江苏省南京市秦淮区四校2023届七下数学期中监测试题含解析

江苏省南京市秦淮区四校2023届七下数学期中监测试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．下列各式不能使用平方差公式的是（）A．（2a+b）（2a﹣b）B．（﹣2a+b）（b﹣2a）C．（﹣2a+b）（﹣2a﹣b）D．（2a﹣b）﹣（2a﹣b）2．下面四个图中，∠1=∠2一定成立的是（）A． B． C． D．3．已知一个角的补角等于这个角的余角的4倍，则这个角的度数是(

)A．30° B．60° C．90° D．120°4．以下命题是假命题的是（）A．对顶角相等B．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行C．两直线被第三条直线所截，内错角相等D．邻补角是互补的角5．一副直角三角板如图放置，其中，，，点F在CB的延长线上若，则等于（）A．35° B．25° C．30° D．15°6．如果，则的值为（）A． B． C． D．7．若二元一次方程组的解是二元一次方程的一个解，则为（）A．3 B．5 C．7 D．98．下列命题：①一个三角形中至少有两个锐角，②如果两个角是内错角，那么这两个角的平分线互相平行，③如果为实数，那么，真命题是（）A．① B．②③ C．①②③ D．①②9．在平面直角坐标系中，点M（-1，1）在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限10．若3x2n-3+2=5是关于x的一元一次方程，则A．-9 B．-6 C．9 D．611．把一些图书分给几名同学，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人就分不到3本．这些图书有（

）A．23本

B．24本

C．25本

D．26本12．下列各数中：、、0.3010、、、、0.1010010001…（每个1后依次多1个0），其中是无理数的个数有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．用若干个形状、大小完全相同的长方形纸片围成正方形，4个长方形纸片围成如图1所示的正方形，其涂色部分的面积是25；8个长方形纸片围成如图2所示的正方形，其涂色部分的面积是16；12个长方形纸片围成如图3所示的正方形，其涂色部分的面积是_____________．14．如图，在ABC中，D是AB上的一点，且AD＝2BD，E是BC的中点，CD、AE相交于点F．若EFC的面积为1，则ABC的面积为_____．15．如图，在中，，和的平分线交于点，得；和的平分线交于点，得和的平分线交于点，则__________度．16．若的小数部分为，整数部分为，则的值为_____________．17．如图，两个正方形的边长分别为a、b，如果a＋b＝7，ab＝10，则阴影部分的面积为____．三、解答题（本大题共7小题，共64分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18．（5分）[知识生成]通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．例如：如图①是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．请解答下列问题：（1）图②中阴影部分的正方形的边长是________________；（2）请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积：方法1:________________________；方法2：_______________________；（3）观察图②，请你写出（a+b）2、、之间的等量关系是____________________________________________；（4）根据（3）中的等量关系解决如下问题:若，，则=[知识迁移]类似地，用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式．（5）根据图③，写出一个代数恒等式：____________________________；（6）已知，，利用上面的规律求的值．19．（5分）操作与探索：已知点O为直线AB上一点，作射线OC，将直角三角板ODE放置在直线上方(如图①)，使直角顶点与点O重合，一条直角边OD重叠在射线OA上，将三角板绕点O旋转．（1）当三角板旋转到如图②的位置时，若OD平分∠AOC，试说明OE也平分∠BOC；（2）若OC⊥AB，垂足为点O(如图③)，请直接写出与∠DOB互补的角；（3）若∠AOC=135°(如图④)，三角板绕点O按顺时针从如图①的位置开始旋转，到OE边与射线OB重合结束.请通过操作，探索：在旋转过程中，∠DOB∠COE的差是否发生变化？若不变，请求出这个差值；若变化，请用含有n(n为三角板旋转的度数)的代数式表示这个差．20．（8分）（1）求x的值：2(x﹣1)3＝﹣16；（2）计算：．21．（10分）阅读材料：求1+2+22+23+24+…+22017的值．解：设S=1+2+22+23+24+…+22017，将等式两边同时乘以2得：2S=2+22+23+24+…+22017+22018将下式减去上式得2S-S=22018-1即S=22018-1即1+2+22+23+24+…+22017=22018-1请你仿照此法计算：(1)1+2+22+23+…+1=_____；(2)1+5+52+53+54+…+5n(其中n为正整数)；(3)1+2×2+3×22+4×23+…+9×28+10×1．22．（10分）某同学在甲乙两家超市发现他看中的一套运动服的单价相同，书包单价也相同．运动服和书包单价之和是452元，且运动服的单价比书包单价的4倍少8元．（1）求该同学看中的运动服和书包的单价各是多少元？（2）某一天该同学上街，恰好赶上商家促销，甲超市所有商品打八折销售，乙超市全场每购满100元返购物券30元销售(不足100元不返券，购物券全场通用)，但他只带了400元钱，如果他只在一家超市购买看中的这两样物品，请说明他能在哪一家购买？若两家都可以选择，在哪一家购买更省钱？23．（12分）“双11”期间，某个体户在淘宝网上购买某品牌A、B两款羽绒服来销售，若购买3件A，4件B需支付2400元，若购买2件A，2件B，则需支付1400元．（1）求A、B两款羽绒服在网上的售价分别是多少元？（2）若个体户从淘宝网上购买A、B两款羽绒服各10件，均按每件600元进行零售，销售一段时间后，把剩下的羽绒服全部6折销售完，若总获利不低于3800元，求个体户让利销售的羽绒服最多是多少件？

