材料力学电子扭转

材料力学电子扭转第1页/共100页2第2页/共100页3§3–1概述§3–2传动轴的外力偶矩·扭矩及扭矩图§3–3切应力互等定理与剪切胡克定律§3–4圆轴扭转横截面上的应力§3–5极惯性矩与抗扭截面系数§3–6圆轴扭转破坏与强度条件§3–7圆轴扭转的变形·刚度条件第三章扭转第3页/共100页4第4页/共100页5受扭转载荷的构件1第5页/共100页6

受扭转载荷的构件2汽车中的转向轴第6页/共100页7受扭转载荷的构件3机器中的传动轴第7页/共100页8

受扭转载荷的构件4第8页/共100页9§3–1概述轴：工程中以扭转为主要变形的构件。如：机器中的传动轴、石油钻机中的钻杆等。扭转：外力的合力为一力偶，且力偶的作用面与直杆的轴线垂直，杆发生的变形为扭转变形。ABOmmOBA第9页/共100页10扭转角（）：任意两截面绕轴线转动而发生的角位移。剪应变（）：直角的改变量。mmOBA第10页/共100页11工程实例第11页/共100页12§3–2传动轴的外力偶矩·扭矩及扭矩图一、传动轴的外力偶矩

传递轴的传递功率、转数与外力偶矩的关系：其中：P—功率，千瓦（kW）

n—转速，转/分（rpm）其中：P—功率，公制马力（PS）

n—转速，转/分（rpm）其中：P—功率，马力（HP）

n—转速，转/分（rpm）1PS=735.5N·m/s,1HP=745.7N·m/s,1kW=1.36PS第12页/共100页133扭矩的符号规定：“T”的转向与截面外法线方向满足右手螺旋规则为正，反之为负。二、扭矩及扭矩图

1扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T”。

2截面法求扭矩mmmTx第13页/共100页144扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。

目的①扭矩变化规律；②|T|max值及其截面位置强度计算(危险截面)。xT第14页/共100页15[例1]已知：一传动轴，n=300r/min，主动轮输入P1=500kW，从动轮输出P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。nABCDm2

m3

m1

m4解：①计算外力偶矩第15页/共100页16nABCDm2

m3

m1

m4112233②求扭矩（扭矩按正方向设）x第16页/共100页17③绘制扭矩图BC段为危险截面。xTnABCDm2

m3

m1

m44.789.566.37––第17页/共100页18§3–3切应力互等定理与剪切胡克定律薄壁圆筒：壁厚（r0：为平均半径）一、实验：1.实验前：①绘纵向线，圆周线；②施加一对外力偶m。第18页/共100页19第19页/共100页202.实验后：①圆周线不变；②纵向线变成斜直线。3.结论：①圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改变，只是绕轴线作了相对转动。

②各纵向线均倾斜了同一微小角度。

③所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。第20页/共100页21各横截面的大小形状间距不变，并仍然保持为平面。可假设各横截面绕轴线发生刚性转动。所以横截面上无正应力，只有切应力并且切应力与圆周相切。由于壁比较薄，可认为切应力和切应变沿壁厚均匀分布。由于沿周向变形无变化，可认为切应力沿周向也不发生变化。切应力分布规律和变形规律已经得到,切应力和扭转变形分别为多大?T第21页/共100页22acddxbdy´´①无正应力②横截面上各点处，只产生垂直于半径的均匀分布的剪应力，沿周向大小不变，方向与该截面的扭矩方向一致。4.与的关系：微小矩形单元体如图所示：第22页/共100页23二、薄壁圆筒剪应力大小：

A0：平均半径所作圆的面积。第23页/共100页24三、剪应力互等定理：

上式称为剪应力互等定理。该定理表明：在单元体相互垂直的两个平面上，剪应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向则共同指向或共同背离该交线。acddxbdy´´tz第24页/共100页25四、剪切虎克定律：

单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用，这种应力状态称为纯剪切应力状态。l第25页/共100页26T=m

剪切虎克定律：当剪应力不超过材料的剪切比例极限时（τ≤τp)，剪应力与剪应变成正比关系。第26页/共100页27

式中：G是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，因无量纲，故G的量纲与相同，不同材料的G值可通过实验确定，钢材的G值约为80GPa。

剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系（推导详见后面章节）：

可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量就可以推算出来。第27页/共100页28由于G是材料常数，薄壁圆筒的扭转角和剪应变可以通过扭矩表示出来：薄壁圆筒求解小结实验观察几何特征周向线大小形状间距均不发生变化.纵向线发生小角度倾斜.倾斜角度沿圆周相同.端部仍然为平面.无正应力,只有切应力且与圆周相切.切应力沿圆周均匀分布.各横截面发生刚性转动.薄壁圆筒,可认为应力,应变沿厚度无变化.静力平衡求得切应力(扭矩已知)剪应变和扭转角之间的关系.物性实验得到扭矩和扭转角之间的线性关系.对于线性材料引入剪切模量(材料常数,需事先给定)变形大小第28页/共100页29§3–4圆轴扭转截面上的应力扭转圆轴横截面应力①变形几何方面②物理关系方面③静力学方面1.横截面变形后仍为平面；

2.轴向无伸缩；

3.纵向线变形后仍为平行。一、等直圆杆扭转实验观察：第29页/共100页30二、等直圆杆扭转时横截面上的应力：1.变形几何关系：距圆心为任一点处的与该点到圆心的距离成正比。——扭转角沿长度方向变化率。第30页/共100页31Ttmaxtmax2.物理关系：虎克定律：代入上式得：第31页/共100页323.静力学关系：令代入物理关系式得：TOτpdA第32页/共100页33—横截面上距圆心为处任一点剪应力计算公式。4.公式讨论：①仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面直杆。②式中：T—横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。

—该点到圆心的距离。

Ip—截面极惯性矩，纯几何量，无物理意义。第33页/共100页34⑤确定最大剪应力：由知：当Wt—抗扭截面系数（抗扭截面模量），几何量，单位：mm3或m3。第34页/共100页35④应力分布TtmaxtmaxtmaxtmaxT（实心截面）（空心截面）工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻，结构轻便，应用广泛。第35页/共100页36静力方程

物理方程

几何方程

变形计算公式

应力计算公式

最大应力公式

结论横截面外圆周上点的剪应力和剪应变最大

圆轴扭转时，横截面上一点剪应力和剪应变与该点的极坐标呈比例

横截面最大剪应力与横截面的抗扭截面模量成反比扭转刚度

横截面扭转变形（单位长度扭转角）与横截面的扭转刚度成反比抗扭截面模量第36页/共100页37画轴的扭矩图极惯性矩和抗扭截面模量的计算确定可能的危险截面计算危险（最大）点应力求出最大剪应力计算两截面相对扭转角计算最大单位长度扭转角第37页/共100页38例2.2一空心圆轴如图2.13（a）所示，在A、B、C处受外力偶作用。已知，，，材料G=80Gpa，试求（1）轴内的最大剪应力；（2）C截面相对A截面的扭转角

画轴的扭矩图解：A、B可能为危险截面计算危险（最大）点应力第38页/共100页39所以，计算扭转角例2.2一空心圆轴如图2.13（a）所示，在A、B、C处受外力偶作用。已知，，，材料G=80Gpa，试求（1）轴内的最大剪应力；（2）C截面相对A截面的扭转角

第39页/共100页40单位：mm4，m4。③尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，只是Ip值不同。a.对于实心圆截面：DdO§3–5极惯性矩与抗扭界面系数第40页/共100页41b.对于空心圆截面：dDOd第41页/共100页42Ip＝d432Wp=d316Ip＝D

