高中数学汇编函数表示

2012本章内容了函数与方程、数形结合、分类讨论的思想方法，函数的类型较多，概念、较多，具有较强的综合性。数的定义域、解析式、值域是高考考查重点，函数性质的综合考查在考试中久考不衰，一、函数在高的地位与作从2009年、2010年和2011年的各地的高考试题中可以看出，近几年高考在函数中的1③函数的单调性在考试中久考不衰，且比例有上升趋势，和导函数联系较多23020%以3①全方位近几年来的高考题中，函数的所有知识点都考过，虽然近几年不强调知识点的覆②多层次在每年的高考题中，函数题抵挡、中档、高档难度都有，且选择、填空、解答题.④变角度.出于“立意”和创新情况的需要，函数试题设置问题的角度和方式也不断创新。二、导数在高的地位与作选择题、填空题等题目的形式基本概念、运算及导数的应用，也经常以解答题形式和其它数学知识结合起来，综合利用导数研究函数的单调性、极值、最值，估计2010考查形式为：选择题、填空题、解答题各种题型都会，选择题、填空题一般难度注意基本概念、基本性质、基本的及简单的应用；高本讲的题目一般为函 映两集

是两个非

是两个非对应关 如果按照某种确

如果按某一个确定f:A

f，使对于集A中的任意B中都有唯

f，使对于集A中的任意xB中都有唯一确定的元f(x)和它对名 称f:AB为A到集合B

素y称f:AB为从A到集合B记 yf(x)，x

对应f:AByf(xxAxxAxy值叫做函数值，函数值f(x|xA当函数y=f(x)x的集合y=f(x)x轴上的投影所覆盖的实数当函数y=f(x)当函数y=f(x)由实际问题给出时，函数的定义域由实际问题的意义确定。f(x)xf(x)xf(x)0的xf(x)的定义域为[a,b]f(g(x))a≤g(x)≤b解出〖例1〗(1)函数的定义域为( f(x)x的范围相同.要 有意义，则有-x2-3x+4≥0解得：-4≤x＜0［a,b［a,b提醒：定义域必须写成集合或区间的形式x24x6,x2f(x)x6,x

f(x)

f(1的解集是（A D.(,3)解 x0f(x2f(13f(xx0x63xf(xf(13，解得3x1或xx ，g（x）=3x3x|x

x （3）f（x）=2n1x2n1，g（x）=（

）2n－1（n∈N*xx

x1 x2x2x（1 x

|x

x （－∞0（0+∞ 由于当n∈N*时，2n±1

的定义域为x2≤－1x2y=（x（1）y3x21（4）yx12x2（7）y

（2）（5）2x2x（8）

3xx26xx26xx（6）y|x1||x41（9）（1（

x23(x1)22323y y∴y3x2

的值域为23改题：求函数y3x2 （利用函数的单调性）y3x2x2x[13x1时，原函数有最小值为4x3y3x2x2x[13的值域为[4x26x5（0yx26x5(x3)244∴04， [0,∴y

的值域为[0x2x26xy3x1y2xx

，其定义域为{xR|xy3x1的值域为{yR|yx（法二）y3x13(x27377∵x

，∴3

7x

x3

x

xy3x1的值域为{yR|yx换元法（代数换元法：设t

x1t2∴原函数可化为y1t24t ，∴y5∴原函数值域为(cxcxycxcx

yax2

yax2b∵1x201x1xcos,[0,ycossin

2sin(4 ∵[0,] [

∴2sin( ∴原函数的值域为[1,2x (x数 ：y|x1||x4| (4x1)2x (xy5，∴函数值域为[5x2x102x2y

得：(y2)x2(y y20y2时，①即3x00xy20y2x

时方程y2)x2y

∴△(y1)24(y2)20∴1y5y22x2x x(2x1) y 2x ∵x1，∴x ∴x12

11(x1(x22(x1222x12

x2

22∴y 2∴原函数的值域为

1,222111（9（法一）sinxycos111∴

sin(x)12y（其中cos

,sin 1∴sin(x1

12

1∴|12y1∴3y24y0∴0 ∴原函数的值域为[0f(g(x))=F(x)f(x)的表达式,g(x)的范围;换元法：已知复合函数1x

或1已知f(x )1

f(xf21lgxf(xxf(x是一次函数，且满足3f(x12f(x1)2x17f(x)f(x满足2f(xf

f(x（1）f(x1)x31x1)33(x1 f(xx33x（x2x2

1t（tx

x

t∴f(t)

，f(x)

