五年级奥数应用题不定与方程组的解法abc教师版

不定方程是数论中最古老的分支之一．古希腊的丢番图早在公元3世纪就开始研究不定方程，因此常问题，公元5世纪的《算经》中的百鸡问题标志着中国对不定方程理论有了系统研究．宋代数学家1】2x－3y＝8【解析】方法一：由原方程，易得2xyxyx43可表为： 2，其中k为任意数．说明由y取值的任意性，可知上述不定方程有无穷多y2x是偶数，82x－3y＝8成立，y必为偶数，当y＝0，x＝4；当y＝2，x＝7；当y＝4，x＝10……，本题有无穷多个解。【巩固 求方程2x＋6y＝9的整数2x＋6y＝2(x＋3y)xy2|2x＋6y2Œ9xy取什么整数，2x＋6y92】4x＋10y＝3441022|342后，得2x＋5y＝17，5y05两种情况，2x17，5y5，y为奇数即可；2x2x的取值为1、6、11、16……x＝1时，17－2x＝15，y＝3，x＝6时，17－2x＝5，y＝1，x＝11时，17－2x＝17－22，无解x1x【答案】x1x

y

3yy3y【巩固 求方程3x＋5y＝12的整数3x＋5y＝12，3x312（3的倍数，5y3y3的倍数即可，所以y的取值为0、3、6、9、12……y＝0yyy【答案】y3】求7x19y213yy=1y=2时，x=25y=9【巩固 求6x22y90的自然数yy=0时，x=15y=34】3x＋5y＝31 分离法，由原方程，得x＝315y， x＝10－2y＋1y，要使方程有整 解1y3y＝2x＝10－2y1y＝10－4＋1＝73y＝5x＝10－2y1y＝10－10＋2＝23y＝8x＝10－2y1y＝10－16＋33x7xy2y3x331315y31（2y31，根据这个情况用余数的取y＝1，2y＝2，2÷3＝0……2（舍）y＞631x7xy2y【答案】x7xy2y【巩固 解方程7x4y89（其中x、y均为正整数7x4y89，4y489417x41（7÷4≡3，可以看成3x除以4余1，根据这个情况用余数的和与乘积性质进行判定为（x＜13） x

,x

,xy

17y10y 分离法，由原方程，y897x222x1

x，

4 x

,x

,xyy

17y10y 【答案】x

,x

,xy

17y10y【例5】求方程5x3y225053y27y=4【答案】1800a1200b800c【例6】解方程abc

（a、b、c均为正整数abc【解析】根据等式的性质将第一个方程整理得9aabc

4相减后为：(9a6b4c4(abc80415，整理后得5a2b20，根据等式性质，2b为偶数，205aa为偶数，当a2时，522b20，b5，所以c8aa4542b20b5，所以无解。所以方程解为bca【答案】bc 【例7】解不定方程5x3y3zxyz

(x、y、z均为正整数xyz【解析】根据等式的性质将第一个方程整理得15xxyz14x8y200，根据等式的性质两边同时除以27x4y100，根据等式性质4y为4y y

x

x数，100

4的倍数，所以7y

4y

4的倍数试值如下 18,y11,y z78z81z x4x

x【答案】y18

11,y z78z81z 【随练1】2x9y40（x,y均为正整数y40 x11x x 205y2yy2y y2,yy2,y 【随练2】求不定方程7x11y1288的正整数解有多少组7y7y7zx11z184z1，2，