中考数学复习专练：圆的综合（二）

2021年备战中考复习数学小题(解答)专练：

圆的综合(二)

1如图，8。是0。的直径，过/点作。的垂线交。的延长线于点£,且。/平分N80R

(1)求证：〃是。。的切线；

(2)若zDBC=30°,DE=2cm,求第的长.

2.如图，48是。。的直径，AC1.AB,6c交。。于点。，点£在劣弧BD上,的延

长线交的延长线于点F,连接力£交8。于点G.

(1)求证:4AED=LCAD;

(2)若点£是劣弧8。的中点，求证：©=£G・£4;

(3)在(2)的条件下，若80=BF,止=2,求用的长.

3.如图，半径为7的。。上有一动点8,点力为半径Of上一点，且26最大为10,以

为边向夕M乍正方形ABCD，连接。£.

(1)请直接写出的长；

(2)过点，作AFI.OE,且AF=04,连接尸。，在点B的运动过程中,FD的长度会

发生变化吗？变化请说明理由，不变化请求出尸。的长；

(3)在(2)条件下，当点/,8,尸三点在一条直线上时，请直接写的长；

(4)在(2)条件下，请直接写出OF的最大值和最小值.

4.如图，在“8C中，AB^AC,以ZC为直径的。。与6c交于点。，DELAB,垂足为

E,的延长线与ZC的延长线交于点尸.

(1)求证：是。。的切线；

(2)若。。的半径为2,8£=1,求6的长.

5.如图，在平面直角坐标系中，点/的坐标为(6,0),点6的坐标为(0,2)，点例

从点/出发沿x轴负方向以每秒3cm的速度移动，同时点/V从原点出发沿p轴正方向

以每秒16的速度移动.设移动的时间为f秒.

(1)若点例在线段04上，试问当f为何值时，与以点QM、/V为顶点的三

角形相似？

(2)若直线y=x与AO/WV外接圆的另一个交点是点C.

①试说明：当0<f<2时，。仪ON、0c在移动过程满足OM+ON=料。0；

②试探究：当f>2时，OMON、。。之间的数量关系是否发生变化，并说明理由.

6.如图1,在。。中，弦2①L弦。，垂足为点巳连接//?、BC、AO.AD^AB.

(1)求证：4CAO=24CDB;

(2)如图2,过点。作OH'AD,垂足为点H,求证：2OH+CE=DE;

(3)如图3,在(2)的条件下,延长DB、力。交于点F,过点。作DM'AC,垂足为

M交AB于N,若8C=12,AF=3BF,求例/V的长.

三7

图1图2图3

7.如图，在。。中，为直径,8C为弦.过ZC延长线上一点。，作DF工BO于氤F,

交跋于点G,交。。于点〃，点/是OG的中点，连接6

(1)判断a与。。的位置关系,并说明理由；

(2)连接8,若/3%=2/8,67=6,8=4,求9的长.

8.如图，点4B、C是半径为2的。。上三个点，为直径，N84C的平分线交圆于点

D,过点。作4c的垂线交2C的延长线于点E,延长线ED交的延长线于点F.

(1)求证：直线EF与。。相切.

(2)若。尸=4近，求COSN£4。的值.

9.如图，是。。的直径，4C是。。的切线，切点为2,BC交。。于点。，点£是AC

的中点.

(1)试判断直线DE与O。的位置关系，并说明理由.

(2)若0。半径为2,N8=60°,求图中阴影部分的面积.

10.已知，为。。的直径，PA,PC是。。的的切线，切点分别为4C,过点C作CD

交。。于D.

(1)如图1,当P,。，。共线时，若半径为r,求证CD=r;

(2)如图2,当户，。，。不共线时，若。£=2,%=8,求tan/PC^I.

11.AB,ZC为的弦，AB=AC.

(1)如图(1)，求证：ABAO=^CAO',

(2)如图(2),6。为。。的弦，过点。作OA的垂线交O。于点E,连接CE,求证：

BD=CE：

（3）如图（3），在（2）的条件下，连接。交于点F,连接OF,AE,若OF1.

