第二章解析函数名师优质课赛课一等奖市公开课获奖课件

复变函数

与积分变换

主讲：王兴波教授佛山科学技术学院

大学数学多媒体课件/10/101第1页参考用书《复变函数与积分变换》,华中科技大学数学系,高等教育出版社,.6

《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》,华中科大,高等教育出版社

《复变函数》,西安交通大学高等数学教研室,高等教育出版社,1996.5

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目录第二章解析函数第三章复变函数积分第四章解析函数级数表示第五章留数及其应用第六章傅立叶变换第七章拉普拉斯变换第一章复数与复变函数/10/103第3页第二章解析函数内容提要：解析函数是复变函数研究主要对象．在理论和实际问题中有着广泛应用，本章在介绍复变函数导数概念和求导法则基础上，着重讲解析函数概念，判别方法及主要性质．

/10/104第4页第二章解析函数2.1解析函数概念2.2解析函数和调和函数关系2.3初等函数本章小结思索题/10/105第5页第一节解析函数概念一、复变函数导数与微分

1．导数定义

/10/106第6页例1．解：例2．解：/10/107第7页2．可导与连续关系

从例2从能够看出：

结论：

证实：由导数定义可知

/10/108第8页3．求导法则

结论：因为复变函数中导数定义与一元实函数中导数在形式上完全相同，而且极限运算法则也一样，因而实函数中求导法则可推广到复变函数中去．

/10/109第9页4．微分概念

复变函数微分在形式上与一元实函数微分概念一样，所以类似有：

证实：/10/1010第10页二、解析函数

在复变函数理论中，主要不是只在个别点可导函数，而是在区域D内内处处可导函数，即解析函数．

1．解析函数概念

注意：

（1）函数在区域内解析与在区域内可导是等价；

（2）函数在一点处解析和可导是两个不等价概念，即在一点处可导不一定在该点解析；

/10/1011第11页例3．解：所以在整个复平面处处解析．所以在整个复平面处处不解析．函数在复平面上处处不解析

/10/1012第12页例4．解：定理1：在区域D内解析函数和、差、积、商（除去分母为0点）在D内解析定理2：设函数．定理3：任何有理分式函数/10/1013第13页2．函数解析充分必要条件

定理1：证实：必要性/10/1014第14页且沿平行于实轴方向：

沿平行于虚轴方向：

/10/1015第15页充分性/10/1016第16页定理2：函数判别函数在区域解析惯用方法例1．判定以下函数在何处可导，在何处解析？解：/10/1017第17页这个函数特点：其导数是本身，今后看到这个函数就是复变函数中指数函数．/10/1018第18页例2．解：例3．证实：/10/1019第19页/10/1020第20页第二节解析函数与调和函数关系

平面静电场中电位函数、无源无旋平面流速场中势函数与流函数都是一个特殊二元实函数，即所谓调和函数，它们都与某种解析函数有着亲密关系．下面给出调和函数定义．

一、调和函数概念

定义1：(调和函数)/10/1021第21页定理1：设函数

证实：解析函数有任意阶导数，而且解析函数导数仍是解析函数.

/10/1022第22页二、共轭调和函数

定义2：(共轭调和函数)定理2：复变函数

依据这个定理，能够利用一个调和函数和它共轭调和函数作出一个解析函数．

三、解析函数与调和函数关系

/10/1023第23页例1．解：/10/1024第24页/10/1025第25页/10/1026第26页例2．解：用不定积分法

凑x+iy形式/10/1027第27页例3．解：为何与积分路径无关？/10/1028第28页作业习题二2.1(1)(2)2.2(1)(3)2.3(1)2.4(1)(2)2.72.82.9(1)（2）(3)2.10P52/10/1029第29页第三节初等函数本节将把实变函数中一些初等函数推广到复变函数中，研究它们性质，并讨论它们解析性．

一、指数函数

1.定义：/10/1030第30页2．性质：/10/1031第31页例1．解：据指数定义，有

例2．解：因为

/10/1032第32页二、对数函数

与实变量函数一样，对数函数定义为指数函数反函数．

1.定义：/10/1033第33页例3．解：/10/1034第34页2．性质：/10/1035第35页三．乘幂与幂函数

定义1：有多少值呢？/10/1036第36页例2．解：/10/1037第37页2．幂函数定义2：/10/1038第38页四、三角函数和双曲函数

1．三角函数两式相加与相减，分别得：

（1）三角函数定义/10/1039第39页（2）性质（3）三角公式/10/1040第40页2．双曲函数性质：/10/1041第41页公式：/10/1042第42页五、反三角函数和反双曲函数

1．反三角函数/10/1043第43页2．反双曲函数/10/1044第44页例3．求以下方程解