信号与系统(郑君里)

§1.5信号的分解

§1.6系统模型及其分类

§1.7

线性时不变系统

§1.8

系统分析方法青岛大学信息工程学院第一章绪论第一页，共102页。本章学习要点初步认识本学科领域的一些名词术语；学习信号运算规律，熟悉表达式与波形的对应关系；在先修课程的基础上，进一步理解冲激信号的特性与应用背景；初步了解系统的方框图表示方法；了解一些在本课程研究过程中将要采用的主要方法和手段。第二页，共102页。§1.1信号与系统信号(signal)系统（system）信号理论与系统理论第三页，共102页。信号(Signal)消息（Message）：在通信系统中，一般将语言、文字、图像或数据统称为消息。信息（Information）：一般指消息中赋予人们的新知识、新概念，定义方法复杂，将在后续课程中研究。信号（Signal）：指消息的表现形式与传送载体。信号是消息的表现形式与传送载体，消息是信号的传送内容。例如电信号传送声音、图像、文字等。电信号是应用最广泛的物理量，如电压、电流、电荷、磁通等。第四页，共102页。信号实例十字路口的红绿灯—光信号，指挥交通；电视机天线接受的电视信息—电信号；广告牌上的文字、图象信号等等。信号我们并不陌生。如刚才铃声—声信号，表示该上课了;第五页，共102页。系统(System)系统（system）：由若干相互作用和相互依赖的事物组合而成的，具有特定功能的整体。如太阳系、通信系统、控制系统、经济系统、生态系统、计算机系统等。信号、电路、系统之间有着密切关系。系统可以看作是变换器、处理器。电系统具有特殊的重要地位，某个电路的输入、输出是完成某种功能，如微分、积分、放大，也可以称系统。在电子技术领域中，“系统”、“电路”、“网络”三个名词在一般情况下可以通用。第六页，共102页。1、信号必定是由系统产生、发送、传输与接收，离开系统没有孤立存在的信号；

2、系统的重要功能就是对信号进行加工、变换与处理，没有信号，系统的存在就没有意义。

系统的基本作用是对输入信号进行加工和处理，将其转换为所需要的输出信号。信号与系统的关系第七页，共102页。信号与系统问题无处不在通信方面古老通信方式：烽火、旗语、信号灯近代通信方式：电报、电话、无线通讯现代通信方式：计算机网络通讯、视频电视传播、卫星传输、移动通讯第八页，共102页。信号作用于系统产生响应举例：心电图机心电图机心脏跳动心电图波形第九页，共102页。信号作用于系统产生响应举例：汽车系统&照相机系统

汽车脚压力汽车制动照相机光信号像片第十页，共102页。信号理论与系统理论信号理论系统理论信号分析：研究信号的基本性能，如信号的描述、性质等。信号传输（包含信号交换）信号处理系统分析：给定系统，研究系统对于输入激励所产生的输出响应。系统综合：按照给定的需求设计（综合）系统。本课程重点讨论信号的分析、系统的分析，分析是综合的基础。第十一页，共102页。§1.2信号的描述和分类信号的描述信号的分类典型确定性信号介绍青岛大学信息工程学院第十二页，共102页。一．信号的描述描述信号的基本方法：数学表达式，波形。其他方法：频谱分析、正交变换等。第十三页，共102页。二．信号的分类信号的分类方法很多，可以从不同的角度对信号进行分类。按实际用途划分：电视信号雷达信号控制信号通信信号广播信号……按所具有的时间特性划分第十四页，共102页。1．确定性信号和随机信号表示为一确定的时间函数，对于指定的某一时刻t，可确定一相应的函数值f(t)。若干不连续点除外。根据信号随时间的变化规律分为：确定性信号随机信号伪随机信号貌似随机而遵循严格规律产生的信号（伪随机码）。

无法用明确的数学关系式表达的信号，具有未知预测的不确定性，只能用概率统计方法由过去估计未来或找出某些统计特征量。第十五页，共102页。2．周期信号和非周期信号瞬态信号：除准周期信号外的一切可以用时间函数描述的非周期信号。确定性信号又可分为周期信号和非周期信号：第十六页，共102页。

两个正弦信号的叠加(有公共周期)

