奥数新讲义-一元二次方程-2(师)

第一讲一元二次方程一元二次方程是中学代数的重要内容之一，它与函数和不等式有密切的联系，同时是学习其他方程的基础，本讲主要内容为一元二次方程的解法、判别式及其应用.一元二次方程的基本解法有：直接开平方法、配方法、公式法及因式分解法.基础知识1．配方法、求根公式、因式分解法一元二次方程的一般形式是；它的简单形式就是.解一元二次方程，可以把所给的方程转化为形如的方程来求解，转化的方法是配方，具体做法是：因为所以方程就转化为，即，从而利用平方根的意义可以得到方程的解.由上述配方法得到的一元二次方程的求根公式为：如果一元二次方程的两根为，那么我们就有基本等式：因此可以通过因式分解来求解一元二次方程.2．判别式对一元二次方程，其判别式为：当时，方程有两个不同的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根；例题部分例1～例5，一元二次方程的各种解法；例6～例8是含有字母系数的方程的讨论；例9～例15是一元二次方程的判别式的应用；例15～例20是一元二次方程的部分应用.例1（★）解方程【解】，即∴例2（★，1990年淮阴数学竞赛）解方程解法1：＝1，∴，即解法2：由，原方程可化为解法3：，∴例3（★，2002年辽宁）解方程解法1：原方程化为即∴，解得解法2：观察可知都是原方程的解，又一元二次方程最多有两个实数解，所以原方程的根为例4（★）已知二次方程有一个根是2，求另一个根并确定a的值【解】由根的定义，得a＝3，故原方程为，分解因式得∴另一个根为例5（★★，84年北京）方程的较大根为r，的较小根为s，求r－s的值；【解】方程可化为，即∴，从而r＝1又方程可化为∴，从而s＝-1984∴r－s＝1985例6（★★，93年苏州）解关于x的方程【解】解含有字母系数的一元二次方程的时候，常常需要对字母系数进行讨论，在讨论时要避免遗漏各种可能的情况：原方程化为当，即a=0或a=1时，原方程化为一次方程，由a＝0，得x＝0；由a＝1,得x＝2；当，即时，原方程为一元二次方程利用因式分解法得，∴例7（★★）解关于x得方程【解】仿照例6进行讨论当时，方程为，∴x＝2；当时，方程是二次方程，当时，，方程有两个不等实根当时，，方程有两个相等实根当时，，方程没有实数根.例8（★★）解关于x的方程【解】整理得，即当时，当，当，原方程x为任意实数当时，，所以例9（★）已知，试证方程必有两个不同的实数根.【证明】只需证当时，，因而，故，故；当，由于，故，，故；∴方程必有两个不同的实数根.例10（★★）已知a、b、c为三角形的三边，试判别方程有无实根？【解】因为方程的判别式为：，因式分解得而∴于是，∴原方程无实根.例11（★★）当a，b为何值时，方程有实根？【解】要使原方程有实根，则，即，得由非负数性质可知，故例12（★★，98年山东）已知三个关于x的方程，和，若其中至少有两个方程有实根，求实数m的取值范围.【解】由三个方程分别由实根，依次得到m的取值范围是：根据题意，有，或，或解得或为所求例13（★★，97年山东）设a、b、c为互不相等的非零实数，求证三个方程，，不可能都有两个相等的实数根.【解】反证法，假设题目中所给的三个方程都有两个相等的实数根，则三式相加，得∴a＝b＝c，与已知矛盾故所给的三个方程不能都有两个相等的实数根.例14（★★）已知方程，均无实根，判断方程是否有实根？【解】∵无实根，∴∵无实根，∴方程的判别式：＝∵，∴；∵，∴∴即，∴方程没有实根例15（★★★，2002年黄冈）若a,b,c,d>0,证明：在方程，，中，至少有两个方程有两个不同的实数根.【证明】：四个方程的判别式为：，，，∴，∴中至少有一个大于0；同理可证：，∴中至少有一个大于0；∴中至少有两个大于0，从而已知的四个方程中至少有两个方程有两个不同的实数根.例16（★★，94年）已知b、c是方程的两个根，且，求b、c的值；【解】∵b、c是方程的两个根，且∴易得，解得或当时，，与矛盾，舍去；当时，，满足题意.例17（★★）已知，求代数式的值；【解】直接求解方程带入求值，则计算量过大，用整体代入∵，∴∴例18（★★）关于x的方程（其中a，b，c均为正数）有两个相等的实根，证明：以a，b，c为长的线段能够组成一个三角形，并判断三角形的形状.【证明】：原方程化为故即∴a＝b＝c，由于a，b，c均为正数，故以a，b，c为长的线段能够组成一个三角形，且为正三角形.例19（★★）求方程的实数解【解】奥数教程，初三年级，华东师范大学出版社，P19，例6，答案x＝1，y＝1例20（★★★，88年全国联赛）已知首项系数不相等的两个二次方程以及（a，b都是正整数）有一个公共根，求的值【解】奥数金牌题典初中数学，广西师范大学出版社，P6，例10，答案256练习题1．（★）使实系数二次方程有两个不相等的实数根的m的范围是（）A．B．C．D．以上结果均不对【解】：C2．（★）满足方程的x的值是（）A．B．C．D．【解】：C3．（★）关于x的方程的一个解是1，则a的值为（）A．－3B．3C．D．【解】：A4．（★★）a、b、c为不全是0的3个实数，那么关于x的一元二次方程的根的情况是（）A．有2个负根B．有两个正根C．有2个异号实根D．无实根华罗庚数学奥林匹克教材，初三年级，知识出版社，P1，例1【解】：D5．（★）满足有实根的最大整数c是（）A．4B．8C．10D．12华罗庚数学奥林匹克教材，初三年级，知识出版社，P6，2【解】：D6．（★）方程的解为_________【解】：7．（★）当m___________时，二次方程有两个不等的实数根；【解】：，且8．（★）解关于x的方程【解】当时，； 当，即a、c异号时， 当，即a、c同号时，方程无实根.9．（★★）已知二次方程有根0与1，试