高中数学-《组合数的两个性质》教学设计学情分析教材分析课后反思

教学目标：1.掌握组合数的两个性质及其证明方法，培养学生的逻辑推理能力。2.利用组合数的两个性质进行有关计算，培养学生的应用意识和计算能力。3.引导学生由特殊到一般，从具体到抽象，归纳出一般的规律，从而渗透概括、归纳等思想方法。4.在上述学习过程中发展学生主动探索的精神。教学重点、难点：重点：组合数的两个性质及其应用难点：用组合的定义理解组合数两个性质，以及灵活应用（特别是第二个性质的理解与应用）教学方法：启发式教学法、探究发现法教学手段：电化教学辅助设计教学过程：第一阶段：课前准备（提出问题，让学生思考）问题：在同一直角坐标系中,画出函数（≤且∈）的图像,根据图像回答下列问题:函数的图像有何特征？怎样用数量关系来描述这些函数的特征？请从数与形两个方面来分析函数的特征（设计意图：让学生预习教学内容，查阅与课题有关的资料，在主动求知中扫除部分障碍，为进一步理解构架好底座，并培养良好的学习习惯，同时拓宽学习渠道，在自学范围上实现“超文本”）第二阶段：实际教学课堂引入1．复习排列和组合的有关内容：定义特点联系公式排列组合强调：排列——有序性；组合——无序性．2．练习一1.平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段共有多少条？2.平面内有10个点，以其中每2个点为端点的有向线段共有多少条？练习二：计算：①和；和②与；与新课探究探究一、组合数的性质1问题1、通过结合课前问题及计算练习二中的①，你有何发现？怎样对这一结果进行解释？能否借此简化的运算？（设计意图：让学生体验数形结合及特殊到一般和一般到特殊的思想方法，通过对特殊组合数的计算发现性质，并进行证明或设计实际问题背景来解释这性质）创设情境例1：现有4名同学（1）从中选出3名同学参加某一活动，有多少种不同的选派方法？（2）从中选出1名同学不参加这项活动，有多少种不同的选派方法？（设计意图：直接用组合的定义，结合具体的例子对性质加以说明，避免用组合数公式去证明，符合学生的实际要求。旨在揭示前后两者间成一一对应的规律，为学生寻找规律做一些启发。）问题2、上述情况加以推广可得到组合数的什么性质？师生活动：由学生的计算结果发现，，从而归纳出组合数性质一：（∈，≤），再由学生运用组合数公式进行证明，也可以引导学生构造实际问题背景来解释。组合数的性质一：（∈，≤）证法一：（定义法）一般地，从n个不同元素中取出个元素后，剩下个元素．因为从n个不同元素中取出m个元素的每一个组合，与剩下的个元素的每一个组合一一对应，所以从n个不同元素中取出m个元素的组合数，等于从这n个元素中取出nm个元素的组合数，即：．在这里，主要体现：“取法”与“剩法”是“一一对应”的思想证法二：（公式法）-----请同学自己完成证明说明：12等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标3→或4此性质作用：当时，计算可变为计算，能够使运算简化（设计意图：通过问题反问精讲，可以使学生加深对知识的认识，完善知识结构，这一环节非常重要，尽管用时不多，却有画龙点睛的作用）跟踪检测11.计算：（1）（2）2.解方程：（1）（2）（设计意图：使学生进一步理解组合数性质一，并能运用它解决简单问题）师生活动：由学生完成，注意解方程时对两种情况的讨论，同时注意根的取舍。探究二、组合数的性质2问题1、通过计算练习二中的②，你有何发现？怎样对这一结果进行解释？例2：一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球（1）从口袋里取出3个球，共有多少种取法？（2）从口袋里取出3个球，使其中含有一个黑球，有多少种取法？（3）从口袋里取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？