两个正弦信号的叠加(无公共周期)第十七页，共102页。3．连续信号和离散信号连续时间信号：信号存在的时间范围内，任意时刻都有定义（即都可以给出确定的函数值，可以有有限个间断点）。用t表示连续时间变量。离散时间信号：在时间上是离散的，只在某些不连续的规定瞬时给出函数值，其他时间没有定义。用n表示离散时间变量。nO12f(n)f(t)tO第十八页，共102页。4．模拟信号，抽样信号，数字信号数字信号：时间和幅值均为离散的信号。主要讨论确定性信号。先连续，后离散；先周期，后非周期。模拟信号：时间和幅值均为连续的信号。抽样信号：时间离散的，幅值连续的信号。量化抽样第十九页，共102页。时间轴幅度轴连续离散连续模拟信号抽样信号离散量化信号数字信号统称连续时间信号离散时间信号第二十页，共102页。判断信号性质判断下列波形是连续时间信号还是离散时间信号，若是离散时间信号是否为数字信号？连续信号离散信号离散信号数字信号第二十一页，共102页。5．一维信号和多维信号一维信号：

只由一个自变量描述的信号，如语音信号。多维信号：

由多个自变量描述的信号，如图像信号。第二十二页，共102页。三．几种典型确定性信号5.钟形脉冲函数(高斯函数)1.指数信号2.正弦信号3.复指数信号(表达具有普遍意义)3.抽样信号(SamplingSignal)信号的表示函数表达式波形第二十三页，共102页。重要特性：其对时间的微分和积分仍然是指数形式。1．指数信号单边衰减指数信号通常把称为指数信号的时间常数，记作,代表信号增长或衰减速度，越大，指数信号增长或衰减的速度越慢。l

指数衰减,l

指数增长l

直流(常数),KO第二十四页，共102页。2．正弦信号振幅：K

周期：频率：f

角频率：初相：衰减正弦信号：

第二十五页，共102页。欧拉(Euler)公式

重要特性：其对时间的微分和积分仍然是同频率的正弦信号。第二十六页，共102页。3．复指数信号讨论第二十七页，共102页。4．抽样信号(SamplingSignal)

性质①②③④⑤⑥第二十八页，共102页。5．钟形脉冲函数(高斯函数)在随机信号分析中占有重要地位。第二十九页，共102页。§1.3信号的运算信号的自变量的变换平移反褶尺度一般情况微分和积分两信号相加或相乘青岛大学信息工程学院第三十页，共102页。一．信号的自变量的变换（波形变换）1.信号的移位2.信号的反褶3.信号的展缩（尺度变换）4.一般情况第三十一页，共102页。1．信号的移位例：<0，右移(滞后)>0，左移(超前)宗量相同，函数值相同，求新坐标f(t+1)的波形？第三十二页，共102页。2．反褶例：以纵轴为轴折叠，把信号的过去与未来对调。

第三十三页，共102页。3．信号的展缩(ScaleChanging)波形的压缩与扩展，标度变换宗量相同，函数值相同求新坐标tf(t)t/2f(t/2)tf(t/2)010101T2T22T2时间尺度压缩：,波形扩展第三十四页，共102页。f(t)f(2t)t2t，时间尺度增加，波形压缩。宗量相同，函数值相同求新坐标tf(t)2tf(2t)tf(2t)010101T2T2T/22第三十五页，共102页。比较三个波形相似，都是t的一次函数。但由于自变量t的系数不同，则达到同样函数值2的时间不同。时间变量乘以一个系数等于改变观察时间的标度。第三十六页，共102页。4．一般情况注意！先展缩：

a>1，压缩a倍；a<1，扩展1/a倍

后平移：

+，左移b/a单位；－，右移b/a单位

一切变换都是相对t而言最好用先展缩后平移的顺序

加上倒置：

第三十七页，共102页。例题解:验证：已知f(t)，求f(3t+5)。宗量t宗量3t+5函数值t=-13t+5=-1，t=-21t=03t+5=0，t=-5/31t=13t+5=1，t=-4/30计算特殊点X时移尺度变换尺度变换时移第三十八页，共102页。二．微分和积分冲激信号第三十九页，共102页。三．两信号相加和相乘同一瞬时两信号对应值相加（相乘）。第四十页，共102页。信号运算的三种类型：（1）信号自变量的改换：移位、反褶与尺度变换；（2）信号自身整体的运算：幅度比例、微分和积分；（3）两信号之间的运算：相加、相乘、卷积和相关。第四十一页，共102页。§1.4阶跃信号和冲激信号青岛大学信息工程学院第四十二页，共102页。

