大一学习物理第十章振动与波动

第十章振动和波动10-1简谐振动的规律10-2简谐振动的描述10-3简谐振动的合成1、振动学基础教学基本要求

一、理解简谐振动的基本特征,了解研究谐振子模型的意义.*二、能建立一维简谐振动的微分方程,能根据给定的初始条件写出一维简谐振动的运动方程,并理解其物理意义.

三、理解描述简谐振动的各物理量的物理意义和决定因素.

四、理解旋转矢量法和相位差的意义,会用旋转矢量法分析和解决简谐振动问题,会做振动曲线.

五、理解两个同方向、同频率简谐振动的合成规律.*六、了解相互垂直的两个同频率简谐振动的合成.10-1简谐振动的规律预习要点注意简谐振动的规律和特点.如何判断一个振动是否为简谐振动？简谐振动的能量有什么特点?简谐振动的周期由什么因素决定？如何计算一简谐振动的周期？研究谐振子模型的意义何在？一、简谐振动的定义1.弹簧振子

一个劲度系数为k的轻质弹簧的一端固定，另一端固结一个可以自由运动的物体，就构成一个弹簧振子.2.弹簧振子振动的微分方程

弹簧振子偏离平衡位置O后，仅因回复力(弹性力)和惯性而自由往返运动.有弹簧振子的振动微分方程(动力学方程)解微分方程得令位移时间关系(振动方程)2.简谐振动的定义3.简谐振动的判据(1)运动的微分方程(定义式).(2)机械振动也可用其受力特征或运动特征判断.任一物理量x随时间t的变化关系如果满足微分方程

其中是系统固有性质决定的常数,则此物理量作简谐运动.方程解：令：以上4式都是判断谐振的依据。固有圆频率二、简谐振动的固有周期周期频率振动往复一次所需时间.圆频率都表示简谐运动的周期性，反映振动的快慢.弹簧振子固有周期由例1:质量为m长度为l的均匀细棒，绕O点作小角度摆动.求振动周期.重力矩“

–

”表示力矩与逆时针张角方向相反.解:当时,O令得到振动微分方程由表明棒作角简谐振动例2：单摆小球质量m，摆长l,求单摆周期T。例3：判断下列运动是否简谐运动？不计阻力（1）小球在半径很大的凹球面底部作短距离滚动时球心的运动？（2）小球在地面上作完全弹性的上下跳动。3、质点作匀加速圆周运动时，质点在直径上的投影运动。

设质点作逆时针方向运动，t=0时刻，位于圆心角，初始角速度为，角加速度为则t时刻质点所在位置对应圆心角为质点在直径上的投影为（4）浮在水里、密度小于水的正三菱锥体，锥顶向上，在水中上下浮动。例4：如图，一块质量为m的均匀木块对称地平放在中心轴线相距2l的两个相同的转轮上，两轮的转动方向相反，木板与轮面间的摩擦系数为u,使木板沿水平方向移动一小段距离后释放，之后木板作简谐振动么？周期为多少?三、简谐振动的能量1、弹簧振子简谐振动方程A—振幅—质点到平衡位置的最大位移。w—圆频率—2秒内的振动数。—初相位—t=0时的位相。wt+—相位—反映质点的运动状态(x,v)。x—位移—质点对于平衡位置的位移。(2)速度时间关系(4)能量特征(3)加速度时间关系弹簧振子的总的机械能由

弹簧振子在振动过程中，系统的动能和势能都随时间发生周期性变化，但动能和势能的总和保持为一个常量，即系统的机械能守恒.4T2T43TE(5)振动曲线

单摆摆动方程10-2简谐振动的描述预习要点简谐振动的振幅和初相位由哪些因素决定?如何确定它们的数值？注意相位在描述振动中的特殊而重要的作用.注意领会旋转矢量表示及研究谐振动的方法.一、振幅和初相位1.振幅质点在振动过程中离开平衡位置的最大位移的绝对值.表征了系统的能量，由初始条件决定.

由时,有得2.相位在中，称为振动的相位.（1），存在一一对应的关系；即其决定质点在时刻的t的位置和速度(即时刻t的运动状态).（2）初相位描述质点初始时刻的运动状态(初位置和初速度.已知初始条件

也可确定初相.

上式可求得在区间内两个解，应进一步由的符号判定和的符号后选定其中的一个解.二、相位差

表示两个相位之差.对于两个同频率的简谐运动，相位差表示它们间步调上的差异.

两个同频率的简谐运动相位差都等于其初相差而与时间无关.1.相位差2.超前和落后

若，则x2比x1较早达到正最大，称x2比x1超前(或x1比x2落后).3.同相和反相

当

=2k，

(k=0,1,2,…)，两振动步调相同，称同相.

当=(2k+1)，

(k=0,1,2,…)，两振动步调相反，称反相.

