北大高等代数1

第一学期第三十次课5.1.3线性空间上的对称双线性函数、二次型函数的定义定义若f为V上的双线性函数且fQ,卩）二f（卩,a）,则称f为V上的对称双线性函数。命题f为对称双线性函数，当且仅当f在任意一组基下的矩阵为对称矩阵，当且仅当f在某一组基下的矩阵为对称矩阵。证明任取V的一组基8，任取a,卩wV，设它们在此组基下的坐标所构成12n的列向量分别为X和Y，f在此组基下的矩阵记为A，若f为对称双线性函数，则由定义,f（a,卩）二f（卩,a），于是X'AY二Y'AX，即有X'AY二X'A'Y，f双线性，则A二A'；反过来，若在任意一组基下的矩阵为对称矩阵，则f（a,卩）二f（卩,a），第一个充要性得证。若f在某组基8,8下的矩阵为对称矩阵，记为A，任取V的另一组基耳,…，耳，12n1n设从8,8,…,8到耳，…，耳的过渡矩阵为T,则f在n，…，耳下的矩阵为B=T'AT，12n1n1n且B'二（T'AT）'二T'A'T二T'AT二B，第二个充分必要性得证。证毕。定理数域K上的n维线性空间V上的对称双线性函数的矩阵必合同于对角阵。证明对n作归纳。n=1时命题成立。假设n-1时成立，对于n维线性空间，若对称双线性函数f恒等于零，则命题成立。若f不恒等于零，］则存在awV，使得f（a,a）丰0。否贝I」若WwV，均有f（aa,二）， 贝I」▽卩,YwV，f（P+Y,P+Y）二f（卩,卩）+f（Y,卩）+f（卩，丫）+f（Y,Y）二0二f（卩,Y）一f（Y,卩），f对称，则f（P,Y）二0，与f非零矛盾。取该a,即满足f（a,a）丰0。将其扩充为V的一f（n,a）组基，记为a,8,8,…,8。n'=n-：：「、，则f（n'a今，于是f在TOC\o"1-5"\h\z23niif（a,a） ia,n',n'，…,n'下的矩阵为2 3 n'f（a,a）0、I0*丿，取子空间m=l（n',n n'）,将f视为其上的对称线性函数，则由归纳假设，存在一2 3n组基p,p，…,p使得fi在此组基上的矩阵成对角形，于是易知f在a,p,p，…,p下2 3 n M 2 3n的矩阵成对角形。证毕。定义设f（a，p）是V内的一个对称双线性函数，我们定义Qf（a）二f（a，a），称为组基81,82,…,8n'又令组基81,82,…,8n'又令f(8,8)=a，ijijA=C..），于是ij

Q(a)=f(a,a)=HKaxx(a=a)f ijijijjii=1j=1上式称为二次型函数在*,*,…,*下的解析表达式。由定义可见，对称双线性函数与二次1 2n型函数一一对应。第五章§2二次型5.2.1数域上的二次型的定义，二次型f对应的二次型函数)的定义；二次型的矩阵和秩的定义定义设f(a,卩)是数域K上的对称双线性函数f=工另axy，其中(x,x，…,x)ijii 12ni=1j=1和(y,y,…,y)分别为a和P在某组基S*,*下的坐标，12n 12na=aeK(V1<i,a=aeK(V1<i,j<n)。取卩，贝f(a,a)=ijjiaxxijiji=1 j=1，称八工艺axx为ijiji=1j=1K上的一个n元二次型(即是一个二次齐次函数),其系数矩阵(aaiiaa21ian1a1222a、Ina2na丿nn称为此二次型的矩阵，A的秩r(A)称为此二次型的秩。而Q(a)=工艺axx称为二次f ijiji=1j=1型函数。定理数域K上的n元二次型在可逆变数替换下可以化为只有平方项的标准形。5.2.2二次型化为标准形的计算方法(配方法)分两种情况进行讨论。(1)、二次型种由某个变量平方项的系数不为零，例如a鼻0，此时把二次型对x进111行配方得f=ax2+2axxH F2axx+ axx111 1212 1n1n ijiji=2j=2=a11bxx,ijiji=2j=a11bxx,ijiji=2j=2x+—12x+…・+—x1a2an1111作变数替换

aay=x+—12rx+-■+—1nx11a2an1111y=x22y=x.nn反解为aax=y-—12y—.—―1n-y11a2an1111x=y22x=y.nn写成矩阵形式经过变数替换，二次型化作ay2+埜"byy,111ijij

i=2j=2然后再对上式右边的n-1个变量继续进行计算。如果a=0，而某个a主0，则对x配方。TOC\o"1-5"\h\z11 ii i(2)、所有a=0(