函数本身有不连续点(跳变点)或其导数与积分有不连续点的一类函数统称为奇异信号或奇异函数。主要内容：单位斜变信号单位阶跃信号单位冲激信号冲激偶信号本节介绍第四十三页，共102页。一．单位斜变信号1．

定义3．三角形脉冲由宗量t-t0=0可知起始点为2．有延迟的单位斜变信号第四十四页，共102页。二．单位阶跃信号1.定义宗量<0

函数值为0由宗量，函数有断点，跳变点宗量>0

函数值为12.有延迟的单位阶跃信号第四十五页，共102页。3．用单位阶跃信号描述其他信号其他函数只要用门函数处理(乘以门函数)，就只剩下门内的部分。

符号函数：(Signum)门函数：也称窗函数第四十六页，共102页。4．单位阶跃信号性质单位斜边信号的导数是单位阶跃信号单位阶跃信号表现出信号的单边特性第四十七页，共102页。三．单位冲激（难点）概念引出定义1定义2冲激函数的性质第四十八页，共102页。定义1：狄拉克(Dirac)函数函数值只在t=0时不为零；

积分面积为1；

t=0时，，为无界函数。

第四十九页，共102页。定义2面积1；脉宽↓；

脉冲高度↑；

则窄脉冲集中于t=0处。★面积为1★宽度为0★三个特点：第五十页，共102页。若面积为k，则强度为k。三角形脉冲、双边指数脉冲、钟形脉冲、抽样函数取0极限，都可以认为是冲激函数。描述时移的冲激函数第五十一页，共102页。冲激函数的性质1．抽样性2．奇偶性3．冲激偶4．标度变换第五十二页，共102页。抽样性(筛选性)对于移位情况：如果f(t)在t=0处连续，且处处有界，则有

第五十三页，共102页。2.

奇偶性偶函数第五十四页，共102页。3.冲激偶第五十五页，共102页。①②冲激偶的性质时移，则：

③④X第五十六页，共102页。4.对(t)的标度变换冲激偶的标度变换

第五十七页，共102页。例1-4-1X例1-4-2第五十八页，共102页。四.总结：R(t)，u(t)，(t)之间的关系

R(t)求 ↓↑ 积 (-<t<)

u(t)导 ↓↑ 分

(t)

第五十九页，共102页。冲激函数的性质总结（1）抽样性（2）奇偶性（3）比例性（4）微积分性质（5）冲激偶（6）卷积性质第六十页，共102页。§1.5信号的分解青岛大学信息工程学院第六十一页，共102页。序言

为了便于研究信号的传输和处理问题，往往将信号分解为一些简单(基本)的信号之和，分解角度不同，可以分解为不同的分量。直流分量与交流分量偶分量与奇分量脉冲分量实部分量与虚部分量正交函数分量利用分形理论描述信号第六十二页，共102页。一．直流分量与交流分量信号的平均功率=信号的直流功率+交流功率第六十三页，共102页。二．偶分量与奇分量对任何实信号而言：信号的平均功率=偶分量功率+奇分量功率第六十四页，共102页。例1-5-1求f(t)的奇分量和偶分量第六十五页，共102页。三．脉冲分量1．矩形窄脉冲序列此窄脉冲可表示为第六十六页，共102页。出现在不同时刻的，不同强度的冲激函数的和。第六十七页，共102页。2．连续阶跃信号之和

将信号分解为冲激信号叠加的方法应用很广，后面的卷积积分中将用到，可利用卷积积分求系统的零状态响应。第六十八页，共102页。四．实部分量与虚部分量瞬时值为复数的信号可分解为实虚部两部分之和。即实际中产生的信号为实信号，可以借助于复信号来研究实信号。共轭复函数第六十九页，共102页。五．正交函数分量

如果用正交函数集来表示一个信号，那么，组成信号的各分量就是相互正交的。把信号分解为正交函数分量的研究方法在信号与系统理论中占有重要地位，这将是本课程讨论的主要课题。我们将在第三章中开始学习。

