直线与圆的位置关系(解析版)

2021年八年级数学《暑假作业翎课程无忧衔接》(苏科版)

考点15直线与圆的位置关系

【知识点梳理】

直线与圆的位置关系

1、直线与圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交。(d<r)

2、直线与圆有唯一的公共点，叫做直线与圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点。(d=r)

3、直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆相离。(d>r)

直线与圆的位置关系可以用它们的交点的个数来区分，也可以用圆心到直线的距离与半径的大小关系来

区分，它们的结果是一致的。

直线与圆的位置关系的判定和性质.

因圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆心)的位

置关系.

图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半

⑴

如果00的半径为r,圆心0到直线的距离为d,那么

(1)直缆和。讨目交Qd<r；

(2)直线/和。O相切Od=r；

(3)直线国相离Od>r.

要点诠释：

这三个命题从左边到右边反映了直线与圆的位置关系

所具有的性质；从右边到左边则是直线与圆的位置关系的判

【新课程预习练•无定・

一、单选题

1.如图是两个同心圆，大圆的直径AC固定不动，小圆的直径8。绕着圆心0旋转，与AC不在同一条

直线上，在8。旋转过程中，下面说法正确的是()

D

A.NAOC的大小始终不变B.四边形45。存在是矩形的情形

C.四边形A8CZ)的最大面积等于言AC8DD.AD的最大值等于彳(AC+BD)

22

【答案】C

【分析】利用圆周角的性质和矩形的性质和判定来判断.

【详解】

解：A.利用圆周角不变，而NA及C并不是圆周角，所以4是错误的；

B.若四边形A3。是矩形，则N40090。，则。在大圆上，出现矛盾，所以5是错误的;

C,过。作。"J_AC于〃，8G_L4c于G,

S四边形A8CD二SaACD+5AABC

=—xACxDH+—xACxBG

22

1

=­xACx(DH+BG)

<—xACxBD.

一2

，四边形ABCD的最大面积等于--AC*BD.

2

・・・c符合题意.

D

3

Q.：8。与AC不在同一条直线上.

•'•AD的最大值不可能是—x（AC+BD）,故。错误.

故选：C.

【点睛】考查的圆周角的性质、矩形的判定和性质、以及三角形的三边关系等知识，关键是理解三角形的

三边关系是解决最值问题常用的手段.

2.如图，尸为（DO外一点，PA.PB是©0的切线，A,3为切点，点C为A8左侧。。上一点，若/尸=50。，

则/ACB的度数为（）

【答案】D

【分析】根据切线的性质和四边形的内角和定理可求出/AOB,再由圆周角定理可求出答案.

【详解】

解：如图，连接。4、OB,

•••%、P8是。。的切线，A、8为切点，

：.OA1PA,OBLPB,

：.ZPAO=ZPBO=90°,

VZP=50°,

，ZAOB=360°-90°-90°-50°=130°,

AZC=—ZAOB=65°,

2

故选：I).

B

【点睛】考查切线性质、四边形的内角和是360。、圆周角定理，熟练掌握切线性质和圆周角定理是解答的

关键.

3.如图，点。为AABC的内心，NB=58°,BC<AB,前M，N分别为AB,上的点，且

ZMON=122°.

甲、乙、丙三人有如下判断:

甲：OM=ON；

乙：四边形OMNB的面积是定值;

丙：当时，AMON的周长取得最小值.

则下列说法正确的是()

A.只有甲正确B.只有丙错误C.乙、丙都正确D.甲、乙、丙都正确

【答案】B

【分析】

点。为AABC的内心，可用角平分线的性质，再用三角形全等可判断甲和乙，当ON最小，即当0N_L8C

时，AMON的周长最小即可判断内.

【详解】

（1）♦.•点。为AABC的内心，

•••当QW_LAB于〃，ON_LBC于N时，OM=ON.

、当OM,ON不垂直于AB，时，

如图1,过点。作于。，于E.

则Z.ODN=/OEM=90°.

•••NB=58。，

•••乙DOE=122°.1/ZMON=122°,

ZDON=ZEOM.

:点。为AABC的内心，OD八BC,OEYAB,

OD=OE.

/.△ODN2^OEM.

：.0M=0N.故甲的判断正确.

（2）如图1,连接03.

由（1）可知，四边形的面积为2s

,点。的位置固定，

二四边形。MBN的面积是定值.故乙的判断正确.

（3）如图2,过点。作0EJ.MNF点尸.

由（1）可得，MN=2FN=2ONcos/ONM=20NcosW°.

