离散型随机变量的方差

离散型随机变量的方差.方差、标准差的定义及方差的性质(1)方差及标准差的定义：设离散型随机变量X的分布列为Xx1x2•一x.•一xnPp1P2・・・p.1・・・pn①方差D(X)=£ (x—E(X))2D.T^T i i②标准差为史X).⑵方差的性质：D(aX+b)=a2D(X).随机变量与样本方差的关系(1)随机变量的方差是常数，而样本的方差是随着样本的不同而变化的，因此样本的方差是随机变量.⑵对于简单随机抽样，随着样本容量的增加，样本的方差越来越接近于总体的方差.因此，我们常用样本的方差来估计总体的方差..两个常见分布的方差(1)若X服从两点分布，则D(X)=p(1—p).⑵若X〜B(n,p)，则D(X)=np(1—p).O判断正误(正确的打“4”，错误的打“义”)(1)离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定.()⑵若a是常数，则D(a)=0.()⑶离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离于期望的平均程度.()答案：(1)义(2)V(3)V已已知X的分布列为X1234P11114364则D(X)的值为()TOC\o"1-5"\h\z29 121 179 17A- B C D—12 144 144 12答案：C已已知X的分布列为X012P111333设Y=2X+3,则D(Y)=.答案：30已知随机变量X服从二项分布B(n,p).若E(X)=30,D(X)=20,则p=fnp=30,解析：由E(X)=30,D(X)=20,可得｛ / 、np(1—p)=20,解得p=1.3答案：3探究点1求离散型随机变量的方差例，袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n=1,2,3,4).现从袋中任取一球，自表示所取球的标号.求自的分布列、均值和方差.【解】由题意得，自的所有可能取值为0,1,2,3,4,P(^=0)=20=2,?(^=1)=20,一2 1 - 3P(2=2)=痴=10P(^=3)=2Q,41P(&=4)=—=-、 4205.故自的分布列为自01234P1113122010205诉I'/R(F\一nv— 1乂-^― 9V-^―-LQV4V——1ATH、一m一1 9y_一所以E(S)—0X2十1X20十2X10十3X20十4X5—1.5,D(G)=(01.5)2人2十(1、 1.. 、 1.. 、 3.. 、 11.5)2X—+(2—1.5)2X+(3—1.5)2义示+(4—1.5)2义［=2.75.20 10 20 5［变条件］在本例条件下，若n=a&+b,E(n)=1,D(n)=11,试求a,b的值.解：由D(a&+b)=a2D(&)=11,E(a&+b)=aE(&)+b=1,及E(&)=1.5,D(&)=2.75,得2.75a2=11,1.5a+b=1,解得a=2,b=—2或a=—2,b=4.求离散型随机变量的方差的步骤(1)明确随机变量的取值，以及取每个值的试验结果.⑵求出随机变量取各个值的概率.⑶列出分布列.(4)利用公式E(X)=x1Pl+xp2+…+xr+…+xr求出随机变量的期望£悟).(5)代入公式D(X)=(x1—E(X))2P1+(x2—E(X))2p2H H(xi—E(X))2•piH—+(x—E(X))2P求出方差口出).n(6)代入公式。(X)hjD(X)求出随机变量的标准差。.践踪训练甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投13篮，第一次由甲投篮；已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为3，3.在前3次投篮中，乙投3 4篮的次数为自，求自的分布列、期望和方差.解：乙投篮的次数自的取值为0,1,2.111P(&=0)=一义一二一；[(.0)3"39；12,21 7p(^=1)=3X3+3x-=-231P(&=2)=3义-二,故自的分布列为自012P1719182TOC\o"1-5"\h\z1, 7, 125E(&)=0X-+1X—+2X-=—,9 18 21o25、 1— 25、 7- 25、 1149D«)=(0—五)2X9+(1—五)2，+(2—五)2X2=Q.探究点2两点分布与二项分布的方差例？一出租车司机从某饭店到火车站途中有六个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率是1.3(1)求这位司机遇到红灯数&的期望与方差;