第七十页，共102页。六．利用分形（fractal）理论描述信号分形几何理论简称分形理论或分数维理论；创始人为;分形是“其部分与整体有形似性的体系”；在信号传输与处理领域应用分形技术的实例表现在以下几个方面：图像数据压缩、语音合成、地震信号或石油探井信号分析、声纳或雷达信号检测、通信网业务流量描述等。这些信号的共同特点都是具有一定的自相似性，借助分性理论可提取信号特征，并利用一定的数学迭代方法大大简化信号的描述，或自动生成某些具有自相似特征的信号。示例第七十一页，共102页。§1.6系统模型及其分类描述系统的基本单元方框图系统的定义和表示系统的分类青岛大学信息工程学院第七十二页，共102页。一．信号的时域运算（基本元件）1.加法器2.乘法器3.标量乘法器（数乘器，比例器）4.微分器5.积分器6.延时器第七十三页，共102页。基本元件13.标量乘法器（数乘器，比例器）

2.乘法器

1.加法器

注意:

与公式中的卷积符号相区别，没有卷积器。

第七十四页，共102页。4.微分器

5.积分器

6.延时器

基本元件2第七十五页，共102页。请用积分器画出如下微分方程所代表的系统的系统框图。例1-6-1方程左端只保留输出的最高阶导数项积分n=2次，使方程左端只剩下r(t)项系统框图第七十六页，共102页。系统框图第七十七页，共102页。二．系统的定义和表示系统：由若干相互作用和相互依赖的事物组合而成的具有特定功能的总体，可以看作信号的变换器、处理器。系统模型：系统物理特性的数学抽象。系统的表示：数学表达式：系统物理特性的数学抽象。系统图：形象地表示其功能。第七十八页，共102页。三．系统的分类第七十九页，共102页。重点研究:确定性信号作用下的集总参数线性时不变系统。系统非时变时变非线性线性

若系统在不同的激励信号作用下产生不同的响应，则称此系统为可逆系统。若系统在t0时刻的响应只与t=t0和t<t0时刻的输入有关，为因果系统，否则，即为非因果系统。第八十页，共102页。§1.7

线性时不变系统线性系统与非线性系统时变系统与时不变系统线性时不变系统的微分特性因果系统与非因果系统青岛大学信息工程学院第八十一页，共102页。一．线性系统与非线性系统指具有线性特性的系统。

线性系统：线性:指均匀性，叠加性。叠加性：均匀性(齐次性)：1.定义第八十二页，共102页。线性特性第八十三页，共102页。先线性运算，再经系统＝先经系统，再线性运算2.

判断方法若注意：外加激励与系统非零状态单独处理。则系统是线性系统,否则是非线性系统。

第八十四页，共102页。例1-7-1判断下述微分方程所对应的系统是否为线性系统?分析：根据线性系统的定义，证明此系统是否具有均匀性和叠加性。可以证明：所以此系统为非线性系统。

请看下面证明过程系统不满足均匀性系统不具有叠加性第八十五页，共102页。证明均匀性设信号e(t)作用于系统，响应为r(t)原方程两端乘A：

(1),(2)两式矛盾。故此系统不满足均匀性当Ae(t)作用于系统时，若此系统具有线性，则第八十六页，共102页。证明叠加性(5)、(6)式矛盾，该系统为不具有叠加性假设有两个输入信号分别激励系统，则由所给微分方程式分别有：

当同时作用于系统时，若该系统为线性系统，应有(3)+(4)得第八十七页，共102页。二．时变系统与时不变系统一个系统，在零初始条件下，其输出响应与输入信号施加于系统的时间起点无关，称为非时变系统，否则称为时变系统。认识:电路分析上看:元件的参数值是否随时间而变

从方程看:系数是否随时间而变从输入输出关系看:1.定义第八十八页，共102页。时不变性第八十九页，共102页。先时移，再经系统＝先经系统，再时移2.

判断方法若则系统是非时变系统,否则是时变系统。第九十页，共102页。例1-7-2判断下列两个系统是否为非时变系统。1.系统的作用是对输入信号作余弦运算。所以此系统为时不变系统。系统1：系统2：第九十一页，共102页。此系统为时变系统。系统作用:输入信号乘cost系统2：第九十二页，共102页。例1-7-3判断系统是否为线性非时变系统。是否为线性系统？可见,先线性运算，再经系统＝先经系统，再线性运算,所以此系统是线性系统。第