第七讲-非线性拟合

第七讲_非线性拟合第1页，共17页，2023年，2月20日，星期一

已知离散点上的数据集求得一解析函数y=f(x)，使f(x)在原离散点xi上尽可能接近给定yi的值，这一过程叫曲线拟合.最常用的曲线拟合是最小二乘法曲线拟合，拟合结果可使误差的平方和最小，即找出使下式最小的f(x):通常，在解决实际问题时先将已知数据的散点图画出，然后设计拟合的曲线类型，最后根据某种准则选定最佳的曲线.1.多项式拟合多项式拟合就是选择适当的多项式对数据集进行拟合，其命令为：格式：p=polyfit(X,Y,n).第2页，共17页，2023年，2月20日，星期一说明：求出已知数据(X,Y)的n阶拟合多项式f(x)按降幂排列的系数p，X必须是单调的.例1.对以下数据作出散点图，然后用多项式拟合：(0.5,1.75),(1,2.75),(1.5,3.81),(2,4.8),(2.5,7),(3,8.6)解：x=[0.5,1.0,1.5,2.0,2.5,3.0];y=[1.75,2.45,3.81,4.80,7.00,8.60];plot(x,y)发现：这些点大致地位于某条直线附近，故可考虑线性拟合：p=polyfit(x,y,1)ans:p=2.7937-0.1540即拟合函数为：y=2.7937x-0.154(图6.1)第3页，共17页，2023年，2月20日，星期一上述函数的拟合效果如何？我们可以通过计算误差平方和的大小进行考察（两种方法）：

(1)sum((2.7937*x-0.154-y).^2)=0.9136如果用二次函数进行拟合，则有：p=polyfit(x,y,2)p=0.56140.82871.1560即拟合函数为：此时误差平方和为：

sum((polyval(p,x)-y).^2)=0.1781根据误差平方和最小原则：二次函数优于线性函数(2)sum((polyval(p,x)-y).^2))=0.9136是否有误差等于零的多项式？有，那就是该数据点的插值多项式（五次多项式）第4页，共17页，2023年，2月20日，星期一通常，给出两点的坐标，我们可以得到一条直线；若给出三点的坐标，我们可以得到一条抛物线；…，给出n个点的坐标，我们可以得到一个n-1阶的多项式.

是否多项式的阶数越高越好呢？非也！在解决实际问题时，只要达到所需的精度，应尽量选择简单的函数.p=-1.600013.7400-44.073365.6650-42.631711.3500此时多项式在x处的函数值为：polyval(p,x)

ans=1.75002.45003.81004.80007.00008.6000例2.某种合金中的主要成分为A,B两种金属，经过试验发现：这两种金属成分之和x与合金的膨胀系数y有如下关系，建立描述这种关系的数学表达式.第5页，共17页，2023年，2月20日，星期一x3737.53838.53939.54040.54141.54242.543y3.4332.272.11.831.531.71.81.92.352.542.9解：首先作出散点图:

x=37:0.5:43;

y=[3.4,3,3,2.27,2.1,1.83,1.53,1.7,1.8,1.9,2.35,2.54,2.9];plot(x,y,’*’)发现：有点像抛物线，故选二次函数拟合.p=polyfit(x,y,2)p=0.1660-13.3866271.6231即为所求拟合曲线误差平方和：R=sum((polyval(p,x)-y).^2)=0.2523(图6.2)第6页，共17页，2023年，2月20日，星期一设有实验数据,寻找函数使得函数在点处的函数值与观测数据偏差的平方和达到最小.即求满足如下条件的函数使得最小解决此类问题有以下几个步骤：（1）首先作出散点图，确定函数的类别；（2）根据已知数据确定待定参数的初始值，利用Matlab软件计算最佳参数；（3）根据可决系数，比较拟合效果。2.非线性拟合第7页，共17页，2023年，2月20日，星期一其中R2越趋近于1表明拟合效果越好.