参考答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、B【解析】

利用平方差公式的结构特征判断即可．【详解】各式不能使用平方差公式的是（-2a+b）（b-2a），故选B．【点睛】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．2、D【解析】

根据图形直接分析得出即可．【详解】解：A、∠1可能大于、小于、等于∠2，故此选项错误；B、∠1可能大于、小于、等于∠2，故此选项错误；C、∠1可能大于、小于、等于∠2，故此选项错误；D、∠1=∠2，对顶角相等，故此选项正确；故选：D．【点睛】此题主要考查了对顶角的定义，利用图形正确判定两角的关系是解题关键．3、B【解析】

设这个角为x°，由题意得：180−x=4(90−x)，解得：x=60.故答案为B.4、C【解析】分析：对四个选项逐一判断后即可得到答案．详解：A.对顶角相等，正确，是真命题；B.经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，正确，是真命题；C.两直线平行，内错角相等，错误，是假命题；D.邻补角是互补的角，正确，是真命题；故选C.点睛：考查命题与定理，判断为真的命题就是真命题，判断为假的命题就是假命题.5、D【解析】

直接利用三角板的特点，结合平行线的性质得出∠BDE=45°，进而得出答案．【详解】解：由题意可得：∠EDF=30°，∠ABC=45°，

∵DE∥CB，

∴∠BDE=∠ABC=45°，

∴∠BDF=45°-30°=15°．

故选D．【点睛】此题主要考查了平行线的性质，根据平行线的性质得出∠BDE的度数是解题关键．6、C【解析】

根据平方差公式把化简，然后两边同时开平方即可求出的值．【详解】∵，∴(2a+2b)2-9=40，∴(2a+2b)2=49，∴2a+2b=±7，∴=．故选C．【点睛】本题考查了平方差公式，利用平方根的意义解方程，根据平方差公式得到(2a+2b)2=49是解答本题的关键．7、C【解析】

先用含a的代数式表示x、y，即解关于x、y的方程组，再代入中即可求解.【详解】解：解方程组，得，把x=2a，y=a代入方程，得，解得：a=7.故选C.【点睛】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解的概念，求解的关键是先把a看成已知，通过解关于x、y的方程组，得到x、y与a的关系.8、A【解析】

根据三角形的内角和定理、平行线的判定、绝对值定义进行判断即可．【详解】①一个三角形中至少有两个锐角，根据三角形的内角和定理，一个三角形最多有一个直角或钝角，所以至少有两个锐角.故是真命题；②如果两个角是内错角，那么这两个角的平分线互相平行，此命题成立需要加上，这两个角是平行线的内错角，才能成立，是假命题；③如果为实数，那么，故③为假命题.故选A.【点睛】此题主要考查了命题与定理，熟练掌握相关的定理是解题关键．9、B【解析】