：.z^MONW=2ONcos29°+2ON=2ON（cos290+1）.

.••当GV最小，即当ON_LBC时，△MQV的周长最小，此时不垂直于8C,故丙的判断不正确.

综上所述，答案选8.

【点睛】考查的是三角形的内心，熟悉掌握三角形内心的性质是解题的关键.

4.如图，/为AABC的内心，有一直线通过/点且分别与AB.AC相交于。点、E点•若AD=DE=5,AE=6,

则/点到BC的距离为何？（）

DE

C

B

2430

A.—B.—C.2D.3

1111

【答案】A

【分析】

根据等腰三角形的性质和勾股定理,可以求得。尸的长，再根据等面积法，可以求得/G、的长，再根据

三角形的内心是角平分线的交点，即可得到〃=田的长，从而可以得到点/到BC的距离.

【详解】

解：连接A/,作/GLAfi于点G,BC于点J,

作出_LAC于点"作DELAE于点F,如图所示,

,/AD=DE=5，AE=6，DF_LAE，

AF=3,NAFD=90。，

/.DF=ylAD2-AF2=>/52-32=4,

设IH=x，

I为△ASC的内心，

IG=IJ=IH=x，

・・q=q+s

•LADE^^ADI1°AAEI'

6x45x,6x

二----=—+——,

222

解得k器，

即/点到8c的距离是打，

故选：A.

【点睛】考查了三角形的内切圆与内心、角平分线的性质，勾股定理，知道三角形的内心是角平分线的交

点是解题的关键.

5.如图，点A,B，C在OO上，ZABC=28°,过点。作。0的切线交OA的延长线于点。，则/£)=

()

A.30°B.56°C.28°D.34°

【答案】D

【分析】分别求出NAOC和/OCZ),利用三角形内角和为180。，即可求出ND

【详解】

解：因为CQ是。。的切线，

ZOCD=90°,

NA8c=28°,

二ZAOC=56°,

ZD-1800-ZAOC-ZOCD=34°,

故选D.

【点睛】考查了切线的性质、圆周角定理、三角形内角和定义等内容，要求学生掌握利用圆的切线垂直于

过切点的半径和一条弧所对的圆周角是其所对的圆心角的一半分别求出NOCO和NAOC,再利用三角形的

内角和公式求出/。的方法，本题较基础，思路也很明显，因此着重对学生基本功的考查.

6.如图，AB与。。相切于点A，交OO于点。，点。在。。上，连接A。、CO,OA,若NABO=4()。,

则ZADC的度数为()

A.20°B.25°C.40°D.50°

【答案】B

【分析】先根据切线的性质得到/。48=90。，则利用互余可计算出NO=50。，然后根据圆周角定理得到

/ADC的度数.

【详解】

解：是O。的切线,

：.OA±ABf

・・・NO48=90。，

・・・ZABO=40°^

・・・/0=90。-40。=50。，

NADC=—N0=—x50°=25°.

22

故选：B.

【点睛】考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.也考查了圆周角定理.

7.在如图所示的正方形网格中，点A,B，C,D，。均在格点上，则点。是（）

A.AACD的外心B.AACD的内心

C.△ABC的外心D.AABC的内心

【答案】A

【分析】根据网格利用勾股定理得出Q4=OD=OC=件后=石，进而判断即可.

【详解】

解：由勾股定理可知:

OA=O£）=OC=4+2?=也，

所以点。是zMCD的外心，

故选：A.

【点睛】考查二角形的外接圆与外心问题，关键是根据勾股定理得出CM=OZ）=OC.

8.如图，在中，AG平分NC4B,使用尺规作射线CO,与4G交于点E，下列判断正确的是（）

A.AG平分CDB.ZAED^ZADE

C.点E是AAbC的内心D.点E到点A,B,。的距离相等

【答案】C

【分析】利用基本作图得到C/）平分ZAC8,则根据三角形内心的定义可判断E点为△A8c的内心，从而

得到正确的选项.

【详解】

解：由作法得CO平分NAC8,

平分NCA8,

点为△A8C的内心

故选：C.

【点睛】考查了作图-基本作图:熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段：作一个角等于己知角；

作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线;过一点作已知直线的垂线）.也考查了三角形的内心.

9.如图，AB是O。的直径，过点A作O。的切线AC,连接6C,与O。交于点。，点E是O。上一

点，连接AE，DE.若NC=40。，则NAE。的度数为（）

A.30°B.40°C.50°D.60°

【答案】C

【分析】根据切线与过切点的直径，可得可得AABC为直角三角形，利用直角三角形两锐角互余

可求N8=50。，利用圆周角性质/8=NAE£>=50。.