如果是多项式函数，则称为多项式回归，此时的参数即多项式的系数；如果为指数函数、对数函数、幂函数或三角函数等，则称为非线性拟合.下面的图形给出了常见曲线与方程的对应关系：在Matlab中实现可决系数的命令：R2=1-sum((y-y1).^2)/sum((y-mean(y)).^2)可决系数的计算公式为第8页，共17页，2023年，2月20日，星期一幂函数

指数函数

双曲线函数对数函数

第9页，共17页，2023年，2月20日，星期一指数函数S形曲线具有S形曲线的常见方程有：罗杰斯蒂（logistic）模型：

龚帕兹（Gomperty）模型：理查德（Richards）模型：

威布尔(Weibull)模型：

第10页，共17页，2023年，2月20日，星期一为了实现非线性拟合，首先要定义函数1.inline定义的函数：用于曲线拟合、数值计算步骤：(1)建立M文件；(2)fun=inline('f(x)','参变量'，'x')例1.建立函数：a,b,c为待定的参数fun=inline('b(1)*(1-b(2)*exp(-b(3)*x))','b','x');此处，将b看成参变量，b(1),b(2),b(3)为其分量.若计算函数在x=0:0.1:1上的函数值，由于此时x为矩阵，只需将函数表达式中的某些量表示成向量有些*改成.*即可.第11页，共17页，2023年，2月20日，星期一在实际问题中，有时散点图作出后未必是多项式的图形，可能像其他的曲线，这时可以猜测曲线类型，然后利用如下命令：[beta,r,J]=nlinfit(x,y,fun,beta0)其中，x,y为原始数据，fun是在M文件中定义的函数，beta0是函数中参数的初始值；beta为参数的最优值，r是各点处的拟合残差，J为雅克比矩阵的数值.例2.已知如下数据，求拟合曲线k=[0,47,93,140,186,279,372,465,558,651];

y=[18.98,27.35,34.86,38.52,38.44,37.73,38.43,43.87,42.77,46.22];plot(k,y,'*')第12页，共17页，2023年，2月20日，星期一根据右图，我们猜测曲线为：现在利用最小二乘法确定最佳参数：b1,b2,b3b0=[43,0.6,0.1];%初始参数值fun=inline('b(1)*(1-b(2)*exp(-b(3)*k))','b','k');[b,r,j]=nlinfit(k,y,fun,b0);b%最佳参数R=sum(r.^2)%误差平方和b=42.6643，0.5483，0.0099即拟合曲线为：(图6.3)第13页，共17页，2023年，2月20日，星期一拟合结果如右图所示，红色为拟合曲线图形，*为原始散点图.

y1=42.6643*(1-0.5483*exp(-0.0099*k));plot(k,y,'*',k,y1,'-or')作图程序为：(图6.4)练习：计算可决系数第14页，共17页，2023年，2月20日，星期一

例3.炼钢厂出钢时所用盛钢水的钢包，由于钢水对耐火材料的侵蚀，容积不断增大，我们希望找出使用次数与增大容积之间的函数关系.实验数据如下：表4.2钢包使用次数与增大容积使用次数23456789增大容积6.428.29.589.59.7109.939.99使用次数10111213141516增大容积10.4910.5910.610.810.610.910.76分别选择函数拟合钢包容积与使用次数的关系,在同一坐标系内作出函数图形.第15页，共17页，2023年，2月20日，星期一x1=[2:16];y1=[6.42,8.2,9.58,9.5,9.7,10,9.93,9.99,10.49,10.59,10.6,10.8,10.6,10.9,10.76];b01=[0.1435,0.084];%初始参数值fun1=inline('x./(b(1)+b(2)*x)','b','x');%定义函数[b1,r1,j1]=nlinfit(x1,y1,fun1,b01);y=x1./(0.1152+0.0845*x1);%根据b1写出具体函数

plot(x1,y1,'*',x1,y,'-or');下面给出分式函数拟合程序：初始参数b0的计算，由于确定两个参数值，因此我们选择已知数据中的两点（2,6.42）和（16,10.76）代入方程，得到方程组：可决系数计算：第16页，共17页，2023年，2月20日，星期一上述方程组有两种解法：手工，Matlab,下面介绍Matlab解方程组的方法