勾股定理的七种证明方法

勾股定理的七种证明方法【证法1】做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b,斜边长为c,再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a+b,所以面积相等.即a"2+b"2+4*(ab/2)=c"2+4*(ab/2)整理得到：a辺+b辺二"2。【证法2】以a、b为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab/2.把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上.•/ RtAHAE 竺RtAEBF,・•・ ZAHE = ZBEF.•・• ZAEH + ZAHE= 90°,・•・ ZAEH + ZBEF= 90°・・•・ZHEF=180°—90°=90°.・•・四边形EFGH是一个边长为c的正方形.它的面积等于"2.•/RtAGDH竺RtAHAE,・•・ZHGD=ZEHA.•・•ZHGD+ZGHD=90°,・•・ZEHA+ZGHD=90°.又•・•ZGHE=90°,・•・ZDHA=90°+90°=180°.・•・ABCD是一个边长为a+b的正方形，它的面积等于(a+b)'2・•・(a+b厂2二"2+4*(ab/2)， a"2+b"2二"2。【证法3】以a、b为直角边(b>a),以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab/2・把这四个直角三角形拼成如图所示形状.•/RtADAH竺RtAABE,・•・ZHDA=ZEAB・•・•ZHAD+ZHAD=90°,・•・ZEAB+ZHAD=90°,・•・ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c'2.•/EF=FG=GH=HE=b—a,ZHEF=90°.・•・EFGH是一个边长为b—a的正方形，它的面积等于(b-a厂2.(b—a厂2+4*(ab/2)=c"2, •・a^2+b^2=c^2。【证法4】以a、b为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab/2.把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上.•/RtAEAD竺RtACBE,・•・ZADE=ZBEC・•/ZAED+ZADE=90°,・•・ZAED+ZBEC=90°.・•・ZDEC=180°—90°=90°.・•・ADEC是一个等腰直角三角形，它的面积等于"2/2・丈:ZDAE=90°,ZEBC=90°,・•・AD〃BC・・•・ABCD是一个直角梯形，它的面积等于(a+b)人2/2(a+b厂2/2=2*ab/2+"2/2,・•・aA2+bA2=cA2o【证法5】做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c.把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上.过C作AC的延长线交DF于点P.•:D、E、F在一条直线上，且RtAGEF竺RtAEBD,・•・ZEGF=ZBED，•:ZEGF+ZGEF=90°，・•・ZBED+ZGEF=90°，・•・ZBEG=180°—90°=90°.又•：AB=BE=EG=GA=c，・•・ABEG是一个边长为c的正方形.・•・ZABC+ZCBE=90°・•:RtAABC竺RtAEBD,・•・ZABC=ZEBD.・•・ZEBD+ZCBE=90°.即ZCBD=90°.又•：ZBDE=90°，ZBCP=90°，BC=BD=a.・•・BDPC是一个边长为a的正方形.同理，HPFG是一个边长为b的正方形.设多边形GHCBE的面积为S，则a"2+b辺二S+2*ab/2"2=S+2*ab/2a"2+b"2二"2。FDFD【证法6】如图，在RtAABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b,斜边AB的长为c,过点C作CD丄AB，垂足是D・在厶ADC和AACB中，•・•ZADC=ZACB=90°，ZCAD=ZBAC，・•・AADCsAACB.AD：AC=AC:AB，即AL2二AD*AB.同理可证，ACDBsAACB，从而有BL2二BD*AB.・•・AL2+BL2=(AD+BD)*AB二AB"2，即a"2+b"2二"2。【证法7】做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结BF、CD.过C作CL丄DE，交AB于点M,交DE于点L.•・•AF=AC，AB=AD，

ZFAB=ZGAD,・•・AFAB竺AGAD,•・•AFAB的面积等