AB,尸。=5,S，ACE=30,求的长.

12.如图，是O。的直径,C为。。上一点,过点C的直线交力8的延长线于点P.AC

平分，过点，作ADA.PC于点D,，。与OO交于点E.

（1）求证：PC是0。的切线；

（2）若28=9,sinzC45=-i,

①求力。的长；

②求/f的长.

13.如图，已知。。为“6C的外接圆，8C为。。的直径，作射线8尸,使得加平分NC8,

过点/作/O_L6尸于点。.

(1)求证：。，为。。的切线；

(2)若BD=1,tar)N/6O=2,求0。的半径.

14.如图1,在中，AB=AC,。。是的外接圆，过C作CDwAB,CD交O。

于。，连接力。交8c于点E,延长Z?C至点，使CF=4C,连接AF.

(1)求证：/尸是O。的切线；

(2)求证：AN-BR=BE,EC;

(3)如图2,若点G是“。的内心，BC-BE=64,求6G的长.

yDyD

图1图2

15.如图,O。的半径为5,弦60=6，，为8c所对优弧上一动点，■的外角平分线

40交0。于点P,直线/P与直线8c交于点£.

(1)如图1.①求证：点户为氤的中点；

②求sinzmc的值；

(2)如图2,若点/为商的中点，求上的长；

(3)若"8C为非锐角三角形，求必•〃的最大值.

图2备用图

参考答案

1.(1)证明：连接04如图：

：OA=OD,

:.乙ODA=LOAD.

:DA平分zBDE,

：.z.ODA=/.EDA.

：.z.OAD=/.EDA,

：.EC\\OA.

■：AE1.CD,

：.OA±AE.

,.点力在。。上,

是。。的切线.

(2)解：•.•8。为O。的直径，

."=90°,

：.^BDC=90°-乙DBC=90°-30°=60°,

..NOD/=NQZ=60°,

在Rf/WF中,乙DAE=90°-60°=30°,

:.AD=2DE=4(cm),

■：^ODA=^Q°,OA=OD,

."3。为等边三角形，

:.OD=AD=4cm,z.AOD=60°,

2.(1)证明：是。。的直径，

"ADB=90°,

：ACrAB,

.208=90°,

：.^.ABD-Z.CAD,

■',AD=AD，

：./-AED-Z.ABD,

：./.AED-Z.CAD;

(2)证明：•.•点£是劣弧8。的中点，

•■-DE=BE-

：.z.EDB=z.DAE,

:乙DEG=4AED,

・,.AEDGS4EAD,

,ED_EA

"EG"ED'

:.E5=EGEA;

(3)解：连接OF,

•.点F是劣弧8。的中点，

；.zDAE=Z.EAB,

：OA=OE,

..Z.OAE-乙AEO,

:.z.AEO=Z.DAE,

:.OE\\AD,

,OFEF

"OA"DE'

：BO=BF=OA,DE=2,

,2EF

■'T~,

:.EF=4.

3.解：(1)当8运动到4Q8三点共线,且。位于/,8之间时，28取得最大值,

此时04=46-7=3;

(2)。尸长度不变,理由如下，

如图2连接08,

■：AFYOE,

..2。/尸=90°,

又/以。=90°,

:ZBAO+4BAF=Z.BAF+Z.FAD,

:.z.BAO=Z.DAF,

在4必。与尸中，

，AB=AD

<ZBAO=ZDAF,

AO=AF

：.^BA^DAF{SAS）,

.-.OB=FD=7,

即尸。长度不会变化，尸。=7;

（3）①如图2,当4,6,尸三点一线时，

由（2）得"86"。下，

22

：AD=AB=VOB2-OA2=V7-4=2VT0，

：.OD=OA+AD-3+2A/10,

.'.DE=3+2V10_7=2A/10~4,

②如图3,当/,8,下三点一线时，

由（2）得尸，

：.AD-AB-3+2-/10,

，。£=2。+〃=4+2历，

即DE=2V75-臧4+2百5；

（4）由（2）可得，FD=7,

，。在以尸为圆心，7为半径圆上运动，

又花=[AF2+AE2=5,

当。，尸，£三点共线，且尸在。，£之间时，5+7=12,此时止取得最大值，如

图4,

当。，，£三点共线，且£在。，尸之间时，止=7-5=2,此时取得最小值，如

图5,

即的最大值为12,最小值为2.

