量子力学试题

量子力学试题（一）及答案（20分）质量为m的粒子，在一维无限深势阱中中运动，若t=0时，粒子处于状态上，其中，（P.（x）为粒子能量的第n个本征态。（1）求t=0时能量的可测值与相应的取值几率；（2）求t>0时的波函数W<x,t）及能量的可测值与相应的取值几率解：非对称一维无限深势阱中粒子的本征解为（1）首先，将wG,。）归一化。由可知，归一化常数为于是，归一化后的波函数为能量的取值几率为能量取其它值的几率皆为零。（2）因为哈密顿算符不显含时间，故t>0时的波函数为（3）由于哈密顿量是守恒量，所以t>0时的取值几率与t=0时相同。（20分）质量为m的粒子在一维势阱中运动V°>0），若已知该粒子在此势阱中有一个能量E=-§的状态，试确定此势阱的宽度a。解：对于e=-Kv0的情况，三个区域中的波函数分别为2其中，在x=a处，利用波函数及其一阶导数连续的条件得到于是有此即能量满足的超越方程。当E=-2V0时，由于故^-0a=nn--，n=1,2,3,…方4最后，得到势阱的宽度（20分）设厄米特算符H的本征矢为|n；，fn：｝构成正交归一完备系，定义一个算符（1）计算对易子H,U（m,nU（2）证明U（m,nU+（p,q）=5U（m,p）；

(3)计算迹Tr{(3)计算迹Tr{?（m,n）l（4）若算符人的矩阵元为A=伸间甲:，证明mnmn解：（1）对于任意一个态矢|v:'，有（2）（3）（4）而U(m,nU(p,q)=|甲X甲|p甲=6U(（1）对于任意一个态矢|v:'，有（2）（3）（4）而U(m,nU(p,q)=|甲X甲|p甲=6U(m,p)算符的迹为算符nq四.（20分）自旋为2、固有磁矩为“=低（其热为实常数）的粒子，处于均匀外磁场B=Bk中，设t=0时，粒子处于七=|的状态，（1）求出t>0时的波函数；（2）求出t>0时S,与S乙的可测值及相应的取值几率。解：体系的哈密顿算符为在泡利表象中，哈密顿算符的本征解为,,，、一一力在t=0时，粒子处于s,=2的状态，即而S满足的本征方程为解之得由于，哈密顿.符不显含时间，故t>0时刻的波函数为（2）因为,S0，所以s,是守恒量，它的取值几率与平均值不随时间改变，换句话说，只要计算t=0时s,的取值几率就知道了t>0时s《的取值几率。由于(方G11方GS=—,0=-；Ws=一一,0kZ2)2kZ2)_1=2故有而S,的取值几率为五.（20分）类氢离子中，电子与原子核的库仑相互作用为V(r)=竺（Ze为核电荷）r解：已知类氢离子的能量本征解为式中，a°=生~为玻尔半径。能量的一级修正为由维里定理知总能量所以，得到微扰论近似到一级的能量为而严格解为量子力学试题（二）及答案一、（20分）在t—°时刻，氢原子处于状态式中，V/r）为氢原子的第n个能量本征态。计算t=0时能量的取值几率与平均值，写出t〉°时的波函数。解：氢原子的本征解为其中，量子数的取值范围是n=1,2,3,…；l=0,1,2,…,n-1，m=一1T+1,…」—1J由波函数归一化条件可知归一化常数为不为零的能量取值几率为W（E「=W（E3）=3；W（E「=4能量平均值为当t〉°时，波函数为二、（20分）设粒子处于一维势阱之中式中，V°〉°。导出能量本征值满足的超越方程，进而求出使得体系至少存在一个束缚态的v°值。解：对于E<°的情况，三个区域中的波函数分别为其中，利用波函数再X=°处的连接条件知，8=n兀，n=0,1,2,...在尤=a处，利用波函数及其一阶导数连续的条件得到于是有此即能量满足的超越方程。由于，余切值是负数，所以，角度ka在第2、4象限。超越方程也可以改写成式中，因为，|sin(ka)|V1，所以，若要上式有解，必须要求当ka=-时，Isin(ka)=1，于是，有2整理之，得到三、(20分)在动量表象中，写出线谐振子的哈密顿算符的矩阵元。解：在坐标表象中，线谐振子的哈密顿算符为在动量表象中，该哈密顿算符为由于动量的本征函数为8(P-P')，故哈密顿算符的矩阵元为四、(20分)设两个自旋为二非全同粒子构成的体系，哈密顿量2TOC\o"1-5"\h\z1人△△二iH=Cs-s，其中，C为常数，s与s分别是粒子1和粒子2的自1212旋算符。已知t=0时，粒子1的自旋沿七轴的负方向，粒子2的自旋沿Z轴的正方向，求t>0时测量粒子1的自旋处于Z轴负方向的几率和粒子2的自旋处于七轴负方向的几率。解：体系的哈密顿算符为选择耦合表象，由于s=0，1，故四个基底为1印1〉；2)=I1-；|3)=|10)；|4〉=|00〉在此基底之下，哈密顿算符是对角矩阵，即可以直接写出它的解为E1=4方2，g1；,=I11.)；=1++/e2=，方2，m2；：=i1-匚；=|--)