【详解】

解：：A3是。。的直径，过点4作O。的切线AC,

.\BALAC,

XABC为直角三角形，

.,.ZB+ZC=90°,

二ZB=90°-ZC=90°-40°=50°,

，NAED=/B=50。.

故选择C.

【点睛】考查切线的性质，直角三角形性质，圆周角性质，掌握切线的性质，直角三角形性质，圆周角性

质.

10.如图，△ABC中，ZA=60°,BC=6,它的周长为16,若圆。与BC,AC,A8三边分别切于E,F,

。点，则。尸的长为（)

0

B------------JR---------C

A.2B.3C.4D.6

【答案】A

【分析】根据切线长定理求出BE=BD,CE=CFf得出等边三角形AQF,推出。尸=AD=AF,

根据BC=6,求出8D+CF=6,求出AD+A/=4,即可求出答案.

【详解】

解：:。。与8C,AC,A8三边分别切于E,F,。点，

：.AD=AFfBE=BD,CE=CF,

•；BC=BE+CE=6,

：.BIHCF=6,

9

：AD=AFfZA=60°,

.♦.△AO尸是等边三角形，

.\AD=AF=DF,

VABMC+BC=16,BC=6,

：.AB+AC=\Of

・：BD+CF=6,

：.AD+AF=4f

°：AD=AF=DF,

：.DF=AF=AD=-x4=2,

2

故选：A.

【点睛】考查了对切线长定理的应用，关键是求出AD+”的值，主要考查学生运用定理进行推理和计算的

能力.

11.如图，AABC是等腰三角形，且=与AC相切于点。，与BC交于点E,连接OE.若

ZABC=110。，则ZEDC的度数是（）

A.30°B.27.5°C.27°D.26.5°

【答案】B

【分析】连接8。，由题意易得NBDC=90。，ZDBC=55°,NBED=NBDE=62.5°,进而可得/C=35。，然后

根据三角形外角可求解.

【详解】

解：连接8Q,如图所示：

,/。3与AC相切于点。，

ZBDC=90°,

AB=BC,ZABC=110°,

：.NDBC=-ZABC=55°,ZC=35°,

2

,:BD=BE,

：.NBED=NBDE=625°,

：-ZEDC=ABED-ZC=62.5°-35°=27.5°；

故选B.

【点睛】考查切线的性质定理及等腰三角形的性质，熟练掌握切线的性质定理及等腰三角形的性质是解题

的关键.

12.如图，PA，P8与。。分别相切于点A,B,PA=2,NP=60°,则AB=()

A

A.#>B.2C.2^/3D.3

【答案】B

【分析】先判断出Q4=PB，进而判断出△尸AB是等边三角形，即可得出结论.

【详解】

解：：/%，P8与分别相切于点A,B,

,PA=PB，

ZAPB=60°.

△PAB是等边三角形,

,AB=AP=2.

故选：B.

【点睛】考查了切线长定理，等边三角形的判定和性质，熟练掌握切线长定理是解题的关键.

二、填空题

13.如图，平面直角坐标系xO），中，点A的坐标为（8,5）,OA与x轴相切，点P在y轴正半轴上，PB

与。A相切于点B.若/AP8=30。，则点P的坐标为—.

【答案】（0,11）或（0,—1）.

【分析】连接A8,作轴，ACLy轴，根据题意和30。直角三角形的性质求出AP的长度，然后由圆

和矩形的性质，根据勾股定理求出。C的长度，即可求出点P的坐标.

【详解】

如下图所示，连接A8,作AZ）_Lx轴，AC_Ly轴，

与。A相切于点8

：.ABA.PB,

VZAPB=30°,AB1PB,

...%=2AB=2x5=10.

VZO=90°,ZOCA=90°,ZADO=90°,

四边形AC。。是矩形,

点4的坐标为(8,5),

所以AC=0A>8,C8AD=5,

在RtZXPAC中，PC=dP笛-AC?=7102-82=6-

①如图，当点尸在C点上方时，

OP=OC+CP=5+6=11，

二点尸的坐标为(0,11).

②如图，当点P在C点下方时,

•••OP=CP-CO=6-5=1

.••点P的坐标为（0,-1）.

综上所述，点户的坐标为(0,11)或(0,-1).

故答案为：（0,11）或（0,-1）.

【点睛】考查了勾股定理，30。角直角三角形的性质和矩形等的性质，解题的关键是根据题意作出辅助线.