(设计意图：借助特殊问题引导学生分析并归纳出组合数性质二)问题2、上述情况加以推广可得到组合数的什么性质？师生活动：由学生得到（1）（2）（3）的结果分别为，，，从结果中发现，并引导学生猜想一般性结论：（∈，≤），再由学生运用组合数公式进行证明，也可以引导学生构造实际问题背景来解释。组合数的性质二：＝+（∈，≤）证法一：（定义法）如图所示，集合中含有n+1个元素，从中选取m（≤）个元素组成一个新的集合，有两种方法。其一-------直接法。即为其二-------分类法。集合有n+1个元素，从中选取m个元素，分为两类：第一类，包含某个特殊元素（例如）的方法数为第二类，不包含特殊元素（）的方法数为这两种方法计算同一事件发生的结果，故有（设计意图：在学生感性认识的基础上，根据组合的定义和分类计数原理，把其推广到一般，加深对性质的理解）。证法二：（公式法）-----请同学自己完成证明说明：1公式特征：下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1，而上标与原组合数上标较大的相同的一个组合数。2此性质的作用：恒等变形，简化运算．在今后学习“二项式定理”时，我们会看到它的主要应用．跟踪检测21.计算：（1）（2）2.化简：3.求证：＝++师生活动：要求学生写出解题过程，教师巡视，发现问题予以提醒并及时讲评（设计意图：采用变式教学，深化学生对性质的认识和理解。通过直接套用公式、变式应用来解决问题，促进学生新的数学认知结构的形成。）三、小结作业总结反思：今天学到了什么？提出问题，引导学生回顾公式及其推导方法，鼓励学生积极回答，然后老师再从知识点及数学思想方法两方面总结。（设计意图：以此培养学生的口头表达能力，归纳概括能力，侧面反映学生对于本堂课的掌握程度，及时回馈，便于教师进一步完善改进教育教学方法）作业：教材P25，练习6；P27，习题1.2-A组，9,10,11,12.四、学生评测水平标准水平4水平3水平2水平1问题的理解能够完整而全面地理解问题，且有问题之外的领悟见解能够完整而全面地理解问题能够部分地理解问题，但还需要教师帮助理解需要教师的帮助才能理解问题问题的解决提供正确和完整独立的解答，而且能正确使用一种以上的解决方法提供一种正确和完整的解答在解答中出现了一些细小的数学错误，导致结论错误或不完整即使在得到指导的情况下也不能给出正确解答，出现很多错误结论的表述能够清晰、连贯地进行推理，深刻把握问题的本质能够独立进行有组织的、合理的推理解释在教师的帮助下给出了答案并尝试进行推理解释作出的推理解释杂乱无章，很难使人明白第三阶段：课后巩固1.方程的解集为（）A.{4}B.{9}C.空集D.{4,9}2.计算（1）（2）（3）（4）3.解方程（1）（2）(设计意图：在学生全面了解组合数的两个性质的来龙去脉后，才能在他们的头脑中形成完整的认知结构，从而使学生的思维活动向纵深发展)4.计算（1）（2）推广：(设计意图：这实际上是二项式系数的性质之一，现在提出来，可为后学内容打好基础，埋下伏笔)本课是学生在初步学习了组合、组合数公式的基础上进行教学的，结合具体的实际问题让学生初步体验用直接法或间接法来解决组合问题，能够从特殊或具体的问题背景中探究组合数的性质，从中体会将实际问题转化成组合问题的方法及分类讨论的思想。教学对象是高二的学生，虽然具有一定的分析问题和解决问题的能力，逻辑思维能力也初步形成，但由于年龄及数学基础等原因，思维尽管活跃、敏捷，却注意力分散，缺乏冷静、深刻，因而片面、不够严谨从学生的认知角度来看，学生很容易在应用性质2的公式时出错，因为抽象成为形式（及其符号的演算）的数学，虽然很简洁，也具有很大的一般性（从而有它的广泛应用性），但会给学生带来了领悟与学习上的困难，所以理解和领悟性质2的本质成为本节课学生学习的难点，对学生的思维是一个挑战。