《概率统计教学资料》第2章随机变量及其分布

随机变量的定义设随机试验E的样本空间为若对于每一个样本点变量X

都有确定实数值与之对应,则X是定义在上的实值函数,即我们称这样的变量X为随机变量.定义:随机变量的分类(1)离散随机变量:取值只有有限个或可列无穷多个;连续随机变量:取值是在某个实数区间(2)非离散随机变量2023/4/1312.离散随机变量的概率分布或记为(1)定义则称p(xi)

(i=1,2,…)为X的概率分布或概率函数.其所有可能取值为且定义:设X为离散随机变量,2023/4/132注：当X取得有限个可能值时，(2)性质显然，概率分布p(xi)有下面的性质:表示有限项的和;当X取得可列无穷多个可能值时,表示收敛级数和.2023/4/133超几何分布

定义.设随机变量X的概率分布为随机变量X服从超几何分布,其中n,M,N是分布的参数.其中n,M,N都是正整数，且n≤N,M≤N;则称记作X～H(n,M,N),2023/4/134一批产品共N件,其中M件次品,N-M件正品,实例：产品检验模型随机抽取n件样品(0≤n≤M)按不放回抽样方式,(设随机变量X表示取出的次品数k)此X的概率分布称为超几何分布H(n,M,N).求取出的n样品中恰有k件次品A的概率？2023/4/135设随机变量X只可能取0,1两个值,二项分布且概率分布为1.(0–1)分布则称X服从(0-1)分布或两点分布.(0-1)分布的概率分布也可写成

X

01

pk

1-p

p

2023/4/136定义.设随机变量X的概率分布为其中n,p为分布的参数.2.二项分布B(n,p)其中n为正整数，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n,p),注：20当n=1时，X~B(1,p)，即为(0-1)分布.2023/4/137实例：在n重伯努利概型中则X服从二项分布B(n,p)

.例如设X表示事件A恰好出现的次数，X=k的概率为随机抽取n件样品(0≤n≤M).设一批产品共N件，其中有M件次品，按放回抽样方式,设随机变量X表示取出的次品数(X=0,1,2,…,n),则故X~B(n,M/N).2023/4/138是分布的参数.泊松分布

定义.

设随机变量X的概率分布为则称随机变量X服从泊松分布，记作参数2023/4/139泊松分布的应用例如：3)汽车站台一天的侯客人数；5)某公路段上在单位时间内发生交通事故的次数;2)某电话交换台在单位时间内收到的呼唤次数；1)某服务设施在一定时间内到达的人数；4)某医院在一天内的急诊病人数;有着广泛的应用.……泊松分布在公共事业、生物、医学及工业等领域2023/4/1310概率函数近似等于二项分布B(n,p)的概率函数,当N充分大时，超几何分布H(n,M,N)的二项分布与超几何分布的关系定理:即若X~H(n,M,N)，则当N→∞时，有注：2023/4/1311当n充分大,p很小(p<0.1),二项分布B(n,p)的概率函数近似等于泊松分布的概率函数:泊松分布与二项分布的关系泊松定理：若当n→∞时，则有注：即np比较适中时，2023/4/1312随机变量X的分布函数定义：设X为一随机变量，的概率P(X≤x)称为随机变量X的分布函数,F(x)=P(X≤x).则事件“X≤x”记作注：2023/4/1313分布函数F(x)的性质(1)

F(x)是非减函数,即若x1<x2,

则(3)离散随机变量X，F(x)是右连续函数,连续随机变量X，F(x)在(-∞,+∞)处处连续.即事件“X≤x”当x→-∞时是不可能事件;事件“X≤x”当x→+∞时是必然事件.2023/4/1314定义.若随机变量X的取值范围是某个实数区间I函数f(x)称为连续随机变量连续随机变量和概率密度且存在非负函数f(x)，使得对于任意有(有界或无界),区间则称X为连续随机变量;X的概率密度函数(probabilitydensityfunction),概率密度.简称2023/4/13151.连续随机变量X任取确定值x0的概率等于0,即2.若X是连续随机变量，则对任意x1,x2(x1<x2)有注:3.P(A)=0P(A)=12023/4/131620规范性概率密度的性质10

非负性O设X是连续随机变量,f(x)为X的概率密度，则2023/4/1317连续X的密度函数与分布函数的关系设连续X的概率密度f(x)，则其分布函数为且在f(x)的连续点x处，2023/4/1318定义：设随机变量X的概率密度为则称X在区间[a,b]上服从均匀分布,其中a,b是分布的参数.均匀分布记作(1)均匀分布的定义2023/4/1319注：均匀分布的等可能特征其等可能性的意义是：X落在区间[a,b]中任意等长度的子区间内的可能性是相同的.或者说X落在[a,b]子区间内的概率仅依赖于子区间的长度而与子区间的位置无关.事实上，对[a,b]上的任子区间[c,c+l],有2023/4/1320其中指数分布

定义:设随机变量X的概率密度为则称X服从指数分布，是分布的参数.记作(1)指数分布的定义2023/4/1321

4.随机服务系统中的服务时间；……1.它常用于动物、电力设备和电子元件使用寿命；2.电话的通话时间；3.排队时需要等待时间；（2）指数分布的应用指数分布在生存分析、可靠性理论和排队论中有广泛的应用．例如：2023/4/1322二维随机变量的联合分布函数1）定义2）几何意义yo(x,y)(X,Y)2023/4/1323定义若X,Y均为离散随机变量，则(X,Y)

为二维离散随机变量,且二维离散随机变量的联合概率分布2023/4/1324XY………………………………其中2023/4/1325二维连续随机变量定义设X,Y均为连续随机变量，2023/4/1326联合概率密度的性质：设G是平面上的一个区域，点(X,Y)落在G内的概率为：这个公式非常重要！2023/4/1327边缘分布则随机变量X的边缘概率函数为二维随机变量（X,Y）的联合概率函数为同理随机变量Y的边缘概率函数为离散随机变量的边缘分布2023/4/13282023/4/1329连续随机变量的边缘分布的边缘密度函数：随机变量X的边缘密度函数：随机变量Y注：边缘分布可由联合分布唯一确定，但不能由边缘分布确定联合分布。求边缘分布时如何确定积分区域及边缘密度不为零的范围。2023/4/1330条件分布1.二维离散型随机变量(X,Y)的条件分布（1）在Y=yj

条件下X的条件概率函数（2）在X=xi条件下Y的条件概率函数2023/4/1331随机变量X在Y=y的条件下的条件密度函数注：条件密度函数的性质与普通密度函数类似随机变量Y在X=x的条件下的条件密度函数2.连续随机变量的条件分布：2023/4/1332定义设X,Y是两个随机变量，若对于任意实数x,y有P(X≤x,Y≤

y)=P(X≤x)P(Y≤y)即F(x,y)=FX(x)FY(y)，则称X，Y相