中考第二次模拟考试《数学试题》含答案解析

中考模拟测试数学卷

学校班级姓名成绩

卷1（选择题，共42分）

一、选择题（本大题有16个小题、共42分.1~10小题各3分，11~16小题各2分在每小题给

出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.手机截屏显示吐鲁番盆地的海拔高度，它表示吐鲁番盆地（）

百度百科

吐鲁番盆

地，海

拔154米

A.高于海平面154米B.低于海平面-154米

C.低于海平面154米D.海平面154米以下

2.在正常情况下，射击时要保证瞄准的一只眼在准星和缺口确定的直线上，才能射中目标，这样做的依据是

（）

•缺口-准星---瞄准点呼

A两点之间线段最短B.两点确定一条直线

C三点确定一条直线D.四点确定一条直线

3.如图，在数轴上表示点P的倒数的点可能是（）

——D•-TC------P―A—•--B---

-2-10123

A.A点B.8点C.C点D.。点

4.如图所示,同一个平面内，直线以c相交，数据如图,若直线。〃匕，则直线氏c相交所成的锐角是（)

6.一张正方形纸片按图1、图2剪头方向依次对折后，再沿图3虚线裁剪得到图4,把图4展开铺平的图案

7.若a、人互为相反数，则+他？+6的值为（）

A.0B.3C.6D.

8.图2是图1所示正方体的平面展开图，若正方体上的A点在平面展开图上对应位置如图2所示，则正方体

上8点在平面展开图上的位置是（）

k-2

9.若两个点（4-2）,（%,4）均在反比例函数，=—的图象上，且则火的值可以是（)

X

A.4B.3C.2D.1

10.如图，A3C是圆。内接等边三角形，将AC绕点c旋转a得到C。，若CD是圆。的切线，则。的

度数可以是（）

A.30B.60C.90D.150

11.某学校为初三学生定制校服，对部分学生的服装型号做了调查，结果如下:

型号140150160170180

男生1118975

女生9121874

下列说法正确的是（）

A.男生服装型号的众数大于女生服装型号的众数

B.男生服装型号的中位数等于女生服装型号的中位数

C.男生服装型号众数小于女生服装型号的众数

D.男生服装型号的中位数大于女生服装型号的中位数

12.如图，已知菱形ABCO的面积为24,周长为20,点尸、。分别在边49、上，则的最小值为

)

C.8D.10

13.若化简（二--LF修-结果为，一,则“亚”是（）

（a+l）a+2a+\\-a

A.-aB.-bC.aD.b

14.如图.已知四边形ABCD是平行四边形，结合作图痕迹，下列说法不正确的是（）

A.EF与8。垂直

B.AG=CH

C.8。平分/ADC

D.若AGB的周长为4,则平行四边形ABC。的周长为8

15.己知一元二次方程的常数项被墨水污染，当此方程有实数根时，污染的常数项可以是（）

=0.

A.3B.2C.1D.0

16.如图，从等边aABC的三个顶点出发，向外分别引垂直于对边的射线，在射线上分别截取

51

AD=BE=CF=M，若三•"=1，则等边A3C的边长为（）

3DEF4

A.2B.3C.36D.6

卷n（非选择题，共78分）

二、填空题（本大题有3个小题，共12分.17〜18小题各3分；19小题有2个空，每空3分

把答案写在题中横线上）

17.计算卜2）x2|-l=.

18.^V18+\[a=V32>贝11。=.

19.如图，A8是直线MN上的两点，直线1卜b的初始位置与直线重合将h绕点A顺时针以每秒10。

的速度旋转，将L绕点B逆时针以每秒5。的速度旋转，且两条直线从重合位置同时开始旋转，设旋转时间

为〃秒（“是正整数）.当〃=1时，设4、4的交点为G；当〃=2时，设卜4的交点为。2；当〃=3时设4、/2

的交点为Cs……那么当”=1时，卜4相交所得的钝角是.当C”落在MN上方时，〃的最小

值是.