由于性质本身比较简单，其发现过程易于组织成师生互动的教学活动，故教学方法以启发学生观察思考分析讨论为主，两个性质的得出均采用由特殊到一般、由具体到抽象的方法，让学生经历知识的形成、发展过程，帮助学生认识数学的本质。另外，采用多媒体辅助教学，直观呈现素材，激发学生兴趣，提高教学效率。性质1由问题“计算”引入，开门见山，直奔主题，体现性质1的必要性；由于性质2的背景相对较复杂，从高二学生的认知角度来看，他们虽然具有一定的分析问题和解决问题的能力，逻辑思维能力也初步形成，但由于年龄及数学基础等原因，思维尽管活跃、敏捷，却注意力分散，缺乏冷静、深刻，因而片面、不够严谨。所以导致性质的理解掌握不到位，很容易在应用性质2的公式时出错。抽象成为形式（及其符号的演算）的数学，虽然很简洁，也具有很大的一般性（从而有它的广泛应用性），但会给学生带来了领悟与学习上的困难，所以理解和领悟性质2的本质成为本节课学生学习的难点，对学生的思维是一个挑战。故在性质2的讲解中，由具体问题分层次地引入，给学生提供思考的素材，而把抽象概括的主动权交给了学生。这样做总体很好，整节课学生都能在参与中有所学，达到新课程所关注的“让不同学生在数学上得到不同的发展”的要求。设计中有效的挖掘利用了前面讲过的练习题，创设具体情境，这样以学生的已有认知基础为前提，使教学目标处于学生思维最近发展区内，以使教师的教学行为更有针对性，把教学的重点放在解决学生理解的疑难上，提高课堂效率。同时，很自然地为学生提供了探究组合数性质的背景，充分发挥了习题的功能，避免了人为增加学生的学习负担由于性质本身比较简单，其发现过程易于组织成师生互动的教学活动，故教学方法以启发学生观察思考分析讨论为主，两个性质的得出均采用由特殊到一般、由具体到抽象的方法，让学生经历知识的形成、发展过程，帮助学生认识数学的本质。另外，采用多媒体辅助教学，直观呈现素材，激发学生兴趣，提高教学效率。学生在教师创设的问题情景中，通过观察、分析、思考、探究、概括、归纳得出性质，体现了学生的主体地位，培养了学生由具体到抽象，由特殊到一般的数学思维能力，形成了实事求是的科学态度，增强了锲而不舍的求学精神。一、教材的地位和作用：本节课是人教A版选修2-3第一章计数原理中，1.2.2组合这一节的选学内容。由于“标准”对于“组合数的两个性质”不作要求，因此教科书以选学内容的方式对它们进行介绍。“组合数的两个性质”是学生学习了排列、组合以及组合数公式等知识的基础上提出来的，与数学归纳法有内在的联系。通过性质的学习，一方面可以加强组合数公式的计算、变形能力，简化组合数的计算。另一方面也为以后学习“二项式定理”等内容提供了理论基础，是解决二项式定理、概率统计问题的工具。故组合数性质是一个承上启下的内容。同时，本课题体现了一一对应和分类的思想，不仅能使学生系统掌握组合数的有关知识，而且能使学生掌握渗透于知识中的数形结合思想，特殊与一般的思想以及观察、猜想、证明的思想方法；不仅对培养学生观察、比较、分析、综合、抽象和概括的能力以及合乎逻辑地、准确地阐述自己的思想和观点，而且对开发智力、培养数学应用的意识和能力以及科学研究的意识和能力也有重要作用。二、教学目标1、知识与技能(1)掌握组合数的两个性质，并能运用组合数的性质解决一些实际问题；(2)培养学生发现知识、应用知识的能力，培养独立分析问题、解决问题的能力，养成良好思维与学习习惯。2、过程与方法根据本节课的内容和学生的实际水平，通过具体的实例，观察、分析，归纳总结出组合数的两个性质，培养学生从特殊到一般的重要思想方法。3、情感、态度与价值观从具体实例入手，帮助学生领悟数学是来源于生活并服务于生活的思想，激发学生的学习兴趣和学好数学的信心，从而更加热爱数学。鼓励学生通过观察类比，提高发现问题、分析问题、解决问题的能力，增强学生数学思维情趣，形成学习数学知识的积极态度。三、教学的重点和难点重点：组合数的两个性质及其应用。难点：用组合的定义理解组合数两个性质，以及灵活应用（特别是第二个性质的理解与应用）。