⑵若遇上红灯，则需等待30s,求司机总共等待时间n的期望与方差.【解】(1)易知司机遇上红灯次数自服从二项分布，且自〜B(6,1),3…… 1 …、 1 , 14<E(^)=6X-=2,D(^)=6X-X(1^-)=-3 3 3 3(2)由已知n=30&,故E(n)=30E(&)=60,D(n)=900D«)=1200.正确认识二项分布及在解题中的应用(1)在解决有关均值和方差问题时，要认真审题，如果题目中离散型随机变量符合二项分布，就应直接利用二项分布求期望和方差，以简化问题的解答过程.⑵对于二项分布公式E(X)=np和D(X)=np(1—p)要熟练掌握.跟踪训雄抛掷一枚质地均匀的骰子，用X表示掷出偶数点的次数.(1)若抛掷1次，求E(X)和D(X)；⑵若抛掷10次，求E(X)和D(X).解：(1)X服从两点分布X01P1122所以E(X)=p=2,D(X)=p(1-p)=2x^1-1j=1.(2)由题意知X〜B(10.2^所以E(X)=np=10x2=5,乙D(XD(X)=np(1-p)…1=10X-X

2[1-2)=!-探究点3方差的实际应用例§甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量X与Y,且X,Y的分布列如下:X123Pa0.10.6Y123P0.3b0.3(1)求a,b的值；⑵计算X,丫的期望与方差，并以此分析甲、乙的技术状况.【解】(1)由离散型随机变量的分布列的性质可知a+0.1+0.6=1,得a=0.3.同理0.3+b+0.3=1,得b=0.4.(2)E(X)=1X0.3+2X0.1+3X0.6=2.3,E(Y)=1X0.3+2X0.4+3X0.3=2,D(X)=(1—2.3)2X0.3+(2—2.3)2X0.1+(3—2.3)2X0.6=0.81,D(Y)=(1—2)2X0.3+(2—2)2X0.4+(3—2)zX0.3=0.6.由于£(#>£(丫)，说明在一次射击中，甲的平均得分比乙高，但口保)>口(丫)，说明甲得分的稳定性不如乙，因此甲、乙两人技术水平都不够全面，各有优势与劣势.利用均值和方差的意义解决实际问题的步骤(1)比较均值：离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，因此，在实际决策问题中，需先计算均值，看一下谁的平均水平高.⑵在均值相等的情况下计算方差：方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.通过计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定.⑶下结论：依据均值和方差的几何意义做出结论.跟踪训雄最近，李师傅一家三口就如何将手中的10万元钱进行投资理财，提出了三种方案.第一种方案:李师傅的儿子认为：根据股市收益大的特点，应该将10万元全部用来买股票.据分析预测：投资股市一年后可以获利40%,也可能亏损20%(只有这两种可能)，且获利的概率为2；第二种方案：李师傅认为：现在股市风险大，基金风险较小，应将10万元全部用来买基金.据分析预测：投资基金一年后可能获利20%,可能损失10%,也可能不赔不赚，且这三种情况

3 1 1发生的概率分别为—~,~;555第三种方案：李师傅的妻子认为：投资股市、基金均有风险，应该将10万元全部存入银行一年，现在存款年利率为3%.针对以上三种投资方案，请你为李师傅家选择一种合理的理财方案，并说明理由.解：若按方案一执行，设收益为自万元，则其分布列为自4—2P1122TOC\o"1-5"\h\z自的数学期望£«)=4义1+(一2)义1=1.2 2若按方案二执行，设收益为n万元，则其分布列为:n20—1P311555TOC\o"1-5"\h\zn的数学期望EinXzW+oxJ+LDxti.55 5若按方案三执行，收益y=10X3%=0.3,因此E(&)=E(n)>y.又口(&)=(4—1)2义2+(—2—1)2义2=9,乙 乙D(n)=(2—1)2义3+(0—1)2\1+(—1—1)2义1=8.5 5 55由以上可知D(&)>D(n).这说明虽然方案一、二收益均相等，但方案二更稳妥.所以建议李师傅家选择方案二投资较为合理.1A.91.已知某离散型随机变量X服从的分布列如下表所示，则随机变量乂的方差D(X1A.9X01Pm2m2民9