432(1-4)Wp=D

316(1-4)=d/D对于实心圆截面对于圆环截面第42页/共100页43低碳钢试件：沿横截面断开。铸铁试件：沿与轴线约成45的螺旋线断开。§3–6圆轴扭转破坏与强度条件一、扭转失效与扭转极限应力第43页/共100页44在扭转实验中，塑性材料试件受扭时，首先屈服，在试件表面出现横向与纵向的滑移线，继续增大扭转力偶，试件沿横截面剪断；脆性试件没有变形很小，最后会在与轴线成45o角的螺旋面发生断裂。扭转破坏：标志：屈服或是断裂扭转屈服应力：扭转极限强度：扭转极限应力统称为第44页/共100页45二、等直圆杆扭转时斜截面上的应力低碳钢试件：沿横截面断开。铸铁试件：沿与轴线约成45的螺旋线断开。因此还需要研究斜截面上的应力。第45页/共100页461.点M的应力单元体如图(b)：(a)M(b)tt´tt´(c)2.斜截面上的应力；取分离体如图(d)：(d)t´ttasax第46页/共100页47(d)t´ttasaxnt转角α规定：x轴正向转至截面外法线逆时针：为“+”顺时针：为“–”由平衡方程：解得：第47页/共100页48分析：当=0°时，当=45°时，当=–45°时，当=90°时，tt´smaxsmin45°

由此可见：圆轴扭转时，在横截面和纵截面上的剪应力为最大值；在方向角=45的斜截面上作用有最大压应力和最大拉应力。根据这一结论，就可解释前述的破坏现象。第48页/共100页49对于塑性材料,当横截面上的切应力达到时,试件发生显著的塑性变形,称为扭转屈服极限。对于脆性材料，试件在破坏前扭转变形很小,当切应力达到时,材料沿45度螺旋面断开。称为扭转强度极限。

第49页/共100页50三、圆轴扭转时的强度计算强度条件：对于等截面圆轴：([]

称为许用剪应力。)强度计算三方面：①校核强度：②设计截面尺寸：③计算许可载荷：第50页/共100页51四、圆轴的扭转的强度条件材料的扭转许用剪应力材料的扭转极限剪应力安全系数对于塑性材料，对于脆性材料，对于塑性材料,极限切应力一般取扭转屈服极限;对于脆性材料,则一般取扭转强度极限。第51页/共100页52[例2]

功率为150kW，转速为15.4转/秒的电动机转子轴如图，许用剪应力[]=30MPa,试校核其强度。Tm解：①求扭矩及扭矩图②计算并校核剪应力强度③此轴满足强度要求。D3

=135D2=75D1=70ABCmmx第52页/共100页53例汽车传动轴由45＃无缝钢管制成。已知：[τ]=60MPa，若钢管的外径D＝90mm，管壁厚t=2.5mm，轴所传动的最大扭矩M=1.5kN.m.试：1、校核传动轴的强度；2、与同性能实心轴的重量比。解：1、校核强度代入数据后得：τmax＝50.33MPa<[τ]＝60MPa;强度足够2、设计实心轴直径D1（两轴的最大工作切应力相等)3、两轴重量比D1Dt第53页/共100页54例3图示芯轴AB与轴套CD的轴线重合，二者在B、C处连成一体；在D处无接触。已知芯轴直径d=66mm；轴套的外径D=80mm，壁厚δ=6mm。若二者材料相同，所能承受的最大切应力不得超过60MPa。试求结构所能承受的最大外扭转力偶矩T。

解：芯轴与轴套只在下面部分B处相连接，在上部D处，二者互不接触，所以，芯轴与轴套都是在两端承受扭矩。1.芯轴横截面上的最大切应力为：

根据对最大切应力切应力的限制，有第54页/共100页55图示芯轴AB与轴套CD的轴线重合，二者在B、C处连成一体；在D处无接触。已知芯轴直径d=66mm；轴套的外径D=80mm，壁厚δ=6mm。若二者材料相同，所能承受的最大切应力不得超过60MPa。试求结构所能承受的最大外扭转力偶矩T。

根据对最大切应力切应力的限制，有

因此得到芯轴所能承受的最大扭矩第55页/共100页56

解：2.轴套横截面上的最大切应力为：

根据对最大切应力的限制，有

因此得到轴套所能承受的最大扭矩N·m图示芯轴AB与轴套CD的轴线重合，二者在B、C处连成一体；在D处无接触。已知芯轴直径d=66mm；轴套的外径D=80mm，壁厚δ=6mm。若二者材料相同，所能承受的最大切应力不得超过60MPa。试求结构所能承受的最大外扭转力偶矩T。