14.如图，在三角形ABC中，N8AC=90。，AC=12,A8=10,。是AC上一动点，以AQ为直径的（DO交

8。于点E,则线段CE的最小值是一.

【答案】8

【分析】连接AE,可得/AE£>=N8EA=90。，从而知点E在以48为直径的G）Q上，继而知点Q、E、C

三点共线时CE最小，根据勾股定理求得QC的长，即可得线段CE的最小值.

【详解】

解：如图，连接4E,则NAE£）=/BEA=90。，

...点E在以A8为直径的。。匕

：.QA=QB=5,

当点Q、E、。三点共线时，QE+CE=CQ（最短），

而。石长度不变，故此时CE最小，

VAC=12,

22

-QC=y/AQ+AC=13,

：.CE=QC-QE=13-5=8,

故答案为：8.

【点睛】考查了圆周角定理和勾股定理的综合应用，解决本题的关键是确定E点运动的轨迹，从而把问题

转化为圆外一点到圆上一点的最短距离问题.

15.如图，以等边三角形A5C的边为直径画半圆，分别交A8，AC于点E,D,OE是圆的切线,

过点尸作8c的垂线交8c于点G.若AE的长为2,则FG的长为.

【答案】373

【分析】

连接OD,BD,作DHLFG于H,于M,根据等边三角形的性质得/A=NC=/ABC=60。，AC=BC,

根据切线的性质得0。，。尸，再证明0。〃48,则DFLAB,在/?/△ADF中根据含30度的直角三角形三边

的关系得。尸=26,由8c为③。的直径，根据圆周角定理得/8£)C=90。，则AD=CD=4,。。=4,所以。M=

；OD=2,在RtADFH中可计算出FH=6,DH=石/〃=3,则GM=3,于是OG=GM-OA/=1,BG=OB-OG=3,

在RtABGF中可计算FG=3G.

【详解】

解：连接o。，BD,作DHLFG于H,OM_L8C于例，如图,

VAABC为等边三角形，

/.ZA=ZC=ZABC=60°fAC=BC,

,:OD=OC

•••△OOC为等边三角形，

・・・N00060。，

・・・ZA=ZODC,

：.OD//AB,

・・・。/是圆的切线，

ODA.DF,

：.DF1AB,

在心△ADF中，A尸=2,ZA=60°,

JZADF=30°

・・・AD=4,

・•・DF=ylAD2-AF2=2V3，

•・・8C为。。的直径，

JZBDC=90°,

:.BD1AC,

:・AD=CD=4,

.・・0。二4,

：.OM=­OD=2

29

VZABC=60°,ZFGB=90°

：.ZBFG=30°

：.ZDFH=60°

：.ZFDH=30°

在RfADFH中,DF=2y/j

:・FH=6，

:・DH=dDF?_FH2=3,

AGM=3,

JOG=GM-OM=\f

:.BG=0B-0G=3,

在aaBG尸中，ZFBG=60°,BG=3,

：.FB=6

FG=1FB°-BG?=373•

故答案为：3后.

【点睛】考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.经

过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.也考查了圆周角定理、等边三角形的性质和含30度的直角三角形

三边的关系.

16.如图，等边三角形ABC的边长为4,OC的半径为6,P为AB边上一动点，过点尸作OC的切线

PQ,切点为Q,则PQ的最小值为.

【答案】3

【分析】连接OC和PC,利用切线的性质得到CQ_LPQ,可得当CP最小时，尸。最小，此时CPJ_AB,再

求出CP,利用勾股定理求出PQ即可.

【详解】

解：连接QC和PC，

•••PQ和圆C相切，

：.CQLPQ,即△CPQ始终为宜角三角形，C。为定值，

...当CP最小时，最小，

,/△ABC是等边三角形，

.•.当CP_LA8时，CP最小，此时“JU8,

"：AB=BC=AC=4,

:.AP=BP=2,

•••CPEACiP?=26,

•.•圆C的半径CQ=J^,

・"C=JCP2_CQ2=3,

故答案为：3.

【点睛】考查了切线的性质，等边三角形的性质，以及勾股定理.此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，

注意得到当PCLAB时;线段PQ最短是关键.

三、解答题

17.如图，四边形ABC。内接于。。，AD是直径，4c平分NBA。，过点C作。。的切线，与AB的延长线

交于点E.

(1)求证：ZE=90°；

(2)若。。的半径长为4,AC长为7,求BC的长；

【答案】(1)见解析；(2)BC=A

【分析】

(1)连接。。，根据切线的性质可得/OCE=90。.然后根据AC平分NBA。，即可得结论;

(2)根据4。是。。的直径，可得/4CD是直角.根据勾股定理即可求出8c的长.