E4=--—-力2，已知t=0时，体系处于1中3；=|10；=七L-"|-+JE4=--—-力2，已知t=0时，体系处于I中—/=100.)：=—y=R+-.).•-|-+；］因为哈密顿算符不显含时间，故t〉0时刻的波函数为粒子1处于'轴负方向的几率为而粒子2处于'轴负方向的几率为五、（20分）作一维运动的粒子，当哈密顿算符为2H0=2-+VG）时，能量本征值与本征矢分别为E。与I〃〉，如果哈密顿算符变成H=H+xp（入为实参数）时，0h（1）利用费曼一海尔曼定理求出严格的能量本征值。（2）若入<<1，利用微扰论计算能量本征值到二级近似。解：首先，利用费因曼一赫尔曼定理求出严格的能量本征值。视入为参变量，则有利用费因曼-赫尔曼定理可知又知在任何束缚态|〃〉下，均有所以，进而得到能量本征值满足的微分方程对上式作积分，得到利用口=0时，H=H0，定出积分常数最后，得到H的本征值为其次，用微扰论计算能量的近似解。已知H0满足的本征方程为由可知第k个能级的一级修正为能量的二级修正为

为了求出上式右端的求和项，在H0表象下计算可以证明，对于任意实束缚态波函数"；，有于是，得到得到近似到二级的解为量子力学试题（三）及答案一、（20分）已知氢原子在t=0时处于状态其中，中打⑴为该氢原子的第n个能量本征态。求能量及自旋z分量的取值概率与平均值，写出t>0时的波函数。解已知氢原子的本征值为"壬土，n=1,2,3,（"壬土，n=1,2,3,（1）将t=0时的波函数写成矩阵形式3里3W(x,0)=(x)+f也(x)]1(x)1（2）利用归一化条件\cI2rdx3览(x\cI2rdx3览(x)+^3^K(x)(x)-)（3）(124A1+2+4c

"999/于是，归一化后的波函数为3中2(x)+手中3、-3g(x)9W(x,0)=(x)(x)+、\(x)（4）(x)能量的可能取值为E,E,E，相应的取值几率为

123（5）w（E],0）=4；W（E2,0）=7;W（E3,0）=2能量平均值为（5）412E(0)=4E+-E+2E=717273日甲「411121]161日甲-——X—+—X—+—X—=-——-—22|_717479」5042（6）自旋z分量的可能取值为-,--，相应的取值几率为22

hh123

=—+=.7773/\2,0J（7）自旋z分量的平均值为（8）t>0时的波函数i2p3G)7P(X)expI-—Et（9）二（20分）质量为m的粒子在如下一维势阱中运动V。>0）若已知该粒子在此势阱中有一个能量E=-的状态，试确定此势阱的宽度a对于-V0<E<0的情况，三个区域中的波函数分别为(x)=00"sin(kx+5)

(x)=Bexp(-ox)3（1）其中，•5E+V0)