1C-1C-3D-31 1 22 / 2解析：选B.由题意可知:m+2m=1,所以m=w，所以E(X)=0义三+1义^=；，所以D(X)=10—"3 3 33 13,212・已知与A2为两所高校举行的自主招生考试，某同学参加每所高校的考试获得通过的概率均为2,率均为2,该同学一旦通过某所高校的考试就不再参加其他高校的考试，设该同学通过高TOC\o"1-5"\h\z校的个数为随机变量X,则D(X)=( )25C25C-64D-64解析：选A.因为X的取值为0,1,111P(X=0)=2X-=-,2 2 41,113p(x=1)=2+2X2=4,1 33所以E(X)=0X-+1义-=-,91,1333D(X)=16X4+16X4=16.故选A.3.有3.有10张卡片，其中8张标有数字22张标有数字5,从中随机地抽取3张卡片，设3张卡片数字之和为自，求E(&)和D(&).解：自的可能取值为6,9,12.&=6表示取出的3张卡片上都标有2,, C3 7则P(&=6)="七.C30 15自=9表示取出的3张卡片上两张标有2,一张标有5,, C2C17则P(&=9)=/=GC31510自=12表示取出的3张卡片上两张标有5,一张标有2,C1C2 1则P(&=12)=h=G.C130 15所以自的分布列为

自6912P715715115TOC\o"1-5"\h\z7 7 1所以E«)=6X—+9X+12X—=7.8,15 15 157., 、 7., 、 1D(&)=(6—7.8)2X,+(9—7.8)2X-+(12—7.8)2X，=3.36.15 15 15知识结构深化拓展.七好*任小病―1替洲’ 画我菱出J I:星，坛一幻一।―t区um翩泸,w客川—-对随机变量乂的方差、标准差的五点说明(1)随机变量乂的方差的定义与一组数据的方差的定义是相同的.(2)随机变量X的方差和标准差都反映了随机变量X的取值的稳定性和波动、集中与离散程度.(3)标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更为广泛.(4)D(X)越小，随机变量X的取值越稳定，波动越小.(5)方差也可以用公式D(X)=E(X2)—(E(X))2计算(可由D(X)=Xi=1(x.—E(X))2p.展开得到).1 1[A基础达标]A发生,.设一随机试验的结果只有A和A,且P(A)=m,令随机变量&=<L则自的[0,A不发生，方差口《)等于()A.m B.2m(1—m)C.m(m—1) D.m(1—m)解析：选口.随机变量自的分布列为：自01P1—mm所以E(&)=0X(1—m)+1Xm=m.所以D(&)=(0—m)2X(1—m)+(1—m)2Xm=m(1—m).2.如果X是离散型随机变量，E(X)=6,D(X)=0.5,4=2乂一5,那么E(X)和D(X)分别是()E(X1)=12,D(X1)=1E(Xi)=7,D(X1)=1E(Xi)=12,D(Xi)=2E(Xi)=7,D(Xi)=2解析：选D.E(X])=2E(X)—5=12—5=7,D(Xi)=4D(X)=4XQ.5=2.3.抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得一1分，则得分X的均值与方差分别为()E(X)=Q,D(X)=1e(X)=1，d(x)=2c.E(X)=Q,d(x)=2乙D.E(X)=j,D(X)=1解析：选A.由题意知，随机变量X的分布列为X—11p1122所以E(X)=(—1)X1+1X1=Q,22D(X)=1x(-1-q)2+1x(1-q)2=1.224.已知乂的分布列如下表所示:X—1Q1P111236TOC\o"1-5"\h\z1 23 1则下列式子：①E(X)=-3；②D(X)=^；③P(X=Q)=i其中正确的有()3 27 3A.Q个 B.1个C.2个 D.3个解析：选C.由分布列知P(X=Q)=[,3e(X)=(-1)x1+qx1+1x1=-1+1=-1,2 3 6 26 3D(X)=1x[-1+1^+:义曰+1^+b+:‘义1：!，故只有①③正确.2I 3)3I3713J69