图3

,.加是直径,

:.ADlBC,

又•.在A/8C中，AB=AC,

:.BD=CD,

:AO=OC,

:.OD\\AB,

丈：DELAB,

:.DEA.OD,

为。。半径，

..上是。。的切线；

(2)解：丫©。的半径为2,46=ZC,

"C=48=2+2=4,

-：BE=1,

.■./£=4-1=3,

过。作于”，

则四边形。。仍是矩形，

.-.EH=OD=2,

：.AH=1,

：.AH=^AO,

“AOH=30°,

.2必C=60°,

：.AF=2AE=6,

:.CF=AF-AC=2.

,：DEA.AB,ADrBC,

"AED=ZBED=NADB=“0,

：.^DAE+^ADE=2G°,乙ADE+乙BDE=90°,

：./.DAE-Z.BDE,

iAEDiDEB,

=DE

AE丽

D3E

=DE

DEl

解得:DE=M，

■：OD\\AB,

:aFOD-△FAE,

.FD=OP

"FD+DE-AE1

FD_2

••而诋―g，

解得：田=2匾,

在RbFOD中，。=VOD2+FD2=722+(2V3)2=4，

:,CF=FO-OC=4-2=2.

5.解：(1)由题意，得3=6,OB=2.

当0<f<2时，OM=6-3t,ON=t.

若则密=*，即

AABCUMN。,OMON6-3tt

解得占1.

若“gAW贝喘=黑，畔=/

解得t=1.8.

综上，当t为1或1.8时，A/8。与以点QM/V为顶点的三角形相似.

(2)①当0<2时，在的延长线的截取ND=OM,连接CD、CN、CM,如图

幅：

,.直线y=x与x轴的夹角为450,

:.OC^z.AOB.

:.Z.AOC-Z.BOC.

:.CN=CM.

又•.在0。中NC/VO+NC例0=180°,4DNC+乙CNO=180°,

:.乙CND=^CMO.

:aCN*CMO〈SAS).

:.CD=CO,乙DCN=zOCM.

又.2/08=90°,

.•.例/V为。。的直径，

"MCN=90°.

:.^OCM+^OCN=9Q°.

:.乙DCN+4OCN=9S.

"。8=90°.

文：CD=CO,

:.OD=42OC.

:.ON+ND=42OC.

:.OM+ON=42OC.

②当f>2时，过点C作CDL0c交ON于点D,连接CM、CN,如图所示:

.“8=45°,

二A。。为等腰直角三角形，

：.OD=®OC.

•.M为。。的直径，

：.^MCN=90°.

又.•在。。中，KCMN=^CNM=A50,

:.MC=NC.

又；NO8=ZMCN=9U°,

：.^DCN=^OCM.

：aCDN^COM<SAS).

：.DN=OM.

又：OD=、叵OC,

：.ON-DN=42OC.

二当2<3时，ON-OM=42OC',

当f>3时，OM-ON=yf2OC.

当f=3时，OM=ON.

6.解：（1）如图，连接ZQDO,

■：AB=AD,

''-AB=AD，

：./.AOB=Z.AOD,

.'.AO=OB,AO-OD,

:aAO眄AOD,

：./.BAO=Z.DAO,

延长/。交8。于点A,

■：AB=AD,

：.AHrBD,

:/AHB=乙AHD=90°,

••,AD=AB，

：./.ACD-乙ABD,

：./.CAB=z.BAO=Z.OAD,

：.^CAO=2^CDB.

