矩阵的初等变换初等矩阵

矩阵的初等变换初等矩阵第1页，共39页，2023年，2月20日，星期一定义1下面三种变换称为矩阵的初等行变换:一、矩阵的初等变换第2页，共39页，2023年，2月20日，星期一定义2矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换．

初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同．同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是把“r”换成“c”)．逆变换逆变换逆变换第3页，共39页，2023年，2月20日，星期一等价关系的性质：凡具有上述三条性质的关系称为等价关系．例如，两个线性方程组同解，就称这两个线性方程组等价二、矩阵的的等价关系第4页，共39页，2023年，2月20日，星期一用矩阵的初等行变换解方程组（1）：第5页，共39页，2023年，2月20日，星期一第6页，共39页，2023年，2月20日，星期一第7页，共39页，2023年，2月20日，星期一第8页，共39页，2023年，2月20日，星期一特点：（1）、可划出一条阶梯线，线的下方全为零；（2）、每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元．三、行阶梯矩阵及行最简矩阵第9页，共39页，2023年，2月20日，星期一注意：行最简形矩阵是由方程组唯一确定的，行阶梯形矩阵的行数也是由方程组唯一确定的．

行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标准形．第10页，共39页，2023年，2月20日，星期一例如第11页，共39页，2023年，2月20日，星期一特点：所有与矩阵等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类，标准形是这个等价类中最简单的矩阵.第12页，共39页，2023年，2月20日，星期一小结1.初等行(列)变换初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同．3.矩阵等价具有的性质2.初等变换第13页，共39页，2023年，2月20日，星期一第6节矩阵的初等变换一、初等矩阵的概念二、初等矩阵的应用三、小结第14页，共39页，2023年，2月20日，星期一定义由单位矩阵经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵.三种初等变换对应着三种初等方阵.矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应用广泛.一、初等矩阵的概念第15页，共39页，2023年，2月20日，星期一第16页，共39页，2023年，2月20日，星期一第17页，共39页，2023年，2月20日，星期一第18页，共39页，2023年，2月20日，星期一第19页，共39页，2023年，2月20日，星期一第20页，共39页，2023年，2月20日，星期一第21页，共39页，2023年，2月20日，星期一第22页，共39页，2023年，2月20日，星期一第23页，共39页，2023年，2月20日，星期一定理1设是一个矩阵，对施行一次初等行变换，相当于在的左边乘以相应的阶初等矩阵；对施行一次初等列变换，相当于在的右边乘以相应的阶初等矩阵.初等变换初等矩阵初等逆变换初等逆矩阵二、初等矩阵的应用第24页，共39页，2023年，2月20日，星期一第25页，共39页，2023年，2月20日，星期一

定理2设A为可逆方阵，则存在有限个初等方阵证即第26页，共39页，2023年，2月20日，星期一利用初等变换求逆阵的方法：第27页，共39页，2023年，2月20日，星期一解例１第28页，共39页，2023年，2月20日，星期一第29页，共39页，2023年，2月20日，星期一即初等行变换第30页，共39页，2023年，2月20日，星期一例２解第31页，共39页，2023年，2月20日，星期一第32页，共39页，2023年，2月20日，星期一第33页，共39页，2023年，2月20日，星期一列变换列变换第34页，共39页，2023年，2月20日，星期一三、小结1.单位矩阵初等矩阵.一次初等变换2.利用初等变换求逆阵的步骤是:第35页，共39页，2023年，2月20日，星期一思考题第36页，共39页，2023年，2月20日，星期一思考题解答解可以看成是由3阶单位矩阵经4次初等变换,而得.而这4次初等