三、解答题(本大题共7个小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤)

20.嘉琪采用一种新的方法将/一4犬+3分解因式，过程如下：

x2-4x+3

=X2-2X2X+22-22+3①

=(X-2)2-1②

=(x-2+l)(x-2-l)(3)

=(x-l)(x-3)④

(1)③的变形依据是.

(2)仿照嘉琪的做法，分解因式Y-6X—7.

21.有四张完全相同的卡片，正面分别写有四个角度现将这四张卡片洗匀后，背面朝上;

(1)若从中任意抽取一张，求抽到锐角卡片的概率；

(2)若从中任意抽取两张，求抽到两张角度恰好互余卡片的概率;

22.有规律的一组数，部分数据记录如下：

第1个会第2个做第3个教第4个效第8个数-*"个数

-24-12—8—6-3...

(1)用含〃的代数式表示第n个数；

(2)若第〃个数大于-2,求〃的最小值；

(3)若第根个数比第2m个数小4,求m的值

23.如图，点A8分别在NOPE两边上，且PA=P8,以AB为直径作半圆。，点。是半圆。的中点

D

PBE

(1)连接AC、BC,求证：PAC^PBC；

(2)若NAPB=60。，Q4=4,求阴影部分面积

(3)若点。是△PAB的外心，判断四边形APBC的形状，并说明理由

24.如图，直线y=Ax+3(Z<0)与x轴和y轴分别交于点和点A,。点坐标为(4,2),将直线丁=依+3

在x轴下方的部分记作G,作G关于次轴的对称图形G]

(1)求A的坐标；

(2)若SABC=5,求％的值；

(3)若。经过点C，求火的值

25.如图，已知在A3C中，ZACB=9Q°,AB=2,ZB=30°,将ABC绕点。逆时针旋转a得到

£r>C(0°<«<180°),CO交直线48于M.发现：AC=_______・

「QX

---------—~-^8

Co

探究①：若M恰好是A3的中点，DE交AB于N,如图2,求的长；

探究②：在旋转过程中，当8M。是等腰三角形时，求点A所旋转的路径长(保留")

26.某企业对一种设备进行升级改造，并在一定时间内进行生产营销，设改造设备的台数为x,现有甲、乙

两种改造方案.

甲方案：升级后每台设备的生产营销利润为4000元，但改造支出费用Qi由材料费和施工费以及其他费用

三部分组成，其中材料费与x的平方成正比，施工费与x成正比，其他费用为2500元，（利润=生产营销利

润-改造支出费用）.设甲方案的利润为叱日（元），经过统计，得到如下数据：

改造设备台数X（台）2040

利润%1（元）95005500

乙方案：升级后每台设备的生产营销利润为3500元，但改造支出费用。乙与x之间满足函数关系式：

。乙=（1500+20a）x（a为常数，60<«<90）,且在使用过程中一共还需支出维护费用4/,（利润=生

产营销利润-改造支出费用-维护费用）.设乙方案的利润为明（元）.

（1）分别求出叫「也与x的函数关系式；

（2）若网口艺的最大值相等，求a的值；

（3）如果要将30台设备升级改造，请你帮助决策，该企业应选哪种方案，所获得的利润较大.

答案与解析

卷1（选择题，共42分）

一、选择题（本大题有16个小题、共42分.1~10小题各3分，11~16小题各2分在每小题给

出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.手机截屏显示吐鲁番盆地的海拔高度，它表示吐鲁番盆地（）

百度百科

吐鲁番盆

地，海

拔-154米

A.高于海平面154米B.低于海平面-154米

C.低于海平面154米D.海平面154米以下

【答案】C

【解析】

【分析】

利用正数和负数表示具有相反意义的量可得答案.

【详解】解：高于海平面记正，低于海平面记为负，所以吐鲁番盆地海拔-154米，表示吐鲁番盆地低于

海平面154米.

