第二节 一阶微分方程

第二节一阶微分方程第1页，共30页，2023年，2月20日，星期一解法为微分方程的解.这种解法叫分离变量法1.分离变量:2.两边积分一、可分离变量的常微分方程第2页，共30页，2023年，2月20日，星期一例1求微分方程解分离变量两端积分第3页，共30页，2023年，2月20日，星期一注：上述形式的简化过程，下面还常常用到，为此约定简化写法如下：例如：如果有第4页，共30页，2023年，2月20日，星期一解这是可分离变量方程，分离变量得：隐式通解例2两端积分第5页，共30页，2023年，2月20日，星期一解这是可分离变量方程，分离变量得：例3两端积分第6页，共30页，2023年，2月20日，星期一解练习第7页，共30页，2023年，2月20日，星期一解这是可分离变量方程，分离变量得：2两端积分第8页，共30页，2023年，2月20日，星期一3解分离变量两端积分第9页，共30页，2023年，2月20日，星期一二、齐次方程称此方程为齐次微分方程.解法形如作变换分离变量，两边积分得求出上式通解后，第10页，共30页，2023年，2月20日，星期一例1求解微分方程代回原变量得方程的解为解此方程为齐次微分方程代入方程，分离变量两边积分第11页，共30页，2023年，2月20日，星期一例2解两边积分，得为所求通解.第12页，共30页，2023年，2月20日，星期一解练习第13页，共30页，2023年，2月20日，星期一形如例如线性的;非线性的.上方程称为齐次的.上方程称为非齐次的.三、一阶线性微分方程第14页，共30页，2023年，2月20日，星期一齐次方程的通解为1.线性齐次方程一阶线性微分方程的解法(使用分离变量法)第15页，共30页，2023年，2月20日，星期一例1求微分方程的通解解由原方程，知代入通解公式，第16页，共30页，2023年，2月20日，星期一2.线性非齐次方程讨论两边积分非齐次方程通解形式与齐次方程通解相比:解法第17页，共30页，2023年，2月20日，星期一常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.实质:未知函数的变量代换.作变换,设是的解第18页，共30页，2023年，2月20日，星期一积分得一阶线性非齐次微分方程的通解为:对应齐次方程通解非齐次方程特解第19页，共30页，2023年，2月20日，星期一常数变易法的求解步骤：要求大家熟练掌握第20页，共30页，2023年，2月20日，星期一例2解一:常数变易法,方程化为其对应的齐次方程为两边积分，得第21页，共30页，2023年，2月20日，星期一解二公式法：第22页，共30页，2023年，2月20日，星期一解(用常数变易法)例3第23页，共30页，2023年，2月20日，星期一一阶线性方程的解法:1.常数变易法2.公式法所以满足条件的特解为：第24页，共30页，2023年，2月20日，星期一例4解所求方程的通解为第25页，共30页，2023年，2月20日，星期一解分析例5第26页，共30页，2023年，2月20日，星期一解练习第27页，共30页，2023年，2月20日，星期一解第28页，共30页，2023年，2月20日，星期一解第29页，共30页，2023年，2月20日，星期一小结1.可分离变量的微分方