第56页/共100页573.结构所能承受的最大扭转力偶：

根据上述结果，整个结构所能承受的最大扭转力偶为N·m

N·mN·m图示芯轴AB与轴套CD的轴线重合，二者在B、C处连成一体；在D处无接触。已知芯轴直径d=66mm；轴套的外径D=80mm，壁厚δ=6mm。若二者材料相同，所能承受的最大切应力不得超过60MPa。试求结构所能承受的最大外扭转力偶矩T。

第57页/共100页58例4

图示实心圆轴承受外扭转力偶，其力偶矩T=3kN·m。试求：1．轴横截面上的最大切应力；2．轴横截面上半径r=15mm以内部分承受的扭矩所占全部横截面上扭矩的百分比；3．去掉r=15mm以内部分，横截面上的最大切应力增加的百分比解：1．轴横截面上的最大切应力第58页/共100页59

图示实心圆轴承受外扭转力偶，其力偶矩T=3kN·m。试求：1．轴横截面上的最大切应力；2．轴横截面上半径r=15mm以内部分承受的扭矩所占全部横截面上扭矩的百分比；3．去掉r=15mm以内部分，横截面上的最大切应力增加的百分比解：

2.轴横截面上半径r=15mm以内部分承受的扭矩所占全部横截面上扭矩的百分比：第59页/共100页60解：

2.轴横截面上半径r=15mm以内部分承受的扭矩所占全部横截面上扭矩的百分比：

图示实心圆轴承受外扭转力偶，其力偶矩T=3kN·m。试求：1．轴横截面上的最大切应力；2．轴横截面上半径r=15mm以内部分承受的扭矩所占全部横截面上扭矩的百分比；3．去掉r=15mm以内部分，横截面上的最大切应力增加的百分比第60页/共100页61

解

:3．去掉r=15mm以内部分，横截面上的最大切应力增加的百分比：采用圆环截面的扭转最大切应力公式

图示实心圆轴承受外扭转力偶，其力偶矩T=3kN·m。试求：1．轴横截面上的最大切应力；2．轴横截面上半径r=15mm以内部分承受的扭矩所占全部横截面上扭矩的百分比；3．去掉r=15mm以内部分，横截面上的最大切应力增加的百分比第61页/共100页62思考问题1．去掉r=15mm以内部分，所用材料将会减少多少？2．如果中心r=15mm以内部分所用的是另一种材料，这时，横截面上的最大切应力将发生在哪里？计算这时的最大切应力，还需要什么条件？r=15mm第62页/共100页63§3–7圆轴扭转变形与刚度条件一、扭转时的变形由公式知：长为

l一段杆两截面间相对扭转角

为第63页/共100页64二、单位长度扭转角：或三、刚度条件或GIp反映了截面尺寸和材料性能抵抗扭转变形的能力，称为圆轴的抗扭刚度。[]称为许用单位长度扭转角。第64页/共100页65刚度计算的三方面：①校核刚度：②设计截面尺寸：③计算许可载荷：有时，还可依据此条件进行选材。各类轴的许用单位长度扭转角可在有关的机械设计手册中查得。对精密机器的轴[q]=(0.25～0.50)0/m；一般传动轴[q]=(0.5～1.0)0/m；精度要求不高的轴[q]=(1.0～2.5)0/m。

第65页/共100页66[例5]长为L=2m

的圆杆受均布力偶m=20Nm/m

的作用，如图，若杆的内外径之比为

=0.8，G=80GPa

，许用剪应力[]=30MPa，试设计杆的外径；若[]=2º/m

，试校核此杆的刚度，并求右端面转角。解：①设计杆的外径第66页/共100页6740NmxT代入数值得：D0.0226m。②由扭转刚度条件校核刚度第67页/共100页6840NmxT③右端面转角为：第68页/共100页69[例6]

某传动轴设计要求转速n=500r/min，输入功率N1=500马力，输出功率分别N2=200马力及N3=300马力，已知：G=80GPa，[]=70MPa，[]=1º/m