(2)过点。作。，则CT=DT.

：CDrAB,CDrOT,OQlAB,

:.乙OQB=LOTE=N/£Z?=90°,

..四边形O7FQ为矩形，

:.OQ=ET,

■：TD=CT=ET+CE,

■：AB=AD,

:.OQ=OH,

:.2OH+CE=DE.

图2

(3)如图，•・・N/CB+N，O8=180°,

乙FCB+乙ACB=180°,

:.z.ADB=Z.FCB,

r乙F=aF.

:aFCBs&FDA,

,FBCB1

"AF"AD

-：CB=12,

:.AB=AD=36,

..乙BCD=〃BAD,乙AEB=LAED,

:aCEB”^AED,

,BE_BC_1

"ED"AD

设8F=x，贝[]Z£=36-x,ED=3x,

■：ABA.CD,

:.^AED=2Q°,

则在■。中，

AR+E伊=A^,

(36-x)2+(3x)2=362,

解得：x广0(舍)，乂2二警，

•,BD=VBE2+ED2=^/10

­：CD1.AB,

:zBED=9。。，4NMA=q。。，4ANM=4END,

:，乙NED=xMAN,

:.^BDE=^EDN,

■：ED=ED,

:.^BE^NED,

•■•BE=NE=-^-,

b

■：^CDB=z.CAB,乙NMA=zBED,

:aAM24DEB,

.MN_AN

"BE"BD"

.MN号X2

"36"36f—,

-4^HJD

7.解：(1)连接OC,如下图所示,

:DFLBO于点F,

"B+zBGF=90。，

X8为直径，

：.z.ACB=90°,

.7为OG的中点，

：.CI=DI=GI,

“IGC=UCG,

；OB=OC,

：.z.B=Z.BCO,

：^BGF=^IGC,

..N8CO+N7CG=90°,

：.CI1.CO,

为。。的切线；

(2)连接。/和CO,如下图所示,

B

•.z£?C7+z/C(7=90o,N/CG+N6CO=90°,

:.z.DCI=^BCO,

■：z.B=Z.BCO,

：CI=DI,

：.z.D-Z.DCI,

：.z.D-z.B,

：.z.A=Z.DGC,

:乙IGC=4ICG,z/4=zC?C4,

：.^ICG=^OCA,

：aICGsbOCA,

..2GCH=24B,乙AOC二2乙B,

；zGCH=Z.AOC,

：QGCHS4AoC,

:.MCG“CHG,CG=CH=A,

,6IGCG

"7"CG"HGr

；.IG=6,AG="|，

.-.HI=IG-〃G=6-§=曰.

33

8.(1)证明：连接。。，如图所示：

C\

FD

：OA=OD,

：.Z.OAD-Z.ODA,

.Z。平分N£4尸，

：.Z.DAE-Z.DAO,

:zDAE=Z.ADO,

：.OD\\AE,

'.'AE1.EF,

.'.ODA.EF,

•是。。的切线；

(2)解：在RN。。尸中，OD=2,。尸=4&,

••<9/7=VOD2+DE2=6，

■：OD\\AE,

,OPOF

"AE"AF'

,_2_^6

"AE-8"

■■AD=VAE2+ED2=='

.,.cosz£4Z?=—.

AD3

9.解：(1)直线。《与O。相切，理由如下：

如图，连接。。，OE.AD,

是。。的直径，

"ADB=乙ADC=90°,

1,点F是/C的中点，

：.AE=DE,

・•,zc是OO的切线，切点为力,

.•.NO/F=90°,

•：OA=OD,OE=OE,

；aOA&bODE〈SSS),

"ODE=4OAE=90°,即ODA.ED,

.•・直线DE与O。相切.