故选C.

【点睛】本题考查的是正数和负数，明确相反意义的量可以用正数和负数表示是解题关键.

2.在正常情况下，射击时要保证瞄准的一只眼在准星和缺口确定的直线上，才能射中目标，这样做的依据是

（）

1缺口-准星---时准点呼

A.两点之间线段最短B.两点确定一条直线

C.三点确定一条直线D.四点确定一条直线

【答案】B

【解析】

【分析】

根据直线的性质进行判断即可.

【详解】在正常情况下，射击时要保证瞄准的一只眼在准星和缺口确定的直线上，才能射中目标，这说明

了两点确定一条直线,

故选：B.

【点睛】本题主要考查了直线的性质，熟练掌握相关概念是解题关键.

3.如图，在数轴上表示点P的倒数的点可能是（）

DCPAB

-«----

-2-1012

A.A点B.3点C.。点D.。点

【答案】A

【解析】

【分析】

由图可得，点P在0到1之间且靠近1,再根据倒数的定义即可求解.

【详解】由图可得，点P在0到1之间且靠近1,则表示点P的倒数的点可能在1到2之间，即点A.

故选：A.

【点睛】本题考查数轴以及倒数的定义，熟练掌握基础知识是解题关键

4.如图所示,同一个平面内，直线以c相交，数据如图,若直线。〃匕，则直线氏c相交所成的锐角是（）

b

A.30B.40C.50D.70

【答案】c

【解析】

【分析】

如图，延长直线仄C,设两直线相交所成的锐角为/I,根据两直线平行，同旁内角互补即可求解.

【详解】解：如图，延长直线从C,设两直线相交所成的锐角为/I,

•..直线a〃人，

.".Zl+130°=180°,

.,.Zl=50°,

故直线从c相交所成的锐角是50。，

故答案为：C.

【点睛】本题考查了平行线的性质，熟知两直线平行，同旁内角互补是解题关键.

5.若（一2）晨（＜（一3）°,则a的值可以是（）

A.2TB.V2C.^5D.-32

【答案】A

【解析】

【分析】

根据乘方和零指数基的定义求得a的取值范围，再根据选项选出合适的数即可.

【详解】解：：（-2丫=—8,（—3）°=1,

—8＜。＜1

V2-'=pV2＞1，正＞1，-3?=-9,

的值可以是2一1，

故答案为：A.

【点睛】本题考查有理数乘方、算术平方根、立方根、负整数指数累以及零指数球的运算，熟练掌握各

自的性质是解题关键.

6.一张正方形纸片按图1、图2剪头方向依次对折后，再沿图3虚线裁剪得到图4,把图4展开铺平的图案

应是（)

【答案】D

【解析】

【分析】

根据轴对称的性质逐步还原即可.

【详解】解：将图4展开为图2的形状可得到一个圆形，将图2展开为图1的形状可得到两个圆，

故选：D.

【点睛】本题考查了轴对称性质，解决剪纸类问题时，动手操作会更加直观.

7.若。、匕互为相反数，则彷？+6的值为（）

A.0B.3C.6D.—6

【答案】C

【解析】

【分析】

根据题意化简原式可得，出（。+与+6,再根据互为相反数的两数和为0可得a+b=O,代入化简后的式子即可

求解.

【详解】解：b互为相反数，

a+b=O,

crb+ab1+6=ab(a+A)+6=6,

故答案为：C.

【点睛】本题考查相反数的定义及因式分解的应用，熟练掌握提公因式法分解因式是解题的关键.

8.图2是图1所示正方体的平面展开图，若正方体上的A点在平面展开图上对应位置如图2所示，则正方体

B

【答案】B

【解析】

【分析】

将各选项中的展开图折叠成正方体，然后进行判断.