，试确定：①AB段直径d1和BC段直径d2

？②若全轴选同一直径，应为多少？③主动轮与从动轮如何安排合理？解：①图示状态下,扭矩如图，由强度条件得：

500400N1N3N2ACBTx–7.024–4.21(kNm)第69页/共100页70由刚度条件得：500400N1N3N2ACBTx–7.024–4.21(kNm)第70页/共100页71

综上：②全轴选同一直径时第71页/共100页72

③轴上的绝对值最大的扭矩越小越合理，所以，1轮和2轮应

该换位。换位后,轴的扭矩如图所示,此时,轴的最大直径才

为75mm。Tx–4.21(kNm)2.814第72页/共100页73圆轴扭转的强度设计的简化公式实心圆轴空心圆轴例如：富康轿车额定功率65kW，2500转为设计工况承受同样最大扭矩的相同材料制成的等强度圆轴，谁重谁轻？第73页/共100页74圆轴扭转的刚度设计简化公式实心圆轴空心圆轴例如：富康轿车额定功率65kW，2500转为设计工况承受同样最大扭矩的相同材料制成的等刚度圆轴，谁重谁轻？第74页/共100页75补充：扭转超静定问题

密圈弹簧变形

非圆截面杆扭转

薄壁杆件扭转第75页/共100页76第76页/共100页77本章结束第77页/共100页78§3–9等直圆杆的扭转超静定问题解决扭转超静定问题的方法步骤：平衡方程；几何方程——变形协调方程；补充方程：由几何方程和物理方程得；物理方程；解由平衡方程和补充方程组成的方程组。①②③④⑤第78页/共100页79[例7]长为L=2m

的圆杆受均布力偶m=20Nm/m

的作用，如图，若杆的内外径之比为

=0.8，外径

D=0.0226m，G=80GPa，试求固定端反力偶。解：①杆的受力图如图示，

这是一次超静定问题。

平衡方程为：AB第79页/共100页80②几何方程——变形协调方程③综合物理方程与几何方程，得补充方程：④由平衡方程和补充方程得：另:此题可由对称性直接求得结果。第80页/共100页81§3-10圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形计算

第81页/共100页821.弹簧丝横截面上的应力由Q引起的剪应力由T引起的最大剪应力横截面上的内力其中由第82页/共100页83对某些工程实际问题，如机车车辆中的重弹簧，的值并不太小，此时不仅要考虑剪力，还要考虑弹簧丝曲率的影响，进一步理论分析和修正系数k的选取可见有关参考书。密圈弹簧丝的强度条件是

第83页/共100页84设弹簧在轴向压力（或拉力）作用下，轴线方向的总缩短（或伸长）量为，这是弹簧的整体的压缩（或拉伸）变形。如图4-16a、b，外力对弹簧做功。簧丝横截面上，距圆心为的任意点的扭转剪应力为2.弹簧的变形如认为簧丝是纯扭转，则其相应的单位体积变形能是第84页/共100页85由，则得到是弹簧圈的平均半径。若引入记号则上式可写成代表弹簧抵抗变形的能力，称为弹簧刚度。可见与成反比，越大则越小。其中第85页/共100页86【例4-5】某柴油机的气阀弹簧，簧圈平均半径，簧丝直径，有效圈数，材料的。弹簧工作时受KN，求此弹簧的最大压缩量与最大剪应力(略去弹簧曲率的影响)。【解】：由变形公式求最大压缩量

考虑剪切力时

不考虑剪力影响时，相差5.9%。由于，还应考虑曲率影响，此处从略。第86页/共100页87

§3-11非圆截面杆扭转的概念

杆件受扭转力偶作用发生变形，变形后其横截面将不再保持平面，而发生“翘曲”

第87页/共100页88

第88页/共100页89

扭转时，若各横截面翘曲是自由的，不受约束，此时相邻横截面的翘曲处处相同，杆件轴向纤维的长度无变化，因而横截面上，只有剪应力没有正应力，这种扭转称为自由扭转。此时横截面上剪应力规律如下第89页/共100页90边缘各点的剪应力与周边相切，沿周边方向形成剪流

1)

2)

发生在矩形长边中点处，大小为

3)杆件两端相对扭转角其中系数与有关，可查表

其中注意到：对非圆截面