根据各象限内点的坐标特征解答．【详解】解：点M（-1，1）在第二象限．故选：B．【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．10、A【解析】

只含有一个未知数,并且含有未知数的式子都是整式,未知数的次数是1,这样的方程叫做一元一次方程,通常形式是ax+b=0a,b为常数,且a≠0，根据一元一次方程定义可得【详解】解：由题意得：2n-3=1解得：n=2，则故选：A.【点睛】此题主要考查了一元一次方程的定义，掌握判断是否为一元一次方程的条件，必须注意-3n11、D【解析】

设共有x名学生,根据每人分3本,那么余8本,可得图书共有本,再由每名同学分5本,那么最后一人就分不到3本,可得出不等式,解出即可.【详解】:解：设共有x名学生,则图书共有本,

由题意得,,

解得:5<x<6.5,

为非负整数,

.

书的数量为:.

故选：D.【点睛】本题考查了列一元一次不等式组解实际问题的运用,一元一次不等式组的解法的运用,解答时根据题意中的不相等关系建立不等式组是关键.12、B【解析】

根据无理数的定义，可得答案．【详解】是有理数，是无理数，0.3010是有理数，是有理数，是有理数，是无理数，0.1010010001…（每个1后依次多1个0）是无理数，共3个无理数故选B．【点睛】本题考查了无理数，熟练掌握无理数的概念是解题的关键．二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13、1【解析】

设长方形纸片的长为x，宽为y，根据题意列出方程组求出x,y的值，则图3的涂色部分的边长可求，进而面积可求．【详解】∵图1所示的正方形其涂色部分的面积是25，图2所示的正方形其涂色部分的面积是16∴图1涂色的正方形边长为5，图2涂色的正方形边长为4，设长方形纸片的长为x，宽为y，根据题意有解得∴图3涂色的正方形的边长为，面积为故答案为：1．【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用，能够根据题意列出二元一次方程组是解题的关键．14、1．【解析】

连接BF，如图，根据三角形面积公式，利用AE为中线得S△ABE＝S△ACE，S△BEF＝S△CEF＝1，所以S△ABF＝S△ACF，设BDF的面积为S，则ADF的面积为2S，ACF的面积为3S，利用S△ADC＝2S△BCD得到2S+3S＝2（S+1+1），然后求得S后计算ABC的面积即可．【详解】解：如图，连接BF，∵AE为中线，∴S△ABE＝S△ACE，S△BEF＝S△CEF＝1，∴S△ABF＝S△ACF，设BDF的面积为S，则ADF的面积为2S，ACF的面积为3S，∵S△ADC＝2S△BCD，∴2S+3S＝2（S+1+1），解得S＝，∴ABC的面积＝2S+3S+S+1+1＝6S+2＝6×+2＝1．故答案为：1．【点睛】本题是三角形的面积问题，考查了三角形面积与底和高的关系，做好本题要知道以下内容：①两个同高的三角形的面积的比等于对应底的比；②三角形的中线将三角形分成了两个面积相等的三角形，作出正确的辅助线以及熟练掌握相关知识是解决本题的关键．15、【解析】

利用角平分线的性质，三角形外角的性质，易证，进而可求，由于，以此类推即可得出答案．【详解】∵平分,平分，．∵，即，∴．∵，，．同理可得∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查角平分线的定义及三角形外角的性质，掌握角平分线的定义及三角形外角的性质并找出规律是解题的关键．16、【解析】

根据，可得a、b的值，代入代数式中利用平方差公式计算即可得答案．【详解】解：∵，∴，∴，，∴【点睛】本题考查了估算无理数的大小和平方差公式的应用，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题．17、【解析】

由大三角形面积减去小三角形面积表示出阴影部分面积，将a+b与ab的值代入计算即可求出答案．【详解】解：根据题意得：当a+b=7，ab=10时，S阴影=a2-b（a-b）=a2-ab+b2=[（a+b）2-2ab]-ab=（72-2×10）-×10=故答案为：．【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，表示出阴影部分面积是解题的关键．三、解答题（本大题共7小题，共64分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18、（1）a-b；（2）；；（3）；（4）14；（5）（a+b）3=a3+b3+3a2b+3ab2；（6）1．【解析】