(2):。。半径为2,z5=60°,^BAC=90°,

：.AC=4A/3,乙AOD=2N8=120°,

：.AE=^AC=2«,

・•・图中阴影部分的面积=2X|X2X2V3J^P^=W3-^L-

NobUo

io.（1）证明：连接oc,

■PA,PC是。。的的切线，切点分别为4C,

:.PA=PC,/以。=/2。9=90°,

在Rb%。和RNPCO中，

（PA=PC

lP0=P0'

:.^PAC^X^PCO{HL),

:.^POA=^POC,

•：CD\\AB,

:.z.CDO=Z.DOA,

:.z.CDO-/.COD,

:.CD=OC=r-,

(2)解：设。交。于巳

连接0c,过。作OHA.CD于H,

由(1)可知，^PAC^X^PCO,

:.z.POA=Z.POC,

■：CD\\AB,

:.z.CEO=^COE,

:.^CEO=^COE,

:.CE=CO=3,

.-.CD=CE+ED=1Q,

:.CH=DH=S,

:.EH=3,

'-OH=7OC2-CH2=782-52=V39，

:Xa^POA=tanz//£<9=—=.

OH3

B

A

图2

图1

■：BO=CO,AO=AO,AB=AC,

:.^AB^ACO{SSS),

..Z.BAO-Z.CAO;

(2)：AOA.DE,点。是圆心，

AD=AE，

：AB=AC,

•••BA=CA.

■,•BD=CE»

:,BD=CE;

(3)连接，。，过点。作。例，/C于点M,

图2

在△8。尸和△C4尸中,

■：^BFD=z.CAF,^BDC=z.CAB,

:.^BDF-^CAF,

.DFBD

"AF"AC'

由（1）知：ABAO=^CAO,AO=AO,AOFA=AOMA=9Q°,

:.^AO^AOM{ASA],

:.AF=AM,

•：AB=AC,BD=CE,

由（2）知，4ADAAAEC（SSS],

•',S/i£C=S&ADB=30,

..DF=BD/\r-/\g

,AFAC1，

.DFDB

"AF"AB'

在和A/尾中，4OFA=tOMA,

贝（IBD=DE,

.DFDE

"AF=AB,

■：AF=AM,

.DF_DE

"AM"AB'

:.DE=6.

12.解：(1)连接OC,

：OC=OA,

:./.OCA-Z.OAC,

平分

:.^DAC=z.OAC=^OCA,

,:AD工DP,

:.^DAC+^DCA=9Q°,

:.^ACO+^DCA=2Q°,

二.PC与。。相切；

(2)①•.718为直径，

:.^ACB=9G°=^ADC,

,•,AB=9,sinZCAB^-,

o

BC=3,^^=VAB2-BC2=6V2>

■：ADAC=^CAB,

:aDCAs4CBA,

,CD=AD=AC

"BC-AC-AB'

anCDAD6A/2

36729

:.AD=2,.CD=2&;

②连接上,

■：z.EDC=^ACB=2Q°,

:QEDCSABCA,

.ED=DC

"BC"CA'

DE2V2

即0n丁丽，

:.DE=1,

:.AE=AD-DE=8-1=7.

13.(1)证明：连接02；

.8C为。。的直径，BA平令4CBF,AD1.BF,

，N2O8=N64C=90°,4DBA=LCBA;

：^OAC=^OCA,

：.^DAO=^DAB+^BAO=^BAO+z.OAC=2Q°,

为。。的切线.

(2)解：.6O=l,tanN/6O=2,

"。=2,

••/8=7AD2+BD2=722+12=V5，

:.cos4DBA=S;

5

：z.DBA=Z.CBA,

14.解：（1）如图1,连接04,

■：AB=AC,

•,漉=京，4ACB=乙8,

:.OA±.BC,

：CA=CF,

:.乙CAF=ACFA,

：CD\\AB,

：.z.BCD-Z.B,

：.^.ACB-/.BCD,

：.^ACD^^CAF+^CFA=2^CAF,

■：^ACB=^BCD,

:.^ACD=2^ACB,

:.z.CAF=Z.ACB,

.'.AF\\BC,

:.OA1.AF,

.・/尸为。。的切线；

(2)：^BAD=^BCD=^A