第五讲异方差和自相关

第五讲异方差和自相关第1页，共43页，2023年，2月20日，星期一对于经典计量模型，我们的基本假设有：假设

对于解释变量的所有观测值，随机误差项有相同的方差。

第2页，共43页，2023年，2月20日，星期一此时可得：在存在异方差的情况下：因此，估计结果无偏，但不是有效的（随机误差项方差变大）。第3页，共43页，2023年，2月20日，星期一误差项存在异方差：U的方差-协方差矩阵Var(u)主对角线上的元素不相等。第4页，共43页，2023年，2月20日，星期一异方差是违背了球型扰动项假设的一种情形。在存在异方差的情况下：（1）OLS估计量依然是无偏、一致且渐近正态的。（2）估计量方差Var(b|X)的表达式不再是σ2(X’X)−1，因为Var(ε|X)≠σ2I。（3）Gauss-Markov定理不再成立，即OLS不再是最佳线性无偏估计（BLUE）。第5页，共43页，2023年，2月20日，星期一一般截面数据容易产生异方差而时间序列数据容易产生自相关第6页，共43页，2023年，2月20日，星期一异方差的检验1。残差图2。怀特检验3。Breusch-Pagan（BP）检验4。G-Q检验(Goldfeld-Quandt,1965)5。Szroeter's秩检验(Szreter,1978)后两种现在已经基本不用。第7页，共43页，2023年，2月20日，星期一1。画图：散点图和残差图。第8页，共43页，2023年，2月20日，星期一1。残差图：rvfplot（residual-versus-fittedplot）rvpplotvarname（residual-versus-predictorplot）作图命令一定要在回归完成之后进行rvfplotyline(0)第9页，共43页，2023年，2月20日，星期一2。怀特检验：第10页，共43页，2023年，2月20日，星期一第11页，共43页，2023年，2月20日，星期一第12页，共43页，2023年，2月20日，星期一2。怀特检验命令：做完回归后，使用命令：estatimtest,white第13页，共43页，2023年，2月20日，星期一BreuschandPagan检验根据异方差检验的基本思路，BreuschandPagan（1979）和CookandWeisberg（1983）主要思路：用ei2/avg(ei2)对一系列可能导致异方差的变量作回归。第14页，共43页，2023年，2月20日，星期一H0：a1=a2=...=0（不存在）H1：a1，a2...不全为0（存在）Step1：估计原方程，提取残差，并求其平方ei2。Step2：计算残差平方和的均值avg(ei2)。Step3：估计方程，被解释变量为ei2/avg(ei2)，解释变量依然为原解释变量。Step4：构造统计量Score=0.5*RSS服从自由度为k的卡方分布。查表检验整个方程的显著性。注意：在第3步中，方便起见也可以用被解释变量的拟合值作为解释变量。第15页，共43页，2023年，2月20日，星期一3。BP检验：做完回归后，使用命令：estathettest,normal（使用拟合值yˆ）estathettest,rhs（使用方程右边的解释变量，而不是yˆ）最初的BP检验假设扰动项服从正态分布，有一定局限性。Koenker（1981）将此假定放松为iid，在实际中较多采用，其命令为：estathettest,iidestathettest,rhsiid第16页，共43页，2023年，2月20日，星期一1.sysuseauto,clearregpriceweightlengthmpg检查是否具有异方差。2。regweightlengthmpg检查是否具有异方差。3。useproduction,clearreglnylnklnl检查是否具有异方差第17页，共43页，2023年，2月20日，星期一4。usenerlove,clearreglntclnqlnpllnpflnpk检验是否具有异方差第18页，共43页，2023年，2月20日，星期一异方差的处理1。使用“OLS+异方差稳健标准误”（robuststandarderror）：这是最简单，也是目前比较流行的方法。只要样本容量较大，即使在异方差的情况下，只要使用稳健标准误，则所有参数估计、假设检验均可照常进行。

sysusenlsw88,clearregwagettl_expraceageindustryhoursregwagettl_expraceageindustryhours,r第19页，共43页，2023年，2月20日，星期一2。利用广义最小二乘法（GLS）广义最小二乘法是对原模型加权，使之变成一个新的不存在异方差性的模型，然后采用普通最小二乘法估计其参数。其含义为Var(b)=σ2(X'X)-1(X'ΣX)(X'X)-1