【详解】

(1)证明：如图，连接0C,

：EC是。。的切线,

二OCLEC,

：.NOCE=90。.

,/OA=OC,

：.NOAC=/OCA.

：AC平分NBA。，

ZOAC=ZBAC.

：.ZOCA^ZBAC,

：.AE//OC,

：.ZE=90°；

(2)解：是。。的直径,

，ZACD是直角.

在mAACD中，AC=7,AA2x4=8,

•••CD=V15.

；ZBAC=ZOAC,

BC=CD，

/.BC^CD=y/15.

【点睛】考查切线的性质，圆周角定理，掌握切线性质是解题的关键.

18.如图，AB为。。的直径，弦CC交4B于点E,且力E=OE

(1)求证：ZBAC=3ZACD；

(2)点尸在弧8。上，且/AEC,连接CF交AB于点G,求证：CF=CD；

2

(3)在(2)的条件下，若0G=4,FG=11,求(DO的半径.

【答案】(1)见解析；(2)见解析：(3)3>/13

【分析】

(1)如图1中，连接OO,OC,设NC=x.求出/A,ZACD,可得结论.

(2)连接CO,延长CO交力产于T.想办法证明CTLOF,可得结论.

(3)连接CO,延长CO交。产于T,过点。作。M_LC£>于M,OALLCF于M设OE=OE=〃，OA=OB

=2凡构建方程求出a,R,可得结论.

【详解】

解：(1)证明：如图1中，连接OD,03设NO=x.

图1

,:ED=EO,

：・ND=NEOD=x,

,:OD=OC,

:・/D=/OCD=x,

：.NCEO=ND+NEOD=2x,ZCOB=ZOEC+ZOCD=3x,

•：OA=OC,

：.ZA=ZACOf

ZA+ZACO=ZCOB=3xf

3

ZA=ZACO=-x

2f

NACD=—x,

2

：.ZBAC=3ZACD.

(2)证明：连接CO,延长CO交。尸于7.

由（1）可知，ZAEC=180°-2x,

,?NAEC=2NCDF,

：.NCO产=90。-x,

：.ZCDF+ZDCO=90°t

：.CT±DF,

：,DT=TF,

：.CD=CF.

（3）解：连接CO,延长CO交。尸于T,过点。作OM_LCO于M,ON工CF于N.

由（2）可知，CD=CF,CT-LDF

:・/DCO=NFCO=x,

•：ON1CF,OM±CDf

；.OM=ON,

设OE=OE=mOA=OB=2R,

■:NGEC=NGCE=2x,

：.GE=GC=a+4f

：.CD=CF=CG+FG=15+a,

：.EC=CD-DE=l5f

e^-CEOMcu

..3AoeE=2________=0E

S'COGLCGON0G

2

15a

••-----=一,

a+44

：.a2+4a-60=0,

；.a=6或-10(舍弃)，

ACG=10,

YCG，FG=AG，GB,

A110=(R+4)(R-4),

•*-R=3714或-3714，

二。。的半径为3j1i.

【点睛】考查了圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质定理等知识，解题的

关键是学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考常考题型.

19.如图，点。是以A8为直径的半圆上一点，连接AC，点P是AC上一个动点，连接3P，作PDLBP

交AB于点。，交半圆于点E.已知：AC=8cm,设PC的长度为xcm,的长度为yem,庄;的长

度为y2cm(当点p与点。重合时，弘=8,y2=0,当点p与点A重合时，X=0,%=°)・

小锐同学根据学习函数的经验，分别对函数必，为随自变量X变化而变化的规律进行了探究・

下面是小锐同学的探究过程，请补充完整:

（1）按照下表中自变量X的值进行取点、画图、测量，分别得到了M,%与X的几组对应值，请补全表格:

尤/cm012345678

%/

8.005.814.383.352.551.851.210.600.00

cm

y"

0.000.90a2.242.672.892.832.340.00

cm

上表中.（精确到0.1）

（2）在同一平面直角坐标系xQy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x,y）,（x,%），并画出函

数y,%的图象（弘已经画出）；

（3）结合函数图象解决问题:

①当PD，PE的长都大于2c7篦时，PC长度的取值范围约是；（精确至I」0.1）

②继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，判断点C,D，E能否在以P为圆心的同一个圆上？（填“能”

或“否”）

【答案】（1）1.6；（2）见解析；（3）①2.6<PC<4.8：②见解析，否

【分析】

（1）利用测量法可以解决问题；