力J2mEa=力（2）利用波函数再x=0处的连接条件知，5=〃兀，n=0,1,2,…。在x=a处，利用波函数及其一阶导数连续的条件(a)*(a)2(a)*3(a)23（3）得到Asin(ka+n兀)=Bexp(-aa)Akcos(ka+n兀)=-Baexp(-aa)（4）于是有tan(ka)=-—(5)此即能量满足的超越方程。当E=-2V0时，由于tan\i；mV'

atan力I

t'mV0/—-1,；mV0力（6）故—(n=1,2,3,…)4（7）最后得到势阱的宽度丸力丸力三、（20分）证明如下关系式（8）（1）任意角动量算符j满足jXj=ij。h同理可知，对y与z分量亦有相应的结果，故欲证之式成立。证明对X分量有投影算符p广|〃；；〃h同理可知，对y与z分量亦有相应的结果，故欲证之式成立。证明在任意的两个状态|w），与1%之下，投影算符Pn的矩阵元为而投影算符pn的共觐算符P：的矩阵元为显然，两者的矩阵元是相同的，由阳；与防的任意性可知投影算符p是厄米算符。利用Zw*（x'舄（x）=8（t-x）证明（xp）=£x（p），其中，，（x）｝为kkxmnmkxknkkk任意正交归一完备本征函数系。证明四、（20分）在L2与L表象中，在轨道角动量量子数l=1的子空间中，分z别计算算符L、L与L的矩阵元，进而求出它们的本征值与相应的本征矢。XyZ解在乙2与气表象下，当轨道角动量量子数/=1时，秫=i,o,_i,显然，算符Z、亡与2皆为三维矩阵。由于在自身表象中，故4是对角矩阵，且其对角元为相应的本征值，于是有、0.00、0-1J(1)相应的本征解为L=0;「1)|*)=o1(2)|w］〉=0Id对于算符4、q而言，需要用到升降算符，即L=1(£+L)

x2+-L=1Q-l)V2i+-(3)七+1加)=J/V+V—mvn±17当/=1,秫=1,0,一1时，显夜，算符£、L的对角元皆为零，并且,|1,1)=(1-1|L|1,1)=0xyf(1,1|L|1,-1)=(1,l|£|l,-l)=0只有当量子数m相差±1时矩阵“元才不为零，'即(4)(5)：；1,—1|£J1,0：=：；1,0|LJ1,—1=：：1,0|£J1,1；，：1,1|号1,0；=备(1'0|LyI1,-1)=I1』LyI1,0)=-咨i(L-1q1,。)=(l0iq1』)=席(010'(0—10'L=-=101.L_;妇10—1x喝I010>y*010)于是得到算符匕、Ly的矩阵形式如下Ly满足的本征方程为0'c'C'11•—1c=Xc220J/3)/3)-101相应的久期方程为—X1方一丁01方质—X1方—TT=01方—X0将其化为得到三个本征值分别为X=力；X=0；X=—力(-1'(1'(1'1W1=2721；W2=7201；W3=-32*1)*1)*-1/将它们分别代回本征方程，得到相应的本征矢为QLx满足的本征方程为101010010C1'*3/（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）（13）相应的久期方程为将其化为得到三个本征值分别为0（14）X=方；X=0；X=-方将它们分别代回本征方程，得到相应的本征矢为(1)V=土0;V2很]3\171（15）（16）（17）五、（20分）由两个质量皆为H、角频率皆为°的线谐振子构成的体系，加上微扰项涉=-X尤尤（x,x分别为两个线谐振子的坐标）后，用微扰论1212求体系基态能量至二级修正、第二激发态能量至一级修正。提示：线谐振子基底之下坐标算符的矩阵元为式中，"哗方解体系的哈密顿算符为（1）其中¥=—S+p2)+1呻2《2+x202日12212（2）八AW=-Xxx12已知H的解为

0其中E0=(n+1》①VX],x2)=平（3）n,n,n=0,1,2,…a=1,2,3,…,fn（4）将前三个能量与波函数具体写出来E°=①;°E°=2①，hE°=3①，2h对于基态而言，nV*mG)，、0,2、(气如(气)(x)9(x)八°，2、(x)9(x)(x)9(x)(x扁2(x2)

112体系无简并。°°V=911°V=9121V=9212V=922°V=9231f°=1，利用公式mW^ifJ25m，n-1+In+15牛2m,n+1可知E（2）=柱fn.叩°阿V"叩“冏

°n丰°。=1显然，求和号中不为零的矩阵元只有人叩。阳V23；=V23|WV°.；・=-耘于是得到基态能量的二级修正为E0-E。1人2人2E（2）==—°E°—E°4a48日23