TOC\o"1-5"\h\z2 1 -5.设随机变量自的分布列为P(&=k)=Cn(3)k・(3)nF,k=0,1,2,…，n,且E(&)=24,则D«)的值为()A.8 B.122C- D.1692解析：选A.由题意可知自〜B(n,-),32所以鼻n=E(&)=24.3所以n=36.2 22所以D(^)=nX-X(1--)=-X36=8.3 39.牧场有10头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染，已知该病的发病率为0.02,设发病的牛的头数为自，则D(自)等于.解析：因为自〜B(10,0.02),所以D(&)=10X0.02X(1—0.02)=0.196.答案：0.196.随机变量自的取值为0,1,2.若P(&=0)=1,E«)=1,则D«)= .5解析：设P(&=1)=a,P(&=2)=b,|+a|+a+b=1则Ilb=1,a=3a5,解得1lb=-,513 1 2所以d«)=5+5x0+5x1=5；2答案：55.随机变量自的分布列如下，其中a,b,c成等差数列.若E(&)=9则D(&)的值为3自1自1Pa23bc解析：因为a,b,c成等差数列，所以a+c=2b.又因为a+b+c=1,所以b=1.又因为E(昌)35 ... 1一1 1 =a+2b+3c=3,所以a=2，b=3，c=6,所以自的分布列为自123P1112365 1 5 1 5 1 5所以d«)=(―於义/(2—於义§+(3—3)29=95答案：99.已知9.已知n的分布列为n010205060P1212135151515(1)求n的方差及标准差；(2)设Y=2n—E(n),求D(Y).,一，一、 1 2 1 2 1一，、 ， 、 1 ,解：⑴E(n)=F+10，+2°义田50义/6°义话."⑺i-⑹阳+皿一.2. . 1 . . 2 . . 1 ―- 116)2义5+(20—16)2赤+(50—16)2义记+(60―16)2义记=384,、；D(n)=&、6(2)因为Y=2n—E(n),所以D(Y)=D(2n—E(n))=22D(n)=4X384=1536.10.从5名女生和2名男生中任选3人参加英语演讲比赛，设随机变量自表示所选3人中男生的人数.(1)求自的分布列；⑵求自的均值与方差；Co・C32 C1・C24解：(1)自可能取的值为0,1,2,且P(&=0)=丁5=/P(&=1)=丁5=予P(&=TOC\o"1-5"\h\zC3 7 C3 7\C2・C1 12)==「=三C3 77所以自的分布列为自012P241777 2 4 16(2)£(&)=0X7+1义7+2义7=7,(6)22J,6124,(6、2114020D(^)=l0-7JX7+l1-7^X7+l2-7JX7=343=49,[B能力提升].甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量自，。，已知甲、乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6环，且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a,a,0.1,乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2.(1)求自，n的分布列；⑵求自，n的均值与方差，并以此比较甲、乙的射击技术.解：(1)依题意0.5+3a+a+0.1=1,解得a=0.1,因为乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2,所以乙射中7环的概率为1—(0.3+0.3+0.2)=0.2.所以自,n的分布列分别为自10987P0.50.30.10.1n10987P0.30.30.20.2⑵结合第一问中自，n的分布列可得E(&)=10X0.5+9X0.3+8X0.1+7X0.1=9.2,E(n)=10X0.3+9X0.3+8X0.2+7X0.2=8.7,D«)=(10—9.2)2X0.5+(9—9.2)2X0.3+(8—9.2)2X0.1+(7—9.2)2X0.1=0.96,D(n)=(10—8.7)2X0.3+(9—8.7)2X0.3+(8—8.7)2X0.2+(7—8.7)2X0.2=1.21,由于£(自)圮(。)，说明甲平均射中的环数比乙高；又口(自)＜口(。)