OA1-A1A2-

A2x1x2Tt同相两同相振动的振动曲线

x2TxOA1-A1A2-

A2x1t反相两反相振动的振动曲线三、简谐振动的旋转矢量表示法MP

可见，旋转矢量的长度A、角速度和t=0时与x轴的夹角分别代表投影点简谐振动的三个特征量：振幅、角频率和初相位.

如图，一长度为A的矢量绕其始端O以恒角速度沿逆时针方向转动，其矢端M在Ox轴上的投影点P将以O为平衡位置做简谐振动.

任一时刻旋转矢量与x轴的夹角为投影点简谐振动的相位.规定沿逆时针方向转动，则相位便唯一确定了投影点作简谐振动在时刻t的运动状态.1.旋转矢量投影到Y,描述Y方向的谐振投影到X轴,描述X方向的谐振动注意影子xAY投影到任意轴？RotationalvectorandphasexA对应量Awjwt+jx旋转矢量长度角速度初角夹角投影简谐振动振幅圆频率位移初位相位相2.旋转矢量与振动的对应量思考:在旋转矢量图上怎样表现位相超前或落后、同相、反相？12xo12xo12xo例1.按图写振动方程。x(m)t(s)10-5t(s)1021x(m)2已知:旋转矢量A=0.04m,=4(rad/s)例2.由旋转矢量画振动曲线，写振动方程。/4xot(s)x(m)0.04-0.04方法一：用t=0时旋转矢量画x(m)0.02t(s)0.02x(m)例3.由方程画振动曲线。已知方程：t(s)x(m)方法二：先参考标准式再根据初相平移例4

一质点沿x轴作简谐振动，A=0.12mT=2s，x0=0.06m,此时刻质点向x正向运动。求:(1)运动方程(2)t=T/4时x,v,a(3)第一次通过平衡位置的时刻t解：(1)x=Acos(wt+j)=0.12cos(pt-p/3)m(2)

v=Awcos(wt-p/3+p/2)m/s

a=-Aw2cos(wt-p/3)m/s2把t=T/4

代入x,v,aADf=p/3+p/2=5p/6Dt=5/6（s）(3)第一次通过平衡位置的时刻tDft=0(s)t=5/6(s)例题5一质量为0.2kg的质点作谐振动，其振动表达式为:x=0.60cos(5t－π/2)(SI)。求:(1)质点的初速度；(2)质点在正向最大的位移一半处所受的力。解已知A=0.60m,ω=5s-1,

（1）由

（2）由

当

待物体静止后,再向下拉y0=0.1m后放手,测得T=2s。求：(1)振动方程;OY(2)首次过平衡位置时物体的速度;(3)第二次经过平衡位置上方0.05m处的加速度;(4)物体从平衡位置下方0.05m处向上运动到平衡位置上方0.05m处所需的最短时间。练.解：(1)求振动方程;振动方程：舍OY首次过平衡位置的时刻：t=T/4=1/2(2)首次过平衡位置时物体的速度;OY(3)第二次经过平衡位置上方0.05m处的加速度;OY(4)物体从平衡位置下方0.05m处向上运动到平衡位置上方0.05m处所需的最短时间。OY=书例10.1例10.2课后习题10.110.210.510.710-3简谐振动的合成预习要点注意两个同方向同频率简谐振动的合振动规律.分振动之间的相位差与合振动振幅有什么关系？了解两个互相垂直的简谐振动的合成.一、两个同方向同频率的简谐振动的合成

两个同方向同频率简谐运动合成后仍为简谐运动，角速度不变.1.当时,合振动振幅最大.2.当时,合振动振幅最小.3.一般情况*二、两个互相垂直的同频率的简谐振动的合成两式消去t，合振动分振动为椭圆轨迹方程，顺时针运行.为直线方程.

讨论1.同相位2.为标准椭圆方程，顺时针运行.3.反相位4.为标准椭圆方程，逆时针运行.为直线方程.三、一维不同频率的简谐运动的合成x1tOx2tOx

tO同方向两个不同频率谐振动的合成一维不同频率的简谐运动的合成拍的现象

x2tOxtOx2tO设有两个同方向的振动，角频率分别为，只考虑振幅相同，初相都为零的情况。拍频振幅的频率

条件：w1与w2都很大，而它们的差很小Ⅱ.振动方程

x=Acos(wt+j)（单位）Ⅰ.谐振特点小结谐振Ⅴ.同方向同频率的谐振动合成Ⅲ.几何表示

旋转矢量，

x-t曲线Ⅳ.机械能守恒briefsummary例1：已知振动曲线，写振动方程oobbccddxx初相fo=-p/3(1)相位fa=ofb=p/3fc=p/2fd=2p/3aaeefe=4p/35.02.51.02.2T/2=1.2x=5cos(5pt