|0=（30〜50）内有值。再设

力（t-cos30f

则有

/（⑼=；氏（①+30）+工3-30）］

即为3）是后（。）的再频移。进而得响应的频谱为

丫3）=£⑼•%（〃>）

其结果仅截取-20<s<20的部分。以上过程的频谱变化如图p4-9所示。

y(。)

-200203

图p4-9

4-10设信号/⑺的频谱F(。)如题4-10图(a)所示，当该信号通过图(b)系统后，证明M。

恢复为了⑺。

ej201/eT231r

(a)(b)

题4-10图

证明因为

/（小刎》与3—2纳）

故通过高通滤波器后，频谱B3)为

F、(co)=HQco)F(a)-2电)=F(a)-2助)

所以输出

y(t)7Y(co)=F(69-2助+2电)=F(co)

即包含了皿）的全部信息20），故恢复了7W。

第5章习题解析

5-1求下列函数的单边拉氏变换。

(1)2-e"

⑵M)+e-"

(3)e~2'cost

解(1)F(5)=r(2-e-z)e-'7d/=---1-=4±^

S5+1S(S+1)

(2)F(s)=£[3(。+e-"[e-"d/=1+

(3)F(s)=，(e-"cos/)e-s'd/=「g(e」'+e'j,)e-2z-e-s/d/

if111s+2

2(s+2—j5+2+jJ(5+2)2+l

(a)(b)

题5-2图

解(a)因为〃/)=£")-£("/°)

而£(/)—>一,£(/—/())—>-e

ss

故

1(1-e』)

s

(b)因为％)=I[£")_£(…%)]/£(/)一工£(/-0)

又因为一£。)->-^―

，os/()

­£(t-t)->(―+-)6一"”

02

，osstn

故有

力⑺d+4-)