第二节维向量组的极大线性无关组

第二节维向量组的极大线性无关组第1页，共25页，2023年，2月20日，星期一定义1

若向量组

中的每一个向量都可以由向量组

线性表示,则称向量组

可由向量组线性表示，若向量组

和

可以互相线性表示，则称两个向量组等价一、等价的向量组第2页，共25页，2023年，2月20日，星期一向量组

可由

线性表示，即第3页，共25页，2023年，2月20日，星期一向量组

可由

线性表示等价于存在

的矩阵

使若向量组

和

等价第4页，共25页，2023年，2月20日，星期一等价向量组的性质：1.自反性：一个向量组与其自身等价2.对称性：若向量组

和

等价，则向量组和

等价。3.

传递性：若向量组

和

等价，向量组和

等价，则向量组

和

等价。第5页，共25页，2023年，2月20日，星期一定理1

设

中的两个向量组

和若向量组

可由

线性表示，且

，则向量组

线性相关少的表示多的，多的一定线性相关注：1.,不能相等;

2.

时，结论不一定成立.（证明略）第6页，共25页，2023年，2月20日，星期一推论1

若向量组

可由向量组线性表示，又已知

线性无关，则必有推论2：两个线性无关的向量组互相等价，则它们所含的向量个数相等注：若只是等价的向量组，它们所含的向量个数未必相等定理1的逆否命题：第7页，共25页，2023年，2月20日，星期一极大线性无关组等价定义二极大线性无关组定义如果一个向量组A的一个部分组满足下述条件：第8页，共25页，2023年，2月20日，星期一1.一个向量组的极大线性无关组可能不唯一2.向量组和其极大线性无关组等价(一个向量组的任何两个极大线性无关组都等价)3.一个向量组的极大线性无关组所含的向量个数唯一确定。注:第9页，共25页，2023年，2月20日，星期一三向量组的秩与矩阵的秩的关系定理2

矩阵A的行初等变换不改变A的列向量组的线性相关性和线性组合关系定义

一个向量组的极大线性无关组所含的向量个数称为向量组的秩.

线性无关的向量组的秩等于向量组的向量的个数.第10页，共25页，2023年，2月20日，星期一例2第11页，共25页，2023年，2月20日，星期一第12页，共25页，2023年，2月20日，星期一等于它的行向量组的秩.

定理

3

矩阵的秩等于它的列向量组的秩,也求向量组的最大无关组的步骤:第13页，共25页，2023年，2月20日，星期一例3：设有向量组(1)求向量组的秩，并讨论它的线性相关性。(2)求向量组的一个极大线性无关组。(3)把其余向量表示成为该极大线性无关组的线性组合第14页，共25页，2023年，2月20日，星期一解：取(1)向量组即为A的列向量R(A)=2,

所以向量组的秩为2。(2)

为向量组的一个极大线性无关组(3)第15页，共25页，2023年，2月20日，星期一推论：设A为

矩阵，秩

，则有:(1)当r=m时，A的行向量组线性无关;当r<m时，

A的行向量组线性相关(2)当r=n时，A

的列向量组线性无关;当r<n时，A的列向量组线性相关。

当A为n阶方阵时，即当m=n时，A的列(行)向量组线性无关的充要条件是由矩阵的秩和它的向量组的秩的关系，我们立刻会发现一个有趣的现象：第16页，共25页，2023年，2月20日，星期一3.5向量空间一、向量空间的定义定义

1

设

V

为

n

维向量的集合,如果集合

V非空,

且那么就称集合

V

为向量空间.则a+bV;若

a

V,R,则

aV.若

a

V,bV,第17页，共25页，2023年，2月20日，星期一例1

判别下列集合是否为向量空间.解第18页，共25页，2023年，2月20日，星期一例2判别下列集合是否为向量空间.解第19页，共25页，2023年，2月20日，星期一一般地，L={x=a+b|,R}x1=1a+1b,x2=2a+2b则有x1+x2=(1+1)a+(1+2)bL,kx1=(k1)a+(k1)bL.

这个向量空间称为由向量

a,b

所生成的向量空间.是一个向量空间.因为若第20页，共25页，2023年，2月20日，星期一由向量组

a1,a2,...,am

所生成的向量空间一般形式为

L={x=1a1+2a2+...+mam

|1,

2,...,

mR}.第21页，共25页，2023年，2月20日，星期一第22页，共25页，2023年，2月20日，星期一二、向量空间的基向量空间的维数

定义

2

设有向量空间

V1

及V2

,若

V1V2,

总有

VRn,所以这样的向量空间总是

Rn

的子空间.

例如：任何由

n

维向量所组成的向量空间

V,就称

V1

是V2

的子空间.第23页，共25页，2023年，2月20日，星期一向量空间.定义3

设V

为向量空间,如果r个向量a1,a2,...,arV,且满足(i)a1,a2,...,ar

线性无关;(ii)V中任一向量都可由a1,a2,...,ar

线性表示.那么,向量组

a1,a2,...,ar

就称为向量空间

V

的一个基,

r

称为向量空间

V

的维数,并称

V为

r

维第24页，共25页，2023年，2月20日，星期一

（1）只含有零向量的向量空间称为0维向量空间