，说明甲射中的环数比乙集中，比较稳定，所以甲的技术比乙好..为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物.某人一次种植了n株沙柳，各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为p,设自为成活沙柳的株数，数学期望£(自)=3,标准差\用(&)=g.(1)求n,p的值并写出自的分布列；⑵若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率.解：因为每一株沙柳成活率均为p,种植了n株沙柳，相当于做9次独立重复试验，因此自

服从二项分布自〜B(n,p).3(1)由E«)=np=3,D(^)=np(1—p)=-,2得1—p=］从而n=6,p=1.2 2自的分布列为:得P得P(A)=1+6+15+202164 =32.自0123456P161520156164646464646464(2)记“需要补种沙柳”为事件A,则P(A)=P(&W3),.(选做题)根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X(单位：mm)对工期的影响如下表:降水量XX<300300WX<700700WX<900XN900工期延误天数Y02610历年气象资料表明，该工程施工期间降水量乂小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9,求:(1)工期延误天数丫的均值与方差；⑵在降水量至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率.解：(1)由已知条件有P(X<300)=0.3,P(300WX<700)=P(X<700)—P(X<300)=0.7—0.3=0.4,P(700WX<900)=P(X<900)—P(X<700)=0.9—0.7=0.2.P(XN900)=1—P(X<900)=1—0.9=0.1.所以Y的分布列为Y02610P0.30.40.20.1于是，E(Y)=0X0.3+2X0.4+6X0.2+10X0.1=3,D(Y)=(0—3)2X0.3+(2—3)2X0.4+(6—3)2X0.2+(10—3)2X0.1=9.8.故工期延误天数丫的均值为3,方差为9.8.(2)由概率的加法公式，得P(XN300)=1—P(X<300)=0.7,又P(300WX<900)=P(X<900)—P(X<300)=0.9—0.3=0.6.

由条件概率，得P(YW6|XN300)=P(X<900|XN300)=P4300f黑芈)=瞿=6P1X^300) 0.7/6故在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率是1离散型随机变量的均值与方差（强化练）1.已知随机变量X的分布列为X1X1Pp123pp23且已知£氯）=2,D（X）=0.5,求p/p2,p3.解：根据题意得P1+P2+P3=L①<p+2p+3p=2,②1231、p(1—2)2+p(3—2)2=j,③1 3 2由③得p|+pq=]④1 3 2上式代入①得p,=122代入②得p1+3p3=1,所以日二^^:1.2.某公司春节联欢会中设一抽奖活动：在一个不透明的口袋中装入外形一样，号码分别为1,2,3,…，10的十个小球.活动者一次从中摸出三个小球，三球号码有且仅有两个连号的为三等奖，奖金30元；三球号码都连号为二等奖，奖金60元；三球号码分别为1,5,10为一等奖，奖金240元；其余情况无奖金.求：（1）员工甲抽奖一次所得奖金的分布列与期望；⑵员工乙幸运地先后获得四次抽奖机会，他得奖次数的方差是多少？解：（1）由题意知，甲抽一次奖，基本事件总数是C；0=120,设甲抽奖一次所得奖金为自，则奖金自的可能取值是0,30,60,240,所以P（占=240）=*,20P«=60)P«=60)=120=115P(&=30)=7X2+6X7__1_120 =15所以自的分布列是自03060240P117112415151207. 1. 1>^E(^)=30X-+60X-+240X-=20.1113⑵由（1）可得，乙一次抽奖中奖的概率是1—汇=戏，四次抽奖是相互独立的，乙4i乙4i所以中奖次数n〜b（4,2|],1311143所以D(n)=4义氢义2r市.