（1）由图直接求得边长即可，（2）已知边长直接求面积，阴影面积是大正方形面积减去四个长方形面积，可得答案，（3）利用面积相等推导公式；（4）利用（3）中的公式求解即可，（5）利用体积相等推导；（6）应用（5）中的公式即可．【详解】解：（1）由图直接求得阴影边长为a-b；故答案为：a-b；（2）方法一：已知边长直接求面积为；方法二：阴影面积是大正方形面积减去四个长方形面积，∴面积为；故答案为；；（3）由阴影部分面积相等可得；故答案为：（4）由，可得，∵，∴，∴；故答案为；（5）方法一：正方体棱长为a+b，∴体积为，方法二：正方体体积是长方体和小正方体的体积和，即，∴；故答案为；（6）∵；将a+b=3，ab=1，代入得：；【点睛】本题考查完全平方公式的几何意义；同时考查对公式的熟练的应用，能够由面积相等，过渡到利用体积相等推导公式是解题的关键．19、（1）证明见解析；（2）∠AOD、∠COE；（3）①若n≤45°，∠DOB∠COE=135°，②若n＞45°，∠DOB∠COE=225°2n．【解析】

（1）由OD平分∠AOC可得∠AOD=∠COD，由∠DOE=90°可得∠AOD+∠EOB=90°，∠COD+∠COE=90°，即可证得结论；（2）由OC⊥AB可得∠AOD+∠COD=90°，由∠DOE=90°可得∠COD+∠COE=90°，即可得到∠AOD=∠COE，从而可以求得与∠DOB互补的角；（3）由于旋转45°时，OE与OC重合，故要分n≤45°与n＞45°两种情况分析．【详解】解：（1）∵OD平分∠AOC∴∠AOD=∠COD∵∠DOE=90°∴∠AOD+∠EOB=90°，∠COD+∠COE=90°∴∠COE=∠EOB∴OE也平分∠BOC；（2）∵OC⊥AB，∠DOE=90°∴∠AOD+∠COD=90°，∠COD+∠COE=90°∴∠AOD=∠COE∴与∠DOB互补的角为∠AOD、∠COE；（3）①若n≤45°，∠DOB∠COE=（180°-n）-（45°-n）=180°-n-45°+n=135°，②若n＞45°，∠DOB∠COE=（180°-n）-（n-45°）=180°-n-n+45°=225°2n．【点睛】本题考查旋转的性质，角平分线的性质，互补的定义，同角的余角相等，解答本题的关键是注意直角三角板的问题往往应用到同角的余角相等的知识，同时熟记旋转对应边是夹角是旋转角．20、（1）x＝﹣1；（2）1．【解析】

（1）利用立方根的性质进行计算即可；（2）首先利用乘法分配律计算乘法，再算加减即可．【详解】解：（1）2(x﹣1)3＝﹣16，(x﹣1)3＝﹣8，x﹣1＝﹣2，x＝﹣1；（2）原式＝3+1＝1．【点睛】此题主要考查了实数运算，关键是掌握立方根的性质以及二次根式的运算法则．21、(2)220-2；(2)；(3)9×220+2．【解析】

（2）根据题目中材料可以得到用类比的方法得到2+2+22+23+…+2的值；（2）根据题目中材料可以得到用类比的方法得到2+5+52+53+54+…+5n的值．（3）根据题目中的信息，运用类比的数学思想可以解答本题．【详解】解：（2）设S=2+2+22+23+…+2，将等式两边同时乘以2得：2S=2+22+23+24+…+2+220，将下式减去上式得2S-S=220-2，即S=220-2，即2+2+22+23+…+2=220-2．故答案为220-2；（2）设S=2+5+52+53+54+…+5n，将等式两边同时乘以5得：5S=5+52+53+54+55+…+5n+5n+2，将下式减去上式得5S-S=5n+2-2，即S=，即2+5+52+53+54+…+5n=；（3）设S=2+2×2+3×22+4×23+…+9×28+20×2，将等式两边同时乘以2得：2S=2+2×22+3×23+4×24+…+9×2+20×220，将上式减去下式得-S=2