【详解】解：由图1可知，点A,点B在斜对角的顶点上，

A.折叠后，点A和点B不在斜对角的顶点上，故错误；

B.折叠后，点A和点B的位置符合题意，故正确；

C.折叠后，点A和点B不在斜对角的顶点上，故错误；

D.折叠后，点A和点B不在斜对角的顶点上，故错误；

故答案为：B.

【点睛】本题考查正方体的展开图，根据展开图判断出点A和点B对应的位置是解题的关键.

k-2

9.若两个点（玉,一2）,（与,4）均在反比例函数y=——的图象上，且占＜々，则火的值可以是（）

X

A.4B.3C.2D.1

【答案】D

【解析】

【分析】

根据玉且一2<4可得反比例函数经过二、四象限，所以k—2<0,结合选项可得答案.

【详解】解：；不<刍且一2<4,

反比例函数图象经过二、四象限，

.,.k-2<0,即k<2,

；.k的值可能是1,

故选：D.

【点睛】本题主要考查反比例函数的图象和性质，解题的关键是推知该反比例函数图象所经过的象限.

10.如图，ABC是圆。内接等边三角形，将AC绕点。旋转a得到CD,若CD是圆。的切线，则a的

度数可以是（）

A.30B.60C.90D.150

【答案】B

【解析】

【分析】

连接OC,根据CD是圆。的切线可得/OCD是90。，再根据A3C是等边三角形，可得NOCA=30。，即

可得到NACD的度数.

【详解】解：如图，连接OC,

:CD是圆0的切线

ZOCD=90°,

VABC是等边三角形，

AZACB=60°,ZOCA=30°,

ZACD=90°-30°=60°.

即a的度数可以是60。.

故答案为：B.

【点睛】

本题考查切线的性质，旋转的定义以及等边三角形的性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键.

11.某学校为初三学生定制校服，对部分学生的服装型号做了调查，结果如下:

型号140150160170180

男生1118975

女生9121874

下列说法正确的是（）

A.男生服装型号的众数大于女生服装型号的众数

B.男生服装型号的中位数等于女生服装型号的中位数

C.男生服装型号的众数小于女生服装型号的众数

D.男生服装型号的中位数大于女生服装型号的中位数

【答案】C

【解析】

【分析】

根据众数和中位数的定义进行判断即可.

【详解】由表格数据可得：男生服装型号的众数为150,女生服装型号的众数为160,男生服装型号的中位

数为150：150=上0,女生服装型号的中位数160：160=[60,

男生服装型号的众数小于女生服装型号的众数，男生服装型号的中位数小于女生服装型号的中位数，

故答案为：C.

【点睛】本题考查求中位数和众数，将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数（或最中间

位置的两个数的平均数）叫做这组数据的中位数，在一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数.

12.如图，已知菱形ABC。的面积为24,周长为20,点尸、。分别在边A。、8C上，则的最小值为

)

24

A.—B.6C.8D.10

5

【答案】A

【解析】

【分析】

首先判断出当PQ是底边BC上的高时，PQ取最小值，再根据菱形的周长和面积公式计算.

【详解】解：由题意可知，当PQ是底边BC上的高时，PQ取最小值，

•.•菱形ABC。的面积为24,周长为20,

.•.BC=20+4=5,

24

；.PQ的最小值为：—,

故答案为：A.

【点睛】本题考查菱形的性质，熟练掌握菱形的周长和面积公式是解题关键.

13.若化简(2--一的结果为则“亚”是()

1)j6T"+2a+l\-a

A.-o.B.—bC.aD.b

【答案】D

【解析】

【分析】

根据题意列出算式，然后利用分式的混合运算法则进行计算.

【详解】解：由题意得

2

=--b-----a--b---b----a-=--b-------+---------a-=--b-+-a-b---b-(-a-+--l)=。

。+1/+2。+11—ci。+1(Q+1)-1-a。+1Q+1。+1

故选：D.

【点睛】本题考查/分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键.