为了丰富学生的课余生活，促进校园文化建设，我校高二年级通过预赛选出了6个班（含甲、乙）进行经典美文诵读比赛决赛.决赛通过随机抽签方式决定出场顺序.求:（1）甲、乙两班恰好在前两位出场的概率;⑵决赛中甲、乙两班之间的班级数记为X,求X的均值和方差.解：（1）设“甲、乙两班恰好在前两位出场”为事件A,A2XA4 1则P(A)=t^=A6 156所以甲、乙两班恰好在前两位出场的概率为1^.⑵随机变量X的可能取值为0,1,2,3,4.P(X=0)=P(X=1)=PP(X=0)=P(X=1)=P(X=2)=A2XA51—2 5=—A6 3，64XA2XA44 2 4= A6 15,6A2XA2XA31P(X=3)=P(X=4)=4 2 3二A66A3XA2XA2-4 2 21二A66A4XA2 1 2= A6 15.65'2157随机变量X的分布列为X01234

P1412131551515一- 14 12 14因此,E(X)=0X3+1X-+2X5+3X-+4X-=3.4、2/、1( 4)24( 4)21( 44、23315D(X)=3l°-3J+11—3J+5(2—3)+3315.一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示.将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于1°°个且另1天的销售量低于5°个的概率；⑵用X表示在未来3天里日销售量不低于1°°个的天数，求随机变量X的分布列，期望E(X)及方差口虱).一率巾HI 0.005 0.004■■■■■ I0.003. 0.002L.... 0 50ion150200250目销但见『个解：(1)设、表示事件“日销售量不低于10°个”，A2表示事件“日销售量低于5°个”，B表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量都不低于1°°个且另1天销售量低于5°个”.因此P(A1)=(°.°°6+°.°°4+°.°°2)X5°=°.6,P(A2)=°.°°3X5°=°.15,P(B)=°.6X°.6X°.15X2=°.1°8.(2)X可能取的值为°,1,2,3,相应的概率为P(X=°)=C3-(1-°.6)3=°.°64,P(X=1)=C3«°.6X(1-°.6)2=°,288,P(X=2)=C2・°.62X(1一°.6)=°.432,3P(X=3)=C3-°.63=°.216.所以X的分布列为P0.0640.2880.4320.216因为X〜B(3,0.6),所以期望£氯)=3X0.6=1.8,方差口氯)=3义0.6义(1—0.6)=0.72..现有如下投资方案，一年后投资盈亏的情况如下；投资股市投资结果获利40%不赔不赚亏损20%概率113288购买基金投资结果获利20%不赔不赚亏损10%概率p13q(1)已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资，如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于|,求p的取值范围；⑵丙要将家中闲置的20万元钱进行投资，决定在“投资股市”“购买基金”这两种方案中选择一种，已知P=1那么丙选择哪种投资方案，才能使一年后投资收益的均值较大？给2出结果并说明理由.解：(1)记事件A为“甲投资股市且获利”，事件B为“乙购买基金且获利”，事件C为“一年后甲、乙两人中至少有一人投资获利“，则C=ABUABUAB,且A,B独立.由题表可知，P(A)=|,P(B)=p. 1 1 11143所以P(C)=P(AB)+P(AB)+P(AB)=-X(1—p)+jp+5P=j+迎丁解得p>-2 2 2225 512又因为p+^+q=1,qN0,所以pW133所以p的取值范围是(|,2.53⑵假设丙选择“投资股票”方案进行投资，且记X为丙投资股票的获利金额(单位：万元)，所以随机变量X的分布列为X80一4P113288TOC\o"1-5"\h\z, 1 135则E(X)=8X彳+0义鼻+(—4)^;=-2 8 8 2假设丙选择“购买基金”方案进行投资，且记丫为丙购买基金的获利金额(单位：万元)，所以随机变量丫的分布列为Y40—2P111236TOC\o"1-5"\