x

(x1)f(x)axb(a0)则3f(x1)2f(x1)3ax3a3b2ax2a2baxb ∴a2，b7∴f(x)2x7方程组法：2f(x)f 把①中的换成，得2f()f(x) ①2②得3f(x)f(x) x的取值，一定要注明函数的定义域，否则会导致错误.15吨时，每吨水费的价格(基本消费价)1.356200%67吨时，超过部分的水费加收400%，如果本季度实际用水量为x(x≤7)吨，试计算本季度他应缴纳的水费.y表示本季度应缴纳的水费(元)，0＜x≤5时，y=1.3x；5＜x≤6x分成两部分：5与(x-5)1.3×5，第二y=1.3×5+3.9x-19.5=3.9x-13，6＜x≤7y=6.5x- 0x综上可知：y x 5x66.5x 6x〖例2〗某公司为一本畅销书定价如下是5元，现有甲、乙两人来买书，每人至少买1本，两人共买60本，问公司最少能？最多能赚n本书，则乙买(60-n)本书(不妨设甲买的书少于乙买的书)n≤30,n∈N*①当1≤n≤11且n∈N*时，49≤60-n≤59，公司赚的f(n)=12n+10(60-n)-5×60=2n+300；②当12≤n≤24且n∈N*时，36≤60-n≤48，公司赚的f(n)=12n+11(60-n)-5×60=n+360;③当25≤n≤30且n∈N*时，30≤60-n≤35，公司赚的f(n)=11×60-5×60=360；1≤n≤11n∈N*时，302≤f(n)≤322；12≤n≤24且n∈N*时，372≤f(n)≤384；25≤n≤30且n∈N*时，f(n)=360.故公司最少能赚302元，最多能赚384元〖例1〗 已知函数f(x)的定义域为R，且对于一切实数x满足f(x+2)=f(2－x),f(x+7)=f(7－（2）x[2,7]时，f(x)=(x－2)2x∈[16,20]g(x)=2x－f(x)的表达式，并g(x)的最大值和最小值；（3）f(x)=00f(x)=0在区间[－1000,1000]NN的最小值。解（1）f(x+2)=f(2－x)f(x+7)=f(7－x)得:f(x)x=2,x=7对称。∴∴f(x)10（2）

2x(x2x(x

（3）f(0)=0f(0)=f(4)=0f(0)在[0,10而在[－1000，1000200400401401个解的和为－200注题中（2）(x

(x ∴f(x)=∴f(x)= 12〗a是正数，ax+y=2(x≥0,y≥0)y+3x－x2M(a)（2）M(a)1解y+3x－x2ax+y=2yx1S(x)=y+3x－x2,y=2－axy1S(x)=2－ax+3x－1=－ =－ 2而 a2当 a0aa2 解 0<a<1或2<a<31 223－a≥(a>0)aaa2 )=2－a·+3·－

(2)2a 3－a≤0a≥31(3a)22

(0a2M（a）= a

(1a21(3a)22

(2a(a0<a<12<a<3时1 (3－a)1≤a≤22

－∵1≤a≤21≤1 ∴当 5a≥323－a是否在定义域区间[0，]a【感悟高考1（2009浙江理）对于正实数M为满足下述条件的函数f(x)构成的集合：x1x2Rx2x1，有(x2x1f(x2f(x1(x2x1 f(xf(x

，g(x)，g(x)

f(xg(xM1g(x)0，则f(xg(xf(x

，g(x)

f(xg(xf(x

，g(x)

，且1

f(xg(x(xxf(xf(x(xx

f(x2)f(x f(x2f(x1)k

f(x

kx

2kg2，因此有12kfkg12，因此有f(x)g(x) log2(1x),x2．(2009山东卷理)Rf(x) B. D.

f(x1)f(x2),x0【解析】:f(1log221,f(00,f(1f(0f(11f(2)f(1)f(0)1,f(3)f(2)f(1)1(1)0f(4)

f(3)f(2)0(1)1,f(5)

f(4)f(3)1,f(6)f(5)f(4)0f(x)6为周期重复性出现.,f（2009）f（5）=1,x(xx(x3（2008

x的定义域为（ x

D．x|0≤14（ 卷11）方程x2+2x－1＝0 视为函数y＝x+2的图像与函数y＝x的图像4x1x2xk,x)均在直线y＝x的同侧，则实数a的取值范围 (－∞,4a

(B) 4

(D)【答案】

1，即tana≥-1,所 (ex ex2 6.（ 文数）9.函数f(xlog3(x3)的反函数的图像与y轴的交点坐标是 f(xlog3(x3y3x3x=0y=-法二：函数f(xlog3(x3图像与x轴交点为（-2,0），利用对称性可知，函数f(x)log3(x3y轴的交点为（0，- 已知f：x→sinx是集合 ［0,2π］)到集合B={的元素个数最多有 (A)4 (B)5 (C)6 (D)7B.sinx=0时，x=0、π、

}A21sin2

时 A5个 有相同定义域的是 (B)f(x)= y=lnx的定义域为{x|x＞0}；函数y=的定义域为y=|x|Ry=exR若f(x)对于任意实数x恒有2f(x)-f(-x)=3x+1，则f(x)=( ,则的值为 7（黑龙江庆安三中·2010届高三10月月考（文设ab,函数y(ax)(xb)2的图 解析：yax)(xb)2(xa)(x

ab当xa时,f(x

当a

时,f(xxb时,f(x

故选设且，则 B．C．D．yOxyOxyOyOxyOxyOxyOx

10（2011则下列结论正确的是 AaR,f(x)有最大值fCaR,f(x)

BaR,f(x)有最小值fDaR,f(x)f(x)

bxc,xx

f(4

f(0),f(22的方程f(x)x的解的个数是 定义在实数集上的函数，如果存在函数，使得对于一切实数都成立那么称为函数的一个承托函数.给出如下命题：①对给定的函数，其承托函数可能不存在，也可能有无数②定义域和值域都是的函数不存在承托函数③为函数的一个承托函数④为函数 其中，正确题个数是（ 1（2011· 答案ln(x22（2011届·湖 沙市一中高三月考（理）函数y

的定义域 （-f(x)Acos(x)f()

则f(0) 22解析：由图象可得最小正周期 所以f(0)f(2)，注意到2与关于7对称，故f(2) 若对任意的xR,f(x)4 则f(x)的解析式为f(x)·1（201