14.如图.已知四边形ABCD是平行四边形，结合作图痕迹，下列说法不正确的是()

A.EF与5。垂直

B.AG=CH

C.6。平分NAOC

D.若AGB的周长为4,则平行四边形ABCD的周长为8

【答案】C

【解析】

【分析】

设EF与BD的交点为点O,由作图痕迹可得,直线EF是BD的垂直平分线,故A正确;证明ADOG丝Z\BOH,

得到GD=HB,进而可得B正确；求出平分ZGBC可得C错误；根据

AB+AG+BG=AB+AG+GD=AB+AD=4,可得平行四边形ABC。的周长为8,即D正确.

【详解】解：设EF与BD的交点为点0,由作图痕迹可得，直线EF是BD的垂直平分线，

...EF与8。垂直，A选项说法正确；

；AD〃BC,EF是BD的垂直平分线，

.\ZGDB=ZDBH,DO=BO,

又•.,NGOD=NBOH,

.".△DOG^ABOH,

/.GD=HB,

AAG=CH,B选项说法正确；

：EF垂直平分BD,

，BG=DG,

/.ZGBD=ZGDB,

又：/GDB=NDBH,

NGBD=NDBH,

8。平分/GBC,

,/NABC=ZADC/ZGBC,

，C选项说法错误；

AGB的周长为4,BG=GD,

AB+AG+BG=AB+AG+GD=AB+AD=4,

平行四边形ABC。的周长=2x(AB+AD)=8,D选项说法正确,

故选：C.

【点睛】本题考查尺规作图，线段垂直平分线的性质，平行四边形的性质以及全等三角形的判定和性质等,

灵活运用各性质是解题的关键.

15.已知一元二次方程的常数项被墨水污染，当此方程有实数根时，污染的常数项可以是（）

A.3B.2C.1D.0

【答案】D

【解析】

【分析】

设此方程为3X2+2X+C=0,当方程有实数根时ANO,代入计算可得c的取值范围，结合选项即可求解.

【详解】解：设此方程为3X2+2X+C=O,

•••方程有实数根，

A=22-4X3C>0,

解得：C<|，

故选：D.

【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程or?+笈+c=o（aHO）的根与△=〃—4ac有如下关系:

当」〉0时，方程有两个不相等的实数根；当A=0时，方程有两个相等的实数根；当/<0时，方程没有

实数根.

16.如图，从等边aABC的三个顶点出发，向外分别引垂直于对边的射线，在射线上分别截取

51

AD=BE=CF=M，若三•"=1，则等边A3C的边长为（）

3DEF4

A.2B.3C.36D.6

【答案】B

【解析】

【分析】

QA1

延长DA、EB、FC交于一点0,根据等边三角形的性质证明AABCsADEE求出相似比为7T工=:，进

0D2

而得到0A=AD=g,然后由重心的性质求出AG,再利用三角函数求出AB即可.

【详解】解：由题意得，延长DA、EB、FC交于一点0,则点O为等边AABC的垂心，同时也是等边^ABC

的重心和外心，

AOA=OB,

VAD=BE,

.0A_OB

99'OD~~OEf

VZBOA=ZEOD,

AABOA^AEOD,

•_O_A___O__B___A__B_

OD~OE~DE'

OA0CACOB_OC_BC

同理可得:

OD-OFDF0E~OF~EF

.ABACBC

"~DE~~DF~~EF

/.△ABC^ADEF,

..SABC=1

•S~4'

°DEFf

*OA__1

••,

OD2

OA=AD=&，

延长DA交BC于G,贝|JAG=』OA=辿，

22

「△ABC是等边三角形，

AZBAG=30°,

3百

AG

AB

cos30°

2

故选：B.

【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质以及解直角三角形等知识，通过作

辅助线证明△ABCsaDEF是解题的关键.

卷n（非选择题，共78分）

二、填空题（本大题有3个小题，共12分.17〜18小题各3分；19小题有2个空，每空3分

把答案写在题中横线上）

17.计算|（一2）X2|-1=.