通过加权使得Σ=I因此，GLS和WLS要求Σ已知。第20页，共43页，2023年，2月20日，星期一加权最小二乘法（WLS）：sysuseauto,clearregpriceweightlengthforeignestathettest,normal假设异方差由weight引起，即：regpriceweightlengthforeign[aw=1/length]estathettest,normal第21页，共43页，2023年，2月20日，星期一在本题中，造成异方差的更可能是解释变量的线性组合，例如：此时需要下载命令wls0finditwls0wls0priceweightlengthforeign,wvar(lengthforeign)type(e2)estathettest,normal第22页，共43页，2023年，2月20日，星期一GLS和WLS的一个缺点是假设扰动项的协方差矩阵为已知。这常常是一个不现实的假定。因此，现代计量经济学多使用“可行广义最小二乘法”（FGLS）。第23页，共43页，2023年，2月20日，星期一可行广义最小二乘法FGLS(1)对原方程用OLS进行估计，得到残差项的估计ûi，(2)计算ln(ûi2)(3)用ln(û2)对所有可能产生异方差的的解释变量进行回归，然后得到拟合值ĝi(4)计算ĥi=exp(ĝi)(5)用1/ĥi作为权重,做WLS回归。第24页，共43页，2023年，2月20日，星期一FGLS的步骤predictu,resgenlnu2=ln(u^2)reglnu2x1x2…predictg,xbgenh=exp(g)geninvvar=1/hregyx1x2…[aweight=invvar]使用FGLS方法对nerlove.dta的方程重新进行估计。第25页，共43页，2023年，2月20日，星期一结论：1.GLS估计是BLUE的（如果Σ

矩阵已知且设置正确），但FGLS不一定是BLUE的（FGLS估计时要事先估计Σ

矩阵的参数，需要做一些假设）。2.Robust稳健性估计更加稳健，而FGLS更加有效，选择时要在稳健性和有效性之间进行权衡。第26页，共43页，2023年，2月20日，星期一在实际应用中，避免异方差的两种方法。其一，使不同变量的测度单位接近。比如，不同国家的收入和消费数据。如果利用总收入和总消费进行分析，由于不同国家的总量相差非常巨大，因此模型中难免出现异方差。如果利用人均收入和人均消费进行分析，就可以使得减弱不同国家变量之间的测度差异，从而降低异方差的程度甚至消除异方差。其二，可能的情况下对变量取自然对数。变量取对数降低了变量的变化程度，因此有助于消除异方差。第27页，共43页，2023年，2月20日，星期一自相关经典假设随机误差项彼此之间不相关如果存在自相关，则：时间序列数往往存在着自相关，即：一般时间序列数据中，i.i.d假设不成立第28页，共43页，2023年，2月20日，星期一如果存在自相关：随机误差项的方差-协方差矩阵的非主对角线上的元素不为0。第29页，共43页，2023年，2月20日，星期一自相关包含一阶自相关和高阶自相关。一阶自相关：高阶自相关：第30页，共43页，2023年，2月20日，星期一考察英国政府如何根据长期利率（r20）的变化来调整短期利率（rs），数据集为ukrates.dta（1）做如下回归：，其中：回归方程为：

useukrates,cleartssetmonthregD.rsLD.r20第31页，共43页，2023年，2月20日，星期一自相关的检验1。图形法：自相关系数和偏自相关系数

predicte1,resace1pace1corrgrame1,lag(10)第32页，共43页，2023年，2月20日，星期一2。t检验和F检验(wooldridge)思想：t检验，如果存在一阶自相关，残差项与其一阶滞后项回归后系数显著，如果解释变量非严格外生，回归时可加入解释变量。

rege1L.e1rege1L.e1LD.r20

同理，可以用F检验检验是否存在高阶自相关

rege1L(1/2).e1第33页，共43页，2023年，2月20日，星期一3。DW检验：只能检验一阶自相关的序列相关形式，并且要求解释变量严格外生。

根据样本个数和自由度查表得到DL和DU，并且构造不同的区域。第34页，共43页，2023年，2月20日，星期一regD.rsLD.r20dwstat第35页，共43页，2023年，2月20日，星期一经验上DW值1.8---2.2之间接受原假设，不存在一阶自相关。DW值接近于0或者接近于4，拒绝原假设，存在一阶自相关。第36页，共43页，2023年，2月20日，星期一4。Q检验和Bartlett检验

regD.rsLD.r20predicte2,reswntestqe2wntestqe2,lag(2)wntestbe2第37页，共43页，2023年，2月20日，星期一如果不能保证解释变量严格外生，例如解释变量中包含被解释变量的滞后项，可以用以下方法：5。D-W’sh检验

estatdurbinaltestatdurbinalt,lag(2)

第38页，共43页，2023年，2月20日，星期一6。对于高阶自相关的检验方法：B-G检验

bgodfreybgodfrey,lag(2)第39页，共43页，2023年，2月20日，星期一自相关的处理1.使用OLS+异方差自相关稳健的标准误（HAC）方法被称为Newey-West估计法（NeweyandWest，1987）

regD.rsLD.r20neweyD.rsLD.r20,lag(1)（假设存在一阶自相关）

neweyD.rsLD.r20,lag(2)（假设存在二阶自相关）系数完全相同，但标准差和t值不同。第40页，共43页，2023年，2月20日，星期一可行广义最小二乘法（FGLS）：广义差分法：CO-PW方法Cochrane-Orcutt(1949)估计(舍弃第一期观察值)Prais-Winsten(1954)估计(对第一期观察值进行处理sqrt(1-rho^2)*y1)第41页，共43页，2023年，2月20日，星期一第42页，共43页，