通辽市某中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学（文）试卷含答案

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精内蒙古通辽市某中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学（文）试卷含答案文数考试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．将极坐标（2，）化为直角坐标为（）A．(0，2）B．(0，－2)C．(2，0）D．（－2，0）2．将正弦曲线的纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的，所得曲线方程为()A．B．C． D．3．已知曲线(为参数）,若直线与曲线相交于不同的两点,则的值为（）A．B．C．1D．4．极坐标方程和参数方程为参数)表示的图形分别是（）A．圆与直线B。圆与椭圆C.直线与圆D.直线与椭圆5．下列在曲线（为参数)上的点是（）A．B．C． D．6．在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（1,1），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P的极坐标为（）A．(1，)B．（，）C．（cos1，sin1）D．(11)7.若是极坐标系中的一点，则下面四点中与重合的点有()A．1个B．2个C．3个D．4个8.极坐标系中，极点关于直线对称的点的极坐标（)A．B．C．D．9．不等式的解集为(）A．B．C．D．10．在极坐标系中，圆:上到直线:距离为1的点的个数为()A。1B。2C.3D.411．设实数满足，，则的最大值是（)A．2B．C．D．12．2018年9月24日,英国数学家M。F阿蒂亚爵在“海德堡论坛”展示了他“证明"黎曼猜想的过程,引起数学界震动.黎曼猜想来源于一些特殊数列求和,记A．B．C．D．填空题:本题共4小题,每小题5分，共20分．13．已知圆的极坐标方程为，圆心为，点的极坐标为，则________.14．曲线为参数)的对称中心到直线的距离为_____.15．在直角坐标系中,若直线（为参数）过椭圆（为参数）的左顶点，则__________．设,且，则的最小值为______.三、解答题:共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（本题满分10分）在平面直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标轴，已知直线的极坐标方程为,，且。（1)求圆的极坐标方程;(2）设为直线与圆在第一象限的交点,求。（本题满分12分）在平面直角坐标系xOy中,以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的参数方程为eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1（x＝t，,y＝at）)（t为参数）,曲线C1的方程为ρ(ρ－4sinθ)＝10，定点A(6，0），点P是曲线C1上的动点,Q为AP的中点．(1)求点Q的轨迹C2的直角坐标方程；(2）直线l与曲线C2交于A，B两点，若|AB|≥2eq\r（3），求实数a的取值范围．(本题满分12分)已知在极坐标系中,点,，是线段的中点，以极点为原点，极轴为轴的正半轴，并在两坐标系中取相同的长度单位，建立平面直角坐标系,曲线的参数方程是(为参数）。（1）求点的直角坐标，并求曲线的普通方程；（2)设直线过点交曲线于两点，求的值.（本题满分12分）已知函数。（1）当时，求不等式的解集；(2）若不等式的解集不是空集，求实数的取值范围。（本题满分12分）已知函数.（I）解不等式：;(II)若函数的最大值为,正实数满足,证明：.（本题满分12分）在平面直角坐标系xOy中,倾斜角为αeq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(α≠\f（π，2）)）的直线l的参数方程为eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝1＋tcosα,，y＝tsinα）)(t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程是ρcos2θ－4sinθ＝0。（1）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）已知点P（1,0）．若点M的极坐标为eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（1，\f（π,2））），直线l经过点M且与曲线C相交于A，B两点，设线段AB的中点为Q,求｜PQ｜的值．答案选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．BBCDBBCACBBC填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．14．15．16．解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（本题满分10分)在平面直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标轴，已知直线的极坐标方程为,，且。（1）求圆的极坐标方程；（2）设为直线与圆在第一象限的交点，求.解：（1)由,消去得,∴，∴，即，故圆的极坐标方程为.（2)∵，且，∴。将代入,得，∴。(本题满分12分）在平面直角坐标系xOy中,以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的参数方程为eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1（x＝t，,y＝at）)(t为参数)，曲线C1的方程为ρ(ρ－4sinθ）＝10，定点A(6，0）,点P是曲线C1上的动点，Q为AP的中点．（1)求点Q的轨迹C2的直角坐标方程；(2)直线l与曲线C2交于A,B两点，若|AB｜≥2eq\r(3)，求实数a的取值范围．【解析】(1）根据题意得，曲线C1的直角坐标方程为x2＋y2－4y＝10，设点P（x′，y′),Q(x,y)，根据中点坐标公式，得eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1(x′＝2x－6，，y′＝2y））代入x2＋y2－4y＝10，得点Q的轨迹C2的直角坐标方程为（x－3)2＋(y－1)2＝4，(2）直线l的直角坐标方程为y＝ax,根据题意，得圆心(3,1）到直线的距离d≤eq\r（22－（\r(3））2）＝1，即eq\f（｜3a－1|,\r(a2＋1）)≤1,解得0≤a≤eq\f（3,4）。∴实数a的取值范围为eq\b\lc\[\rc\］(\a\vs4\al\co1（0，\f（3,4))）。（本题满分12分）已知在极坐标系中，点，，是线段的中点,以极点为原点，极轴为轴的正半轴,并在两坐标系中取相同的长度单位，建立平面直角坐标系，曲线的参数方程是（为参数)。（1)求点的直角坐标,并求曲线的普通方程;（2）设直线过点交曲线于两点，求的值.解:(Ⅰ）将点，的极坐标化为直角坐标，得和。所以点的直角坐标为.将消去参数，得,即为曲线的普通方程.（Ⅱ）解：直线的参数方程为（为参数,为直线的倾斜角)代入，整理得：.设点、对应的参数值分别为、.则,.（本题满分12分)已知函数。（1）当时,求不等式的解集；（2）若不等式的解集不是空集，求实数的取值范围.解：（1)原不等式等价于，或或故不等式的解集是或;（2）∵，∴,∴，∴.（本题满分12分）已知函数。（I）解不等式：；（II）若函数的最大值为,正实数满足，证明：解：（I)当时，，解得，；当时，，解得,；当时，，解得,无解.综上所述，原不等式的解集为（2，6）.（II)证明：=，即（当且仅当时，等号成立）.（本题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，倾斜角为αeq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(α≠\f（π,2）））的直线l的参数方程为eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝1＋tcosα,，y＝tsinα)）(t为参数）．以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系,曲线C的极坐标方程是ρcos2θ－4sinθ＝0.(1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;(2)已知点P(1，0）．若点M的极坐标为eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（1，\f（π,2)）），直线l经过点M且与曲线C相交于A,B两点，设线段AB的中点为Q，求｜PQ|的值．解：（1)∵直线l的参数方程为eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝1＋tcosα，，y＝tsinα)）(t为参数），∴直线l的普通方程为y＝tanα·(x－1)．由ρcos2θ－4sinθ＝0得ρ2cos2θ－4ρsinθ＝0，即x2－4y＝0。∴曲线C的直角坐标方程为x2＝4y.(2)∵点M的极坐标为eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(1，\f(π,2)））,∴点M的直角坐标为（0,1)．又直线l经过点M，∴1＝tanα·（0－1）,∴tanα＝－1，即直线l的倾斜角α＝eq\f（3π，4）.∴直线l的参数方程为eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝1－\f（\r(2）,2)t，,y＝\f（\r（2),2)t))(t为参数)．代入x2＝4y,得t2－6eq\r(2）t＋2＝0.设A，B两点对应的参数分别为t1,t2。∵Q为线段AB的中点，∴点Q对应的参数值为