【答案】3

【解析】

【分析】

根据绝对值的意义和有理数的运算法则计算即可.

【详解】解：|(—2)x]—l=T—1=4—1=3

故答案为：3.

【点睛】本题考查绝对值的意义和有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键.

18.若瓦+石=病，则。=.

【答案】2

【解析】

【分析】

先把底和辰化为最简二次根式，可得3&+G=40，再根据二次根式的减法法则可得&=0，

即可求解.

【详解】•••加=3及，病=4夜

3及+&=40

\[a=5/2，即a=2,

故答案为：2.

【点睛】本题考查二次根式的性质和加减运算，正确化简二次根式是解题关键.

19.如图，48是直线MN上的两点，直线1卜b的初始位置与直线重合将h绕点A顺时针以每秒10。

的速度旋转，将L绕点B逆时针以每秒5。的速度旋转，且两条直线从重合位置同时开始旋转，设旋转时间

为几秒(〃是正整数).当〃=1时，设八乙的交点为G；当〃=2时，设小4的交点为。2；当〃=3时设卜/2

的交点为C3……那么当〃=1时，h4相交所得的钝角是.当C”落在MN上方时，〃的最小

值是.

【答案】(1).165°(2).13

【解析】

【分析】

根据题意利用三角形内角和定理求解即可；求出4、4第一次平行时旋转的时间即可得出答案.

【详解】解：由题意得：当〃=1时，h绕点A顺时针旋转了10。，12绕点B逆时针旋转了5。，

AZC,AB=10°,ZC,BA=5°,

4、，2相交所得的钝角NC|=180。-10。-5。=165。；

设小4第一次平行时，旋转了X秒，则此时h旋转了10X度，12旋转了5X度，

10x+5x=180,

解得：x=12,

当C„落在MN上方时，〃的最小值是13,

故答案为：165。，13.

【点睛】本题考查了三角形内角和定理以及平行线的性质，正确理解题意是解题的关键.

三、解答题（本大题共7个小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤）

20.嘉琪采用一种新的方法将Y一4x+3分解因式，过程如下：

炉—4x+3

=X2-2X2X+22-22+3①

=(x-2『-l②

=(x-2+l)(x-2-l)(3)

=(%-1)(%-3)④

（1）③的变形依据是.

（2）仿照嘉琪的做法，分解因式炉―6x-7.

【答案】（1）利用平方差公式因式分解；（2）（x+l）（x—7）

【解析】

【分析】

（1）根据利用平方差公式分解因式可得答案；

（2）将原式变形为/一61+32-32—7，再利用公式法进行因式分解.

【详解】解：（1）③的变形依据是利用平方差公式因式分解；

(2)X2-6X-1，

=X2-6X+32-32-7,

=(X-3)2-42,

=(x-3+4)(x-3-4),

=(x+l)(x-7).

【点睛】本题考查运用公式法进行因式分解，解题的关键是理解材料中因式分解的方法和步骤，正确的运

用乘法公式.

21.有四张完全相同的卡片，正面分别写有四个角度现将这四张卡片洗匀后，背面朝上；

36*54°144°M0

(1)若从中任意抽取一张，求抽到锐角卡片的概率；

(2)若从中任意抽取两张，求抽到两张角度恰好互余卡片的概率；

31

【答案】(1)-；(2)-

46

【解析】

【分析】

(1)利用四张卡片有三张锐角卡片即可得出答案；

(2)利用列表法得出多少可能结果，找到两张角度恰好互余卡片的可能结果即可得出答案.

【详解】解：(1)一共有四张卡片，其中写有锐角的卡片有三张，

3

因此尸(抽到写有锐角卡片)=-

(2)列表如下:

36°54°144°64°

36°90°180°100°

54°90°198°118°

144°180°198°208°

64°100°118°208°

一共有12种等可能结果，其中互余的有两种等可能结果

所以(抽到两张角度恰好互余卡片)=1

【点睛】本题考查了概率的求法，根据题意得出总数与可能的结果数是解题的关键.