为了突出重点，突破难点，在性质的研究过程中，根据学生的认知特点，以具体实例引入，引导学生发现问题、提出问题，启发学生思考、猜想、论证，经历不断地从具体到抽象、从特殊到一般的概括活动逐步理解和掌握这两个性质。四、教材内容处理1、课时安排：一课时2、对于组合数性质的证明，不是机械的从等式的左边推理到右边成立，而是采用“建构组合意义”的方法，依据对同一问题的两种解释应“殊途同归”，这种方法能提高学生的理性思维和逻辑分析能力。组合数的性质1，是从具体的计算开始，通过计算让学生形成猜想，在通过具体事例解释，最后将结果推广到对进行类似的解释，对等式的解释应用了“一一对应”的思想，突出了从个不同的元素中取个元素的一一对应关系，实际上就是“取出的”和“留下的”成一一对应关系，教学中还可以引导学生用组合数公式对性质1进行证明。为了给学生留下探索空间，教科书通过“探究”，要求学生仿照“性质1”的探索思路，自己证明性质2，教学中可以引导学生利用组合的定义和两个计数原理进行证明，然后再用组合数公式证明。作为选学内容，我认为这部分内容是培养学生探究能力很好的素材，当然也由于这部分内容没有放到正文中，就会导致很多教师和学生缺乏对此知识的重视，从未忽视了数学理性探索精神的教育功能，若把两个性质的证明题放回正文中，可以适当提高重视。一、课前导入练习练习一：1.平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段共有多少条？2.平面内有10个点，以其中每2个点为端点的有向线段共有多少条？练习二：1．求证：．（本式也可变形为：）2．计算：①和；和②与；与二、课内跟踪练习跟踪检测11.计算：（1）（2）2.解方程：（1）（2）跟踪检测21.计算：（1）（2）2.化简：3.求证：＝++三、课后巩固练习1.方程的解集为（）A.{4}B.{9}C.空集D.{4,9}2.计算（1）（2）（3）（4）3.解方程（1）（2）4.计算（1）（2）推广：人教A版主编寄语中提出数学是自然的，整套教科书中出现的数学内容，是在人类长期的实践中经过千锤百炼的数学精华和基础，其中的数学概念、数学方法和数学思想的起源和发展都是自然的。如果有人感到某个概念不自然，是强加于人的，那么只要想一下它的背景，它的形成过程，它的应用，以及它与其它概念的联系，你就会发现它实际上是水到渠成、浑然天成的产物，不仅合情合理，甚至很有人情味。因此，在教学设计中要提供能自然的呈现数学知识的问题背景，充分挖掘教材中例题的教学价值。本堂课中探究性质，完全可以将教材例题进行改编和挖掘，即可为学生提供很好的问题背景，从而有效引导学生去思考、探究这两个性质，这样学生的学与教师的教就会变得更自然。从几组特殊组合数中启发学生发现性质，处理的有些勉强，缺少学生自主发展的空间，同时也没有充分利用教材中例题所呈现的实际问题背景。当然性质1由问题“计算”引入，开门见山，直奔主题，体现性质1的必要性；由于性质2的背景相对较复杂，故由具体问题分层次地引入，给学生提供思考的素材，而把抽象概括的主动权交给了学生。这样做总体很好，整节课学生都能在参与中有所学，达到新课程所关注的“让不同学生在数学上得到不同的发展”的要求。“规定”是数学内容的重要组成部分。它既体现一种数学文化，又体现数学知识之间的内在和谐，给学生以美的熏陶。对“规定”的教学不应一笔带过，应充分体现其合理性和必要性，让学生感到“规定”是油然而生的，合情合理的，而不是强加给他的。本课通过问题１中的讨论，自然地引导学生得出结论。在教材内容讲解安排上，把几个关于组合数的计算放在开始，使学生在回顾知识的同时，探索新知，逐步引入组合数的性质1，同时通过创设具体的情境，定义法解释性质1，这是科学、合理的。性质2作为组合数性质的重点和难点，一般学生开始并不容易理解掌握其本质和一般形式，这时将抽象问题形象具体化尤为重要。所以结合一个简单组合问题，比