22.有规律的一组数，部分数据记录如下：

第.1个会第2个教第3个数第4个新•••第8个政“・*"个教

-24-12—8-6-3

(1)用含〃的代数式表示第n个数：

(2)若第〃个数大于-2,求〃的最小值；

⑶若第6个数比第2m个数小4,求机的值

24

【答案】(1)----；(2)〃的束小值为13；(3)m=3

n

【解析】

【分析】

(1)观察数据可知，序号和对应数的乘积等于一24,据此可得答案;

(2)求出第12个数是一2,根据这组数自左向右逐渐增大可得答案;

(3)根据题意列出分式方程，解分式方程并检验即可.

【详解】解：(1)观察数据可知，序号和对应数的乘积等于一24,

.•.第〃个数为-2：

n

24

(2)当——=-2时，解得，;?=12,

n

由于这组数自左向右逐渐增大，

因此第〃个数大于-2时；〃的最小值为13；

24-24

(3)由题意得，一一+4=—,

m2m

解得：m=3,

经检验，机=3是原方程的解,

所以m=3.

【点睛】本题考查了数字类规律探索，解分式方程，根据所给数据得出规律是解题的关键.

23.如图，点分别在NOPE两边上，且PA=PB,以AB为直径作半圆。，点C是半圆。的中点

(1)连接AC、BC,求证：PAC^PBC；

⑵若NAP6=60°,R4=4,求阴影部分面积

(3)若点。是的外心，判断四边形APBC的形状，并说明理由

【答案】(1)见解析；(2)乃-2；(3)四边形PACB是正方形，理由见解析

【解析】

【分析】

(1)求出AC=6C,利用SSS即可证明PAC^PBC；

(2)首先证明AAPB是等边三角形，得到AB=4,然后根据扇形面积公式和等腰直角三角形的面积公式计

算即可；

(3)求出04=08=。尸=0C,证明P、0、C三点共线，可知ABLPC,即可得四边形PACB是正方形.

【详解】解：(1)•••点C是半圆。的中点，

AC^BC'

AC=BC,

又,：PA=PB,PC=PC,

：.PAC^PBC；

(2)VAC^BC>

•••ZAOC=ZBOC=90，

VZAPB=6Q°,PA=PB,

.,.△APB是等边三角形，

；.AB=PA=4,

OA=OC—2，

2

...阴影部分面积=90^"--"2-L1>2X2=T-2；

3602

(3)四边形PAC8是正方形，

理由：♦.,点。是△PA8的外心，

，OA=OB=OP,

•；OA=OC,

OA=OB=OP=OC»

VPA=PB,

.".ZAOP=90°,

又：NAOC=9(),

；.P、0、C三点共线,即ABJ_PC,

四边形PACB是正方形.

PH

【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，

扇形的面积计算，三角形的外接圆以及正方形的判定等知识，难度不大，熟练掌握基础知识是解题的关键.

24.如图，直线丁=丘+3（々<0）与无轴和>轴分别交于点8和点A,C点坐标为（4,2）,将直线丁=丘+3

在x轴下方的部分记作G,作G关于无轴的对称图形G.

（1）求A的坐标;

(2)若SABC=5,求k的值;

（3）若G］经过点。，求k的值

3s

【答案】⑴A（0,3）；（2）k=：⑶々=一彳

【解析】

【分析】

（1）求出当x=0时y的值，即可得到点A的坐标；

（2）分点8在点。左侧时和点8在点C右侧时两种情况，分别根据5即。=5列方程求出m,舍去不合题

意的值，然后即可求出k的值；

（3）求出C关于x轴的对称点为C'（4,—2）,当。（4,—2）在直线丁="+3上时，@经过点°,代入

C'（4,—2）即可求出k的值.

【详解】解：（1）在直线丁=丘+3（%<0）中，当x=0时，y=3,

/.A（0,3）；

（2）当点5在点。左侧时，如图，过点。作8,x轴于。，

•.•A(0,3),C(4,2),

.•.04=3,8=2,8=4,

设

则~SAOB-^CBD=^(3+2)X4~—x3x??/-—(4-m)x2=5,

解得：m=2,

将3(2,0)代入y=京+3(%<())中，得0=2女+3,

当点8在点。右侧时，如图，过点C作CE_Lx轴于E,

则形OACE+SCBE一SA。"=万（3+2）x4+/（，〃-4）x2-]x3x根=5,

解得：〃?=2（舍去），

3

综上所述，k=一一；

2

（3）•••（7关于x轴的对称点为。（4,一2）,

...当C（4,-2）在直线丁=区+3上时，5经过点C，

此时有—2=4左+3,

解得：k=。

【点睛】本题是一次函数综合题，考查了一次函数的图象和性质，坐标与图形性质以及轴对称的性质，熟

练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键.

25.如图，已知ABC中，ZACB=90°,AB=2,ZB=30°,将ABC绕点。逆时针旋转a得到

Er>C（0°<«<180°）,CO交直线48于M.发现：AC=.

探究①：若M恰好是AB的中点，DE交AB于N,如图2,求MN的长；

探究②：在旋转过程中，当8"。是等腰三角形时，求点A所旋转的路径长（保留乃）

1278

【答案】发现：1；探究①：MN=上_\；探究②：§万或§乃或可乃或

【解析】

【分析】

发现：根据直角三角形中30度所对的直角边等于斜边的一半可得答案；

探究①：根据直角三角形斜边上中线的性质可得CM=BM=1,N8CM=ZB=30,结合

NB=ND=30°可得NDNM=ND=30°,然后根据MN=DM=CD-CM进行计算；

探究②：分0°<a<90P时和9004a<180。时两种情况，在每种情况下再分时和0M=08时

两种情况，分别根据旋转的性质和等腰三角形的性质求出旋转角a,再根据弧长公式计算即可.

【详解】解：发现：由题意得AC=，A8=1；

2

探究①：；NACB=90°,M是斜边A8的中点，A3=2,AC=\,

CM=8W=1,BC=g，

，NBCM=NB=30，

•.•将ABC绕点。逆时针旋转a(0°a<180°)得到△EOC,

；•4B=ZD=3U,CD=BC=6

'：NBMC=NNMD,

NDNM=ND=30°,

•••MN=DM=CD-CM=百-1；

探究②：若0°<a<90°时，连接BO,由题意得CD=BC,

,/NDCB=a,

1QA-ca

：.NCDB=ZCBD=——-=90。——，

22

NDMB=a+30，

a

...当BM=5£>时，有NBDM=/DMB,即90--=a+30,

2

解得：a=40>

407rx12

.••点A所旋转的路径长为：一丽一=37；

a

当时，有NDMB=NDBM,即a+30°=90°------30°,

2

解得：a=20。，

点A所旋转的路径长为：2?：了=!乃；

1809

若90°V。<180。时，

NCDB=ZCBD=180~a=90,

22

当DM=DB时，有NV=NDBM=-ZCDB,

2

/.ZDBM=45--a,

4

•；ZDBM=30°-^90°_f]=-60°)

45°--a=--60°,

42

•••a=140°,

1AC\jrx17

...点A所旋转的路径长为：-k=77%，

1809

同理，当时，有a=160，

，点A所旋转的路径长为：,

1809

]278

综上所述，点A所旋转的路径长为：一万或一万或一万或

9999

【点睛】本题考查了旋转的性质、含30度角的直角三角形的性质、直角三角形斜边上中线的性质、等腰三

角形的判定和性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质以及弧长公式的应用等知识，其中探究②情况

较多，注意分类求解，避免遗漏.

26.某企业对一种设备进行升级改造，并在一定时间